軌道交通環境振動半解析預測方法

雷曉燕，胡 云，司丕賢

(華東交通大學 鐵路環境振動與噪聲教育部工程研究中心，江西 南昌 330013)

隨著軌道交通的快速發展和列車速度的不斷提升,軌道交通引起的環境振動與噪聲已成為一類新的環境問題,準確預測軌道交通引起的環境振動對軌道交通減振降噪具有重要作用。目前常見的軌道交通環境振動預測方法包括數值法、經驗法和半經驗法[1]。在工程可行性研究階段,環評預測以經驗法或半經驗法為主,該方法簡單易行但精度有限。在項目初步設計與施工圖設計階段,經驗法或半經驗法的預測精度常常難以滿足工程要求,需要依靠數值法結合現場實測進行建模分析,該方法預測精度較高但耗時較長。理想的軌道交通環境振動預測既要具備較高的預測精度,同時也要兼顧經濟、效率和可操作性。國內外學者圍繞軌道交通環境振動預測開展了大量研究,并取得了一定成果。Cardona等[2]將列車的移動荷載簡化為點源荷載,將列車引起的地面振動看作是點源荷載引起的振動疊加,并基于此原理建立了列車誘發地面振動預測模型。Madshus等[3]在大量振動測試數據的基礎上提出一個半經驗預測模型,該模型把振動傳播路徑中每個環節都作為影響因素進行修正,適用于預測列車通過軟土地基時引起的低頻環境振動。美國聯邦鐵路運輸委員會(FRA)[4]于2006年發布了《軌道交通噪聲與振動影響評價手冊》,論述了通過現場實測列車荷載密度函數、大地振動傳遞導納,預測列車誘發環境振動的實驗方法。Sadeghi等[5]就FTA模型在列車誘發環境振動進行預測時存在的可靠性問題進行討論并提出相應的改進建議。劉維寧等[6]為提高地鐵列車引起環境振動預測的可靠性,并考慮預測精度和效率,提出應將整條地鐵線路按照敏感目標距線路的距離分為不同的預測區域、按照敏感目標對環境振動影響的敏感程度分為不同等級、按照地鐵建設工程項目的各個設計階段,綜合運用既有的各類預測方法,動態進行分區域、分等級和分階段的地鐵列車振動環境響應預測。馬蒙等[7]將現場實測與數值模擬相結合,運用振動響應傳遞比描述室內外兩點之間的振動傳遞,實現了在不同頻段上定量預測軌道交通振動對建筑物內人和精密儀器的影響。孫曉靜等[8]以北京地鐵16號線規劃通過北京大學西門工程為背景,利用實測鋼軌振動加速度、實測隧道壁和地表振動響應校準數值模型,對地鐵16號線引起的遠場低頻振動進行定量預測研究。曹艷梅等[9]提出有限元-無限元耦合法,利用Abaqus軟件并結合Fortran和Matlab程序建立三維數值分析模型,提出研究高速列車引起周圍場地振動的分析方法。吳宗臻等[10]提出通過構建車軌耦合模型求解作用于基底的頻域力,同時在隧道內進行脈沖激勵實測隧道-土層系統的地表頻響函數,然后將兩部分結果在頻域內進行疊加得到地鐵列車引起的環境振動響應的預測方法。韋凱等[11]從扣件橡膠剛度和阻尼頻變性入手模擬扣件墊板參數,使模型結構、基本假設和輸入參數與實際值接近,以此來提高環境振動預測的精準度。鄭軍等[12]通過現場測試南京地面軌道交通引起大地垂向振動加速度幅值、頻率隨距離軌道中心線不同位置的衰減規律,建立包含受振點距離、地基土性質、列車速度3個參數的南京地面軌道交通環境振動預測模型。綜上可知,在既有研究中,對軌道交通環境振動預測的方法愈加多樣,技術日益成熟,但是預測方法的準確性、可操作性、預測效率及簡便程度仍需不斷創新和深化研究。

本文在FRA發布的在現場實測列車荷載密度函數和大地振動傳遞導納預測列車誘發環境振動試驗方法的基礎上,提出基于模型計算列車荷載密度和現場實測大地線源振動傳遞導納的軌道交通環境振動半解析預測方法,避免了實測列車荷載密度的難題,使預測方法具備較高精度,操作簡便。

1 軌道交通環境振動預測原理

文獻[4]提出一種類比測試列車荷載密度和現場實測振動傳遞導納的軌道交通環境振動預測方法,FTA采用的振動評價量是振動速度。我國頒布的GB 10070—1988《城市區域環境振動標準》[13]采用的振動評價量是振動加速度,通常用加速度振級表示。根據FTA環境振動預測方法,軌道交通引起的環境振動可表示為

La(xb)=LF(X)+LTM(X,xs)+C(xs,xb)

(1)

式中:La(xb)為建筑物內點xb的振動加速度級,dB;LF(X)為列車作用于軌道基礎X點的荷載密度,dB;LTM(X,xs)為軌道基礎X點與建筑物外xs點之間的線源振動傳遞導納,dB;C(xs,xb)為建筑物內外兩點xs、xb之間的振動傳遞,dB。

在實際預測軌道交通引起的環境振動中,式(1)一般用1/3倍頻程表示,則不考慮修正的1/3倍頻程中心頻率為ω的振動預測公式為

La(ω)=LF(ω)+LTM(ω)

(2)

式中:LF(ω)為列車荷載密度,dB;LTM(ω)為大地線源振動傳遞導納,dB。

上述預測方法是基于列車荷載密度與大地振動傳遞導納是相互獨立的假設。列車荷載密度可通過實測類似既有軌道線路獲得,大地線源振動傳遞導納可直接對預測線路進行激振試驗得到[14]。相對于其他預測方法,該方法公式簡單、物理概念明確,具有較高的預測精度。

根據振動響應量的不同,傳遞導納可分為位移導納、速度導納、加速度導納。列車荷載可簡化為線源,線源振動傳遞導納的計算可分為兩個步驟:①通過激振試驗實測點源導納;②運用數值積分公式根據點源導納計算線源導納。

列車荷載密度為列車行駛時作用于單位長度軌道基礎上的動壓力,它反映了振源的固有特性,主要與列車和軌道結構的類型、行駛速度和輪軌不平順有關。在軌道交通環境振動預測中,列車荷載密度是十分重要的參數,目前還很難通過試驗的方法直接獲得。根據文獻[4],列車荷載密度一般是通過對類似的既有軌道交通線實測大地振動級和線源傳遞導納,按照式(2)反推得到。為解決列車荷載密度測試難的問題,首先建立點源沖擊荷載作用下的軌道-半無限區域大地模型,并推導預測列車在軌道上運行時引起大地振動加速度的解析式,而后根據該公式構建軌道交通環境振動半解析預測方法。

2 軌道交通環境振動預測解析公式

2.1 振動加速度均方值

軌道-半無限區域大地模型見圖1。

圖1 軌道-半無限區域大地模型(單位:m)

圖1中,Si為第i個激振點;Pn為第n個測點。激振力施加于沿線路方向等間距的軌道點上,沿垂直于軌道一側的直線測量引起的振動加速度。作用在大地x點處的力ρb(x,τ)引起大地x′點處的振動加速度[15]可表示為

(3)

(4)

式中:Ω為軌道結構-半無限大地系統;ρ為密度;b(x,t)為體積力向量;H(x′,x,t-τ)為軌道結構-半無限大地系統的加速度導納矩陣;τ為時間常數;xk(t)為第k個輪對在軌道上的坐標,xk(t)=xk0+vtey,xk0為初始時刻t=0時第k個輪對在軌道上的位置,vtey為在ey方向上移動的速度和時間的乘積,即為輪對移動的距離,ey為y方向的單位向量,v為運行速度,t為運行時間;na為輪對總數;gk(t)為t時刻第k個輪對的軸重;δ為Dirac函數。

將式(4)代入式(3)中,可得

(5)

由式(5)可得到自相關函數為

(6)

式中:E為數學期望;xk為k軸所處的位置;xl為l軸所處的位置;t1、t2為時間延遲。

(7)

將式(7)代入式(6)中,可得

(8)

當長大列車通過時,列車引起的振動主要為穩態響應。假設列車輪軸為固定點激勵,式(8)表示的自相關函數只與時間延遲t1、t2有關。將式(8)中積分上限t1、t2延伸到+∞,可得

(9)

進一步,可將式(9)寫為

(10)

(11)

(12)

(13)

2.2 垂向加速度z振級

軌道交通引起的環境振動一般用垂向加速度z振級計算,表達式為

(14)

式中:ωi為第i個1/3倍頻程中心頻率;La0為振動加速度參考值。

在下面的討論中,忽略不計La0。式(14)還可表示為

(15)

式中:Lna為輪對特征長度,等于列車長度除以輪對總數。

(16)

2.3 軌道交通環境振動預測公式

由式(16)得到軌道交通環境振動預測式為

(17)

式中:等號右邊第1項為1/3倍頻程表示的列車荷載密度LF(ωi);等號右邊第2項為1/3倍頻程中的線源振動加速度傳遞導納LTM(ω);等號右邊第3項為基準加速度振級;Δω為中心頻率ωc的頻帶寬度,Δω=ω2-ω1。根據點源傳遞導納計算線源傳遞導納的示意見圖2。

圖2 根據點源傳遞導納計算線源傳遞導納的示意

LF(ωi)表達式為

(18)

LTM(ω)表達式為

(19)

式中:LPk(ω)為點源振動加速度傳遞導納,其表達式為

(20)

式(19)可進一步簡化為

LTM(ω)=10·

(21)

式中:h=L/n,L為列車長度,n為點源輪對荷載平均分成的等分數。

La0表達式為

La0=10lg(a0)2=10lg(10-12)=-120

(22)

式中:a0為基準加速度,a0=10-6m/s2。

根據第i個1/3倍頻程中心頻率ωi的加速度分頻振級,可以計算加速度振級為

(23)

式中:La(ωi)為ωi的加速度分頻振級;cf為振動加速度感覺修正值;nc為1/3倍頻程中心頻率總數。

3 車輛-軌道非線性耦合系統動力學模型

為計算列車荷載密度,首先建立車輛-軌道非線性耦合系統動力學模型,見圖3。

圖3 車輛-軌道非線性耦合系統動力學模型

圖3中,Mwi為簧下二分之一的第i個輪對質量,i=1, 2, 3, 4;Fuli為第i個輪對處的輪軌接觸力,i=1, 2, 3, 4;mt為軌枕質量;mb為道床質量;ks1、ks2分別為車輛一系、二系彈簧的剛度;cs1、cs2分別為車輛一系、二系彈簧的阻尼;ky1、ky2、ky3分別為扣件、道床、路基的彈性系數;cy1、cy2、cy3分別為扣件、道床、路基的阻尼系數。在分析車輛-軌道非線性耦合系統的動力響應時,將耦合系統分解為上部車輛子系統、下部軌道子系統,分別建立兩個子系統的動力學方程,其中,車輛子系統的動力學方程[16]為

(24)

(25)

其中,G為接觸撓度系數,對于磨耗型踏面,G=3.86×10-8R-0.115,R為接觸圓半徑;γ為輪軌間考慮軌道不平順和輪軌實時位移的法向壓縮量,可由輪軌接觸幾何關系求得。

下部軌道子系統的動力學方程[12]為

(26)

在式(24)和式(26)中,列車為移動荷載分別采用Newmark數值積分法求解。在每一個時間計算步長中,考慮兩子系統間的輪軌接觸力平衡和位移相容條件,運用迭代法交叉對兩子系統動力學方程獨立求解,分別得到車輛和軌道兩個子系統的動力響應及輪軌作用力。然后,進行收斂性分析,將前后兩次迭代計算得到的軌道結構結點位移相對誤差與給定的收斂精度比較,若滿足要求,進入下一個時間步長;若不滿足,則繼續進入下一次迭代。

在運用交叉迭代算法求解列車-軌道耦合系統動力學方程時,通過修改起步計算時刻車輛動力學方程和在迭代過程中引入松弛因子修正輪軌接觸力有效提高了交叉迭代算法的收斂速度。引入松弛因子修正后的輪軌接觸力為

t(FVT)k=t(FVT)k-1+μ[t(FVT)k-t(FVT)k-1]

(27)

式中:t(FVT)k、t(FVT)k-1分別為t時刻當前迭代步k與上一迭代步k-1的輪軌接觸力;μ為松弛因子,0<μ<1,計算表明松弛因子μ=0.3～0.5可獲得較好的收斂效果。

4 軌道交通環境振動現場測試

軌道交通環境振動現場測試地點位于昌九城際鐵路線近南昌北站附近,測試線路上運行的列車類型包括CRH2A、CRH380、CR200、HXD3等型客車,列車運行速度為80～210 km/h。軌道類型為有砟軌道結構,Ⅲ型混凝土軌枕,P60鋼軌無縫路。

測點布置見圖4。在距離近軌中心線5、10、15、20、25、30、40、50 m的地面布置測點,測點編號為P1～P8。每個測點在x(垂直鐵路線的水平向)、y(平行鐵路線的水平向)、z(垂直地面的豎向)3個方向安裝東華測試2D001型加速度傳感器。

圖4 加速度傳感器測點布置(單位:m)

測試采用德國Head公司的DATARec 4 DIC24數據采集儀,可同時使用24個通道對數據進行精準采集,采樣頻率為1 024 Hz;采用雷達測速儀實時測量列車通過速度;采用941B型拾振器測量地面振動加速度。現場測試內容包括大地各測點振動加速度時程和大地振動線源振動加速度導納。

4.1 地面各測點振動加速度時程和頻譜

分別對圖4所示的地面8個測點沿x、y、z方向測試振動加速度。CRH2A型高速列車(8節編組)以速度為110 km/h通過時,實測得到的P1測點垂向振動加速度時程和頻譜曲線見圖5。由圖5可知,大地振動的優勢頻率主要集中在20～80 Hz。其他測點的振動加速度時程和頻譜與P1測點基本相同,只是振幅有所不同。

圖5 P1測點垂向振動加速度時程和頻譜曲線

4.2 現場實測地面線源振動加速度導納

為了實測大地線源振動加速度導納,采用定制激振器對近軌道處地面激振點施加垂向沖擊荷載,激振點位于過P1測點平行鐵路線方向上,所施加的激勵力信號峰值為10～30 kN,典型激勵力信號(15、20、22 kN)的時程和頻譜曲線見圖6。分別拾取距離激振點5、10、15、20、25、30、40 m處地面觀察點,即P2、P3、P4、P5、P6、P7、P8測點的垂向振動加速度,又由于列車荷載密度函數是指列車運行時軌道結構作用在大地表面上的動壓力,而列車在運行時激振設備無法在靠近軌道基礎底面附近進行激振,因此需要進行等效替代。因試驗場地較小,可近似認為試驗場地附近的土層地質變化不大,故而可將激振設備到地面觀察點的傳遞導納近似等于列車到地面測點的傳遞導納。然后根據式(20)、式(21)計算地面線源振動加速度導納。試驗用的激振器和實測得到的地面線源振動加速度導納見圖7。圖7中的數據是根據10次實測數據取平均得到的。由圖7可知,地面線源振動加速度導納的優勢頻率為40～100 Hz。

圖6 典型激勵力時程和頻譜曲線

圖7 地面各測點實測線源加速度導納

5 軌道交通環境振動半解析預測實例

基于交叉迭代算法的車輛-軌道非線性耦合動力學模型及式(18),采用Matlab數學工具編制了計算列車荷載密度軟件。針對昌九城際鐵路開行的列車和軌道結構類型,選擇列車參數和軌道結構參數,見表1、表2。軌道結構模型包括:鋼軌、扣件、軌枕、道砟和路基,模型長度為600 m。每個軌枕間距劃分為一個軌道單元,共計1 000個軌道單元。每節車輛劃分為一個車輛單元,共計8個車輛單元。考慮軌道隨機不平順的影響,由于我國對城際鐵路有砟軌道不平順譜尚缺乏系統的研究,文中采用德國高速鐵路低干擾軌道高低不平順譜和軌道短波不平順譜聯合生成軌道不平順樣本,見圖8。

表1 高速動車CRH2A參數

表2 有砟軌道結構參數

圖8中,德國高速鐵路低干擾軌道高低不平順譜表達式[12]為

(28)

式中:Sv(ωk)為軌道高低不平順功率譜密度;Av為表征不平順程度的參數,Av=4.032×10-7m·rad;ωc、ωs、ωr均為截斷頻率,取值分別為0.824 6、0.438 0、0.020 6 rad/m;ω為空間頻率,rad/m。

軌道短波不平順譜[12]為

(29)

式中:f為空間頻率,cycle/m。

CRH2A型8節編組高速列車以速度為110 km/h通過有砟軌道時,利用所開發的列車荷載密度軟件計算得到的1/3倍頻程列車荷載密度見圖9。然后,將計算得到的列車荷載密度和現場實測的地面線源振動加速度導納代入到軌道交通環境振動預測式(17),即可得到地面各測點1/3倍頻程振動加速度級。

圖9 列車荷載密度計算值

根據式(23)計算得到的地面各測點振動加速度總振級見圖10。現場實測與基于模型計算列車荷載密度預測環境振動2種方法得到的地面各測點振動加速度級對比結果見圖11。

圖10 地面各測點加速度總振級實測值與預測值

圖11 地面各測點1/3倍頻程振動加速度級實測值與預測值

由圖10可知,地面各測點振動加速度總振級預測值與現場實測值吻合良好,誤差小于5%。由圖11可知,地面各測點1/3倍頻程振動加速度級實測值與預測值除了在中心頻率63、80 Hz兩處誤差大些,實測值與預測值總體吻合良好,振動加速度級幅值及隨頻率變化趨勢基本相同。產生誤差的可能原因是:大地激振實驗采取單點激勵,設置多個激勵點的方法進行,而實際高速列車在軌道上運行時,是系列移動動荷載的多點激勵。雖然在實驗時選取了多個激振點,但是數量仍然有限。

實測值與預測值對比結果說明基于模型計算列車荷載密度的軌道交通環境振動半解析預測方法的正確性。

6 結論

通過理論分析、數值計算和現場試驗,提出基于模型計算列車荷載密度和現場實測大地線源振動傳遞導納的軌道交通環境振動半解析預測方法。為驗證預測方法的正確性,進行了列車誘發大地振動預測實例分析,得到以下結論:

1)通過建立點源沖擊荷載作用下的軌道-半無限區域大地模型,推導預測列車在軌道上運行時引起大地振動加速度的解析公式,為構建軌道交通環境振動預測方法提供了理論基礎。

2)通過建立列車-軌道非線性耦合系統動力學模型,提出運用交叉迭代算法求解列車-軌道耦合系統動力學方程和計算列車荷載密度的數值方法,避免了既有研究方法中實測列車荷載密度函數的難題,使得預測方法更具有實用性和可操作性。

3)通過現場試驗,證明了采用沖擊荷載實測大地點源振動傳遞導納,然后運用數值積分公式計算線源振動傳遞導納的可行性。

4)提出了基于模型計算列車荷載密度和現場實測大地線源振動傳遞導納的軌道交通環境振動半解析預測方法。預測結果與實測數據吻合良好,誤差小于5%,說明預測方法的正確性。該方法避免了實測列車荷載密度的難題,并通過現場試驗準確獲得了測試區域大地的傳遞導納,具有預測精度高,容易實施的特點。