軌道梁參數隨機的磁懸浮列車-軌道梁系統概率密度演化分析

余志武，張 鵬，丁叁叁

(1.中南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410075；2.高速鐵路建造技術國家工程實驗室，湖南 長沙 410075；3.中車青島四方機車車輛股份有限公司，山東 青島 266111)

磁懸浮列車是一種通過非接觸式電磁力來實現懸浮、導向和牽引的新興陸地交通工具[1-2],其具有環境友好性強、維護成本低、爬坡能力強、無脫軌風險等優點,受到全世界范圍內的廣泛關注[3]。磁浮列車與軌道梁的動力相互作用是影響列車行車安全性、平穩性以及橋梁動力性能的關鍵因素之一[4-5],國內外學者針對該問題從多角度開展了研究[6-9],取得了很多成果。Wang等[10]將車輛模型簡化為移動均布荷載,研究了軌道梁跨中撓度以及撓度沖擊系數隨車速的變化關系。Zhao等[11]在懸浮平衡點處將磁軌關系線性化,采用簡化的線性彈簧-阻尼器模擬復雜的電磁力,基于10自由度磁浮車輛模型,分析了運行在簡支型和連續型軌道梁上磁浮車輛的行車性能。Yang等[12]建立了磁浮車輛-軌道梁-基礎-土體相互作用模型,用比例-積分-微分控制器(PID)實現了對電磁力的控制,分析了土體振動對磁浮車輛振動響應的影響。周勁松等[13]建立了磁浮車輛垂向動力學模型,運用虛擬激勵法分析了隨機軌道不平順激勵的磁浮車輛的運行平穩性。

以上研究都是基于確定性結構系統模型進行的響應分析,然而,由于建造誤差和測量精度的不完全可控性,服役期內材料經時行為劣化等主客觀因素的影響,工程結構的物理參數往往伴隨著一定的離散性[14]。已有研究表明,結構參數的隨機變異對結構振動的影響不能忽略[15],采用隨機結構模型能更加客觀合理地反映實際情況。已有研究中,考慮隨機結構參數影響的車橋動力相互作用分析還比較有限。

自20世紀70年代以來,國內外學者針對隨機結構引起的動力分析問題進行了廣泛的研究,主要形成了隨機模擬法(蒙特卡洛法)[16]、隨機攝動法[17]、正交多項式展開法[18]和概率密度演化理論[19-21]四大類方法。經典的隨機模擬法需要消耗大量的計算時間,隨機攝動法要求隨機變量變異性小并存在“久期項”問題,正交多項式展開法受隨機變量概率分布的限制大,上述不足限制了人們采用這些方法分析車橋耦合振動問題。概率密度演化理論適用于隨機結構參數和隨機激勵引起的復合振動問題[20],能高效地計算出結構反應的均值、標準差和概率密度函數(PDF)。迄今為止,國內外還沒有應用該方法分析軌道梁參數隨機引起的磁浮車橋隨機振動的案例。

本文建立磁浮列車-控制器-軌道梁耦合系統時變隨機動力分析模型,基于高斯分布運用Voronoi區域剖分概率空間并賦予隨機軌道梁參數代表點初始概率,將概率密度演化理論引入磁浮車橋振動系統,分析軌道梁參數的隨機變異對車輛、軌道梁和電磁力響應的影響,研究系統響應隨車速的變化規律。

1 磁浮車輛、軌道梁子系統模型和動力方程

1.1 磁浮車輛子系統

磁浮列車模型由多節車輛組成,每節車輛是由車體、磁轉向架以及懸掛裝置組成的多自由度動力振動系統。由于豎向運動對車輛與軌道梁相互作用起主導作用,因此僅考慮垂直平面內車輛的10個自由度:車體浮沉和點頭(zc,βc),磁轉向架浮沉和點頭(zbj,βbj,j=1,2,3,4)。假定車輛各部件均為剛體,各剛體間通過彈簧-阻尼器連接,每節車輛通過16個電磁集中力和軌道結構相互作用來兼顧計算精度和效率[22],車輛模型見圖1。

圖1 磁浮車輛分析模型

根據彈性系統總勢能不變原理的“對號入座”法則[23-24],建立列車的運動方程[25]

(1)

1.2 隨機軌道梁子系統

軌道梁是磁浮線路的主要承載結構,建立軌道梁模型主要有模態疊加法和有限單元法。模態疊加法雖然能適當減少計算工作量,然而很難避免選取有限階模態時無法準確考慮軌道結構振動特性的問題[23]。視梁體為Euler-Bernoulli梁,采用有限單元法對軌道梁離散,不失一般性,軌道梁子系統的確定性動力方程為

(2)

式中:Mb、Cb和Kb分別為(Nb×Nb)維的軌道梁子系統的初始質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣;Nb為整體自由度;Ub、Fb(t)分別為(Nb×1)維的結構響應向量和激勵向量。Γ為(Nb×Nb)維外荷載激勵加載位置矩陣,隨車輛在橋上運行位置的改變而變化;Cs、Ks分別為支座阻尼和剛度。

阻尼采用Rayleigh阻尼假定,有

Cb=αMb+βKb

(3)

(4)

將隨機變量引入運動方程,則結構質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣為隨機矩陣,公式(2)變為

(Ks+Kb)()Ub=ΓFb(t)

(5)

經過有限元基本原理和線性代數推導,可得到隨機矩陣的線性組合表達式為

(6)

(7)

(8)

1.3 電磁懸浮力計算模型

磁浮車輛通過電磁懸浮力和軌道結構相互耦合作用,電磁懸浮力由一系列的電磁鐵產生,每個電磁鐵和軌道的相互作用模型見圖2。

圖2 電磁鐵-軌道梁相互作用示意

假定電磁鐵中的磁阻和磁通漏為零,忽略材料的磁飽和特性,視磁勢均勻分布,瞬時垂向電磁力Fsup為電流和懸浮間隙的函數[28],可表示為

(9)

式中:B為磁通密度;it為瞬時電流;δt為瞬時懸浮間隙;μ0為磁導率;A為電磁鐵有效磁極面積;N為繞組線圈匝數。

由式(9)可知,電磁懸浮力和懸浮間隙呈平方反比非線性關系,可見常導磁浮本質具有不穩定性,須引入閉環反饋控制器使懸浮間隙在一定的范圍內穩定變化。基于工程實踐中廣泛應用的PID控制策略,采用電流控制實現閉環反饋的控制方案,其算法原理為

(10)

2 概率空間選點

k=1,2,…,n

(11)

式中:?k,j∈(1,n),在維數較低的情況下,?k,j確定的點集可以直接采用,當點集?k,j所確定的向量維度n很大時,直接使用n維點集將會導致很大的誤差[20]。

為兼顧計算精度和效率的要求,采用超球體篩分方法對點集進行篩分,即

(12)

式中:r0為篩分半徑。

對經過篩選后的點集進行仿射變換,進一步優化點集的均勻程度,即

(13)

式中:μk,j為均值;βk,j為變異系數。

‖x-γm‖?k≠m}

(14)

為方便求解概率密度演化方程,以圖3所示Voronoi區域來確定代表點的賦予概率,其概率密度函數為

(15)

圖3 Voronoi區域示意

所有點集組成的總概率空間的聯合密度函數滿足

(16)

3 磁浮車輛-軌道梁系統耦合隨機時變運動方程

根據第1節的方法闡述,分別建立車輛子系統、軌道梁子系統運動方程,采用分離迭代法通過電磁懸浮力將兩個子系統耦合,建立磁浮車輛-軌道梁耦合隨機動力分析系統,見圖4。

圖4 磁浮列車-軌道梁耦合隨機動力分析系統

聯合式(1)和式(5),得到磁浮車橋耦合隨機時變運動方程為

(17)

式中:ζ1、ζ2均為隨機變量,分別用來描述結構材料物理特性參數的隨機性和外荷載的隨機性。

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

Fd(t)表示確定性荷載引起的外力向量

(23)

(24)

(25)

(26)

4 概率密度演化方法求解系統響應

不失一般性,車輛子系統和軌道梁子系統耦合隨機時變運動方程(17)可以統一改寫為

(27)

(28)

根據概率守恒原理建立響應的概率密度演化方程并求得概率信息,圖5給出了概率密度演化理論求解磁浮動力分析系統隨機響應流程。

圖5 概率密度演化理論求解磁浮系統隨機響應流程

概率密度演化理論求解磁浮動力分析系統隨機響應的具體步驟如下:

Step1根據多體動力學和有限元方法建立確定性的磁浮車橋耦合振動方程。

Step2采用數論選點法在概率空間ΩΘ構造軌道梁物理特性參數的代表性點集Θ={Θ1,Θ2,…,Θs},通過Voronoi區域計算代表性點的賦予概率。

Step4假設Y為待求解的物理量,Y=(yx,1,yx,2,…,yx,m,…,yx,n)T包含車橋系統的任意物理量,則有

(29)

(30)

式中:gx(·)、Gx(·)為轉化方程。

顯然,構造后的增廣系統(Y,Θ)包含了磁浮車橋耦合系統中所有隨機變量和物理量,是概率保守系統。設(Y,Θ)的聯合概率密度函數為pYΘ(y,θ,t),經過相關推導[20],建立廣義概率密度演化方程為

(31)

Step5在給定的初始條件pYΘ(y,θq,t)|t=t0=δ(y-y0)Pq下,采用帶TVD格式的雙邊差分法計算Y(t)的概率密度函數的數值解[20]為

(32)

5 算例分析

表1 軌道梁基本參數

5.1 模型驗證、計算精度和效率對比

為驗證模型的正確性,以軌道梁彈性模量隨機為例計算系統的隨機響應。概率密度演化方法聯合概率空間選點法(PDEM)的代表性樣本數取Nsp=500,隨機模擬法(MCS)Nsp分別取600,1 000、4 000、8 000。為方便模型驗證,以隨機變異系數COV=0.05為例,在計算機配置相同的條件下分析,計算結果見表2、圖6和圖7。

表2 兩種方法計算結果對比

圖6 軌道梁跨中豎向位移隨機響應

圖7 首車車體質心處豎向位移隨機響應

由圖6(a)、圖6(b)、圖7(a)、圖7(b)和表2可知,隨著MCS樣本數量的增加,兩種方法計算結果的偏差越來越小,并逐漸趨近于PDEM的計算值,PDEM計算500次和MCS計算8 000次響應的結果相當,最大偏差為2.36 %。計算時間方面,PDEM耗時385.12 min,MCS耗時7 621.32 min,這說明本文提出的方法具有較高的計算效率和精度,相比隨機模擬法能提高計算效率1～2個數量級。

從圖6(c)、圖6(d)可知,計算結果中的三維概率密度演化圖中包含豐富的概率信息,能為軌道結構的可靠性與安全評定提供概率分析基礎。不同時刻軌道梁跨中豎向位移的概率密度演化呈現出復雜的隨機演化特征,集中松散程度隨時間變化而變化,概率密度函數呈現非標準高斯分布。軌道梁最大跨中豎向位移均值為5.52 mm,對應的標準差為0.69 mm,最大變異系數為12.48 %。文獻[11]中采用確定性分析方法計算的軌道梁豎向位移最大值約為5.69 mm,位于本文計算結果的范圍內,這也說明了本文車橋相互作用模型的正確性。

分析圖7可知,車體豎向位移呈現出明顯概率密度演化性質,概率密度曲線的分布隨時間變化而變化。當車體由剛性軌道駛入柔性軌道梁時,車體質心處豎向位移概率密度曲線發生了明顯的概率發散。車體豎向位移均值最大值為4.23 mm,標準差最大值為0.41 mm,對應的變異系數為9.62%,等概率密度曲線略窄于軌道梁跨中豎向位移。這是由于軌道梁響應經控制后的電磁力和二系懸掛傳遞至車體后有一定的折減,與預期一致。

5.2 隨機軌道梁參數影響分析

將隨機彈性模量(Var 1),質量密度(Var 2)和阻尼比(Var 3)視為獨立隨機變量,通過概率密度演化方法計算軌道梁跨中豎向位移和加速度、首車車體豎向位移以及電磁懸浮力響應的均值、標準差和變異系數COV,然后利用三倍標準差原理(3σ)估計響應滿足99.75%概率保證率的最大值Max,計算結果見表3。

表3 隨機軌道梁參數作用時磁浮系統動力響應

分析表3可知,車橋響應的最大值和變異系數隨著Var 1～Var 3變異性的增大有不同程度的增加趨勢,但并非線性增加。Var 1、Var 2、Var 3變異系數增加4倍時,軌道梁跨中豎向位移分別增加3.30倍、0.10倍和0.26倍;跨中豎向加速度分別增加4.00倍、0.38倍和1.28倍;車體豎向位移分別增加2.16倍、0.03倍和0.02倍;電磁懸浮力分別增加0.21倍、0.02倍,0.01倍。Var 1對車橋響應的影響較大,而Var 2和Var 3的影響程度較小。這是因為彈性模量的隨機性直接導致了軌道梁整體剛度的變化,故而在磁浮列車荷載的沖擊下,系統的動態響應出現較大的離散性,這也和預期結果一致。電磁力受軌道梁隨機參數影響較小,而軌道梁跨中加速度和豎向位移、車體豎向位移受隨機參數的影響較大。通過進一步計算可知,電磁力受閉環反饋控制器的控制作用,在軌道梁和車體振動出現較大的變幅時,控制系統能夠實時調節電磁懸浮間隙和電流,從而輸出穩定的電磁力使系統穩定懸浮。綜上可得,車橋動力響應受隨機軌道梁參數影響的敏感程度為:軌道梁跨中加速度>軌道梁跨中位移>車體位移>電磁懸浮力。

5.3 車速影響分析

列車運行速度是磁浮車橋耦合振動的一個重要影響因素。將車速工況分為13個等級,在100～700 km/h區間按50 km/h等間隔變化。計算隨機因素Var 1、Var 2和Var 3作為單一隨機變量獨立作用時,以及三種隨機因素作為復合隨機變量(Coupled Case)耦合作用時軌道梁和車體的隨機響應,結果見圖8～圖10。

圖8 隨機彈性模量作用時不同車速第二跨軌道梁跨中豎向位移隨機響應(COV=0.05)

從圖8可以看出,軌道梁跨中豎向位移均值和標準差曲線響應峰值隨車速的提高先增加后減小,在車速650 km/h附近分別達到最大值7.56、1.41 mm,最大變異系數為0.19。這說明軌道梁豎向位移受車速影響較大,車橋耦合共振會影響軌道梁的隨機響應和離散程度,車速和彈性模量共同作用時軌道梁位移響應有較大的離散性和明顯的非平穩特征。

從圖9可得,軌道梁跨中加速度均值和標準差隨車速的提高有先增加后減小的趨勢。隨著Var 1變異性增強,軌道梁加速度標準差隨車速的變化曲線極值點位置發生了變化,尖峰的程度有增加的趨勢。這是因為彈性模量的隨機將導致軌道梁的固有頻率發生變化,從而影響車橋耦合共振速度。相比傳統的確定性分析方法,本文所采用的隨機方法能夠輸出均值、標準差和概率密度函數,為考慮結構參數隨機變異的磁浮車橋耦合共振車速分析和可靠度分析提供了途徑,這也反映了本文方法的優越性。

圖9 不同變異系數工況下隨機彈性模量引起的軌道梁加速度與車速的關系

從圖10(a)、圖10(b)可知,Var 1、Var 2、Var 3和Coupled Case的均值和標準差都隨著車速的增加整體上先增加后減小,最大變異系數分別為0.34、0.14、0.05、0.37。Var 1工況、Coupled Case工況車體加速度響應的標準差隨車速的變化曲線非常接近,且相較于Var 2、Var 3工況隨車速的變化幅度較大。這說明由Var 1和Coupled Case引起的車輛隨機響應受車速的影響較大,而由Var 2和Var 3引起的車輛隨機響應受車速的影響較小。從圖10 (c)可知,Coupled Case和Var 1工況的最大值隨車速的變化曲線走勢基本一致但沒有完全重合,最大誤差為11.11%。這說明3種軌道結構隨機因素耦合參振時,隨機彈性模量對車輛垂向隨機振動有主導作用,隨機阻尼比和質量密度的影響很小但不容忽略,這與5.2分析結論一致。

圖10 首車車體加速度隨機響應(COV=0.15)

6 結論

基于磁浮車輛-控制器-軌道梁耦合系統時變隨機動力分析模型,將概率密度演化理論引入磁浮車橋振動系統,基于MATLAB開發了隨機動力分析程序,采用隨機模擬法和文獻結果驗證了模型的計算效率和精度,研究了隨機軌道梁參數和車速對磁浮系統動力響應的影響規律,可得出以下結論:

1) 基于概率密度演化理論的磁浮車輛-控制器-軌道梁時變隨機動力分析模型高效準確,相比隨機模擬法計算效率提高1～2個數量級。

2) 車橋隨機響應受隨機軌道梁參數影響的敏感程度為:軌道梁跨中加速度>軌道梁跨中位移>車體位移>電磁懸浮力。

3) 車橋響應受車速的影響較大,并非隨車速的提高而單調增加。

4) 隨機彈性模量對車輛垂向隨機振動有主導作用,隨機阻尼比和質量密度的影響很小但不容忽略。因此,在軌道梁服役周期內,應合理考慮和控制軌道梁參數的隨機變異。