采用同分布概率演化法求解脫軌系數的概率分布

周子驥，張 楠

(北京交通大學 土木建筑工程學院，北京 100044)

脫軌系數是車輪一側的橫向力與豎向力的比值,用來判斷輪緣在橫向力的作用下是否會逐漸爬上軌頭而脫軌。由于輪軌力受軌道不平順等隨機因素的影響,對脫軌系數的研究必須考慮這種外部影響的隨機性。

車橋耦合振動在各種確定性荷載作用下的研究已經相當成熟。主要關注數值算法、車橋模型優化以及各種外部激勵(如軌道不平順、風和地震荷載等)的建模[1-5]。研究車橋系統隨機振動的主要方法有蒙特卡洛法[6]、極值響應面法[7]、增強法[8]、子集模擬[9]、概率密度演化理論[10]、虛擬激勵法[11]等。Yu等[12-13]采用概率密度演化理論研究了考慮橋梁質量、剛度、阻尼隨機性和軌道隨機不平順時的橋梁動力響應。李小珍等[14]、張志超[15]和He等[16]采用虛擬激勵法研究了隨機荷載作用下橋梁的動力響應。Zhang等[17]利用虛擬激勵法得到輪軌力標準差,建立行車安全指標的概率分布函數,并對這些指標進行統計分析。Poliakov等[18]結合多種方法研究了車輛-軌道-橋梁系統的隨機振動,并對駕駛安全指標進行了統計分析。

在隨機振動理論研究中,通常假設隨機響應服從正態分布(特別是車-橋系統),然后利用這一規律評估結構的安全性。然而,脫軌系數是輪軌橫向力與豎向力之比,其統計分布尚未得到研究。現有對脫軌系數的概率研究采用統計方法。此方法可以求脫軌系數的統計特征,但是需要大樣本。計算量過于繁重,而且結果也表現出波動性。脫軌系數是衡量行車安全的重要指標。如果能夠有效地獲得其精確的概率分布函數,將為行車安全研究提供重要的支持。本文采用輪軌豎向密貼和簡化線性Kaller橫向蠕滑理論關系建立車-橋輪軌關系模型。通過虛擬激勵法和時程計算,得到橫向和垂直輪軌力的均值和標準差。利用同分布概率演化法,結合輪軌力的均值與標準差得到脫軌系數的近似正態分布條件及其柯西似分布函數。通過蒙特卡洛法驗證了脫軌系數高度服從正態分布,其柯西似分布函數可以較好的運用于統計研究。最后通過現場實測數據驗證了本文方法的正確性。

1 車-橋耦合系統計算模型與輪軌力標準差的求解

1.1 車-橋耦合系統計算模型

一般來說,每節車輛由三種部件組成:車體、轉向架和輪對。車體與轉向架、轉向架與輪對分別由二系懸掛系統和一系懸掛系統連接。每個懸掛系統都由線性彈簧和黏性阻尼器組成。車體和轉向架各有5個自由度:沉浮(z方向)、橫擺(y方向)、搖頭(ψ角度)、點頭(φ角度)和側滾(θ角度)。輪對有3個自由度:沉浮、橫擺和側滾。車輛模型在文獻[19]中進行了詳細描述,見圖1。

圖1 車輛模型

采用模態疊加法建立橋梁動力學模型。對橋梁系統作如下假設:①假設橋梁與軌道共同運動,忽略兩者的相對位移;②作用在接觸點的力只分配到相鄰的橋梁節點,節點力的大小取決于輪對與橋梁節點之間的距離。

車-橋耦合系統的運動方程為

(1)

式中:Mv、Cv、Kv為列車系統的質量、阻尼和剛度矩陣;Φb為橋梁模態矩陣;Ωb和ξb分別為橋梁模態頻率矩陣和阻尼矩陣;Fv、Fb分別為車輛、橋梁系統所受的外荷載向量;Xv、Xb分別為車輛、橋梁系統動力響應向量。

1.2 輪軌接觸關系

由于虛擬激勵法只適用于線性系統,采用輪軌豎向密貼和橫向簡化Kaller線性蠕滑關系建立了車輛橋梁輪軌關系模型。對于中國常用的普通車輪半徑而言,簡化線性蠕滑模型與線性蠕滑模型之間的誤差僅為0.13%～4.43%[3]。

1.3 輪軌力標準差的求解

(2)

式中:Γ(t)為作用力指示向量,按照靜力等效原理將輪軌力分配到相鄰的橋梁節點上;G(t)為調制函數矩陣,G(t)=diag[g(t-t1);g(t-t2);…;g(t-tn)],g(·)為調制函數,tn為n個輪對的上調時間;V(t)為時間滯后矩陣,由輪對相對位置決定,V(t)=diag[e-iωt1… e-iωtj… e-iωtn];S(ω)為軌道不平順功率譜密度函數;ω為頻率;t為時間;i為虛數;n為輪對總數。

(3)

式中:h(t-τ,τ)為第τ時刻脈沖響應函數。

系統隨機響應功率譜矩陣Suu(ω,t)為

Suu(ω,t)=u(ω,t)*·u(ω,t)T

(4)

式中:Suu(ω,t)為虛擬響應的功率譜;上標*為取共軛。由于軌道不平順之間不存在相關性,因此不存在響應的互譜。

最后,根據隨機響應功率譜密度矩陣,求得系統隨機響應的均方根為

(5)

式中:σu(t)為響應的標準差;Δω為頻率增量;m為系統頻率截斷數;ωi為頻率劃分。

輪軌接觸力的標準差可以通過虛擬激勵法得到[20]。本文考慮了輪對慣性力。因此,由軌道不平順產生的隨機力和力矩可表示為

(6)

Fz(w,t)=Γ(t)G(t)V(t)×

(7)

Fθ(w,t)=Γ(t)G(t)V(t)×

(8)

式中:Fy(ω,t)、Fz(ω,t)、Fθ(ω,t)分別為橫向、豎向輪軌力、扭轉力矩矩陣;Kz1、Cz1分別為一系懸掛系統豎向剛度與阻尼;Mw為輪對質量;Cc為簡化線性蠕滑阻尼;Sa、Sv、Sc分別為軌道方向、高低與水平不平順功率譜;b1為軌距的一半。

當研究輪軌力時,u(ω,t)取系統輪軌力的虛擬響應,然后通過式(5)可求得輪軌力的標準差。

2 脫軌系數的同分布概率演化法

車輛隨時間的變化其對應的橋梁位置也在變化,因此車-橋系統是一個時變系統。軌道不平順性是零均值高斯過程,因此對于線性輪軌接觸模型,橫、豎向輪軌相互作用力在各時刻均服從正態分布。脫軌系數為兩個正態分布隨機數的比值。假設x、y分別服從標準正態分布,a、b為非負常數。當常數a<2.5、b>4,則(x+a)/(y+b)近似服從高斯正態分布[21]。

(9)

輪軌力的標準差與豎向力的均值恒大于0,但橫向力的均值在不同時刻存在正負值的情況,因此式(9)可寫為

(10)

對于近似正態分布的滿足條件而言,比較嚴格。對于更一般的情況,當y+b恒大于零時,(x+a)/(y+b)服從的概率分布函數為

(11)

式中:m為隨機數;P為概率分布函數;Φ為標準正態分布函數。

當uy≥0時

(12)

當uy<0時

(13)

其概率密度函數可由公式(11)求得

(14)

式中:φ為標準正態概率密度函數。

3 算例計算及結果分析

根據式(11),脫軌系數的柯西似分布概率密度函數可以直接由橫、豎向輪軌相互作用力的均值和標準差得到。首先驗證脫軌系數滿足近似正態分布的統計條件,然后利用蒙特卡洛法測試不同車速、不同軌道不平順譜、不同橋梁撓跨比下脫軌系數樣本是否服從(或近似服從)正態分布和柯西似分布。對于脫軌系數服從正態概率密度函數的檢驗采用Kolmogorov-smirnov檢驗(K-S檢驗)[22]。柯西似分布檢驗由式(14)畫出擬合曲線,觀察擬合情況。

采用的軌道不平順譜分別為中國譜、德國低干擾譜和德國高干擾譜,采用速度為270、300、330 km/h。當使用中國譜時,車速為330 km/h,而當考慮德國高干擾譜或橋梁大變形時,車速為270 km/h。軌道不平順譜和列車參數見文獻[3];橋梁采用3跨32 m簡支梁橋,其參數見表1。通過改變橋梁的抗彎慣性矩來改變橋梁的撓跨比。列車施加在橋上的力和力矩見圖2。

表1 橋梁參數

圖2 作用在橋梁上的力向量示意(單位:cm)

3.1 近似正態分布的統計條件

由上節可知,當|uy/σy|<2.5和uz/σz>4時,脫軌系數近似服從正態分布。通過虛擬激勵法計算輪軌力的標準差,通過時程計算得到輪軌力的均值(忽略軌道不平順),計算結果見圖3、圖4。

圖3 單側橫、豎向輪軌力的均值

圖3為正常情況下和對橋梁橫、豎向抗彎慣性矩進行折減后大撓度情況下橫、豎向輪軌力的均值。圖4為不同工況下橫、豎向輪軌力的標準差。其中,德低代表德國低干擾譜、德高代表德國高干擾。由圖4可知,輪軌力的標準差均有時變特性,因此本文采用的方法可以應用于時變問題的求解。

增大橋梁動撓度主要影響橋梁的均值,對輪軌力標準差影響很小。從計算結果可以看出,即使是最不利的情況,即,uz/σz=5.59和|uy/σy|=0.07,也滿足近似正態分布的條件。因此,可以認為高速鐵路脫軌系數近似服從正態分布。

3.2 脫軌系數的柯西似分布與近似正態分布的檢驗

首先對脫軌系數樣本進行高斯性測試。采用蒙特卡洛法生成10 000個樣本。對每個時間步的數據進行柯西似分布與正態分布檢驗,判斷脫軌系數是否服從正態分布與柯西似分布。計算時間步為1 575,因此每個工況檢驗次數也為1 575;顯著性水平設為0.01。選出各種工況下統計檢驗不合格的數據,繪制概率密度檢驗圖。當不通過數量大于3個,則隨機選取3個樣本。如果當前工況的檢驗均通過,則繪制列車到達橋梁跨中處的脫軌系數的測試數據檢驗圖。

3.2.1 不同車速工況

對車速為270 km/h的工況進行K-S正態概率密度函數檢驗,所有樣品均通過測試。列車到達橋梁跨中處的脫軌系數檢驗見圖5。從圖5可知,柯西似分布函數與計算數據直方圖基本吻合。

同樣,在車速為300 km/h的情況下,所有樣本均通過了K-S正態概率密度函數檢驗。列車到達橋梁跨中處的脫軌系數檢驗見圖6,由圖6可知,柯西似分布函數基本上與計算數據直方圖一致。

圖6 v=300 km/h德國低干擾譜的概率密度檢驗

然而,當車速為330 km/h時,有三個樣本的K-S正態概率密度檢驗失敗。繪制這三個樣本的脫軌系數檢驗圖,見圖7。由圖7可知,樣本在均值處明顯穿越了正態概率密度函數曲線。但是計算數據仍然非常接近正態分布。對于柯西似分布函數,其在樣本均值處的擬合明顯優于正態概率密度。

圖7 v=330 km/h德國低干擾譜的概率密度檢驗

3.2.2 不同軌道譜工況

中國譜和德國高干擾譜工況的計算結果分別見圖8和圖9。對于中國譜,所有樣本的K-S正態概率密度函數檢驗均通過,列車到達橋梁跨中處的脫軌系數檢驗見圖8,由圖8可知,柯西似分布函數基本與計算數據直方圖一致。

圖8 v=330 km/h中國譜的概率密度檢驗

圖9 v=330 km/h德國高干擾譜的概率密度檢驗

當使用德國高干擾譜時,測試失敗總數為48。隨機選取三個時刻的脫軌系數樣本進行概率密度曲線擬合,見圖9。在均值附近有少量樣本穿越正態概率密度函數曲線。盡管如此,樣本擬合總體趨勢仍然高度服從正態分布。對于柯西似分布,在樣本均值處,其擬合效果明顯優于正態分布函數。因此,柯西似分布函數更適合用于脫軌系數的概率分布研究。

3.2.3 橋梁大撓度工況

橋梁大撓度情況下的計算結果,所有計算樣本均通過K-S正態概率密度函數檢驗。列車到達橋梁跨中處的脫軌系數檢驗見圖10。

圖10 橋梁大撓度工況的概率密度檢驗

所有檢驗結果見表2。未能通過檢驗數最多的工況為德國高干擾譜工況,失效數目為48,占檢測總數的3%左右。其次是車速為330 km/h時,德國低干擾譜工況,失效樣本數為3。結合圖4(b)可知,采用德國高干擾譜時,豎向力標準差最大;其次是車速為330 km/h的德國低干擾譜工況。uz/σz越小,則失效樣本越多,符合本文理論研究。本文的德國高干擾譜工況,車速已經超過了德國規范要求,且德國高干擾譜不適用于高速鐵路。因此對于高速列車而言,其輪軌力的標準差不會超過本文的德國高干擾譜工況。列車速度運行越快,采用的軌道不平順樣本越光滑,因此可以說明對于高速鐵路而言,列車的脫軌系數高度服從正態分布。其次,本文的柯西似分布函數對脫軌系數樣本的擬合要優于正態分布函數。因此,柯西似分布函數更適合于脫軌系數的概率統計研究。

表2 正態分布檢驗結果

3.3 測試數據檢驗

取文獻[3]的試驗數據對脫軌系數概率密度函數進行擬合研究。輪軌力的測試數據見圖11,脫軌系數概率密度函數的擬合結果見圖12。由圖12可知,測試數據大致服從正態分布和柯西似分布。考慮測試現場的不可控因素與測試誤差,可認為本文研究的理論方法與試驗結果是一致的。

圖11 輪軌力的測試數據

圖12 試驗數據的概率密度函數擬合

4 結論

本文采用同分布概率演化法闡述脫軌系數的概率分布函數。通過蒙特卡洛法驗證脫軌系數高度服從正態分布,其柯西似分布能夠準確的擬合脫軌系數樣本。最后,通過現場試驗數據驗證了理論方法的正確性。得到以下結論:

1)對于行駛在橋梁上的高速鐵路列車,其脫軌系數高度近似服從高斯正態分布。

2)通過比較脫軌系數的正態概率密度函數和柯西似分布概率密度函數,發現柯西似分布函數對脫軌系數樣本的擬合效果較好,更適合于脫軌系數的概率統計研究。