小學數學幾何直觀的理解和教學實踐

江蘇省無錫市江陰市第三實驗小學 黃鳳華

德國數學家D.希爾伯特在《直觀幾何》一書中指出，圖形可以幫助我們發現、描述研究問題；也可以幫助我們尋求解決問題的思路；還可以幫助我們理解、記憶所得到的結果。這就是幾何直觀帶給我們的好處。在小學數學教學過程中，教師應在深入理解幾何直觀素養的基礎上，努力探索有效培養學生幾何直觀能力的教學策略，讓他們能更積極、更有效地參與到數學教學活動中，提高幾何直觀能力，以促進學生數學素養的發展。

一、看圖——生成數學描述的意識

看圖，就是教師在課堂上問學生“從圖中看到了什么數學信息”后，學生帶著目的，有意識地觀察、提煉圖中涉及的數學信息，并能用自己的語言描述看到的數學信息。在看圖能力培養的過程中，教師要引導學生有目的地看圖，剔除圖中的非數學信息，提煉出相關的數學因素，并逐步過渡到用精練的數學語言表達所看到的數學信息。

（一）用數學的眼光看圖

對于以形象思維為主的小學生來說，他們往往會被教材中生動的主題圖吸引，尤其是低年級學生，如果沒有教師的有意識引導，讀圖時他們往往會被色彩鮮艷、形象生動的圖片吸引，把數學表達當成看圖說話。

從第一節數學課開始，教師就要在課堂上引導學生進行讀圖的訓練，用導向性明確的問題引導學生用數學的眼光觀察、識別圖像的信息，生成用數學語言描述信息的直觀意識。引導學生讀圖時，首先可以給予具體的提示：“從圖中可以看出的數學信息是什么？數學問題又是什么？”先看條件，再看問題，是讀圖的基本順序。

（二）用數學的語言表述信息

在教學過程中，教師除了需要引導學生說出圖中的數學信息，還需要引導學生用數學的專用詞匯概括看到的信息，比如：用速度、時間、路程來描述行程問題，用單價、數量、總價來描述購物問題。更重要的是，當圖像中的信息較多時，教師還要引導學生按一定的邏輯順序來表達：先說哪個條件，再說哪個條件能體現出它們之間的關系。這里不僅需要學生能讀圖說意，還需要學生能將直觀信息進行邏輯思考和數學加工。這樣的持續訓練不僅能使學生把圖意表述得更準確，還能使學生的數學思維能力得到長遠的發展。

（三）用變式抓住本質特征

教師要對圖形素材進行多樣的加工，引導學生在讀圖的過程中抓住數學知識的本質特征，促使學生在數學直覺的基礎上構建圖形的典型類型與常見變式，在豐富數學表象的同時進行數學的初步建模。

如“認識垂直”一課，通過初步感知關于垂直，學生能夠提煉出的關鍵詞是“相交”“直角”，但對于很多學生來說，他們印象深刻的垂直是“橫平豎直”，是能直接觀察到兩條直線相交后的垂足。為了突破常見類型帶來的思維定式，教師在設計練習時，就需要注重常見的典型類型與變式的交互出現，以幫助學生在圖形的辨析中，抓住兩條直線垂直關系的本質特征。

二、析圖——深入對圖像信息的理解

“從圖中還能知道什么？”教師用這樣的問題引導學生對圖像展開深度思考和探究，對讀圖之后獲得的數學信息進行再次加工，或是對已知圖像進行自主測量、分析、比較等，結合文字語言和數學圖形進行合理的猜測、推理、計算等，進一步發掘圖像所表達的信息。

（一）結合圖形獲取信息

對于高年級學生，教師要鼓勵他們借助幾何直觀進行比較、分析，充分發揮直觀推理在發現問題、分析問題過程中的作用，從而發現圖像條件之間的聯系以找到解決問題的突破點。

蘇教版數學六年級下冊“扇形統計圖”的課后練習，除了要求學生能讀懂扇形統計圖中各項分類所占總量的百分比，還要求學生對圖像進行分析，特別是圖中把條形統計圖和扇形統計圖結合起來分析的類型，更加考驗學生對圖像信息深入理解的能力。教學時，教師要引導學生對條形統計圖和扇形統計圖進行對比、分析后進行相應的計算，促進學生對圖像的深入理解。多種數學思維和數學方法的融合運用，能有效促進學生數學素養的生成和發展。

（二）辨析圖形理解意義

在不同的圖中找相同點，在類似的圖中找不同點，學生經歷在辨析圖像中同中求異、異中求同的思維過程，不但能溝通數學知識之間的聯系，還能在對比、分析的過程中發展推理能力。

以“2和5的倍數的特征”為例，以往在探究“5的倍數”特征時，教師都是采用“初步發現—提出猜想—舉例驗證”的方式，但這樣的不完全歸納法所得出的結論，并不能完全消除學生心中的疑慮。于是，我們采用方格圖的方式，從“7為什么不是5的倍數”開始研究，逐步加大到17、27、37……107、9997……隨著格子圖的不斷變化，學生很容易通過對比發現，無論其他數位上是幾，只要個位上是7，5個5個地數格子，都會多2個格子，就不會是5的倍數。怎樣才能變成5的倍數？怎樣的數不會是5的倍數？方格圖中就能給出答案。（如圖1）因此，用數形結合的方式可以通過解釋規律將枚舉歸納提升為科學歸納，具有長遠的、廣泛的遷移價值。

圖1

學生通過分析圖，不但拓展了圖像信息理解的深度，還實現了圖與數、意與形的有機結合，更能在這個過程中提升學生的數學素養。

三、畫圖——形成幾何表達的慣性

學生的畫圖能力并不是與生俱來的，而是需要教師的有意識引導。教師要積極鼓勵學生通過畫圖來尋找解決問題的途徑，逐步培養學生借助幾何直觀進行數學思考的習慣。

（一）教給畫圖的技巧

1.從示范到放手

用圖形直觀表達數學信息意識的形成，一定是從教師的示范和指導開始的。從最初的表示簡單事物的示意圖，到表達數量關系的線段圖，或是表示兩個量積的矩形圖，甚至是表示集合關系的韋恩圖，都需要教師有意識地引導和示范以及提出規范要求，引導學生不但要畫圖，還要在圖上標注出已知條件和問題，從而讓圖形更直觀，讓數量關系一目了然。在學生掌握了一定技能后，教師可以放手讓學生獨立畫圖。但為了保證圖畫準確性，在學生獨立畫圖的初期，教師需要逐個關注，給予適時的點撥，并組織學生相互交流畫圖的過程和圖形表達的含義，通過教師的示范再逐步放手讓學生獨立畫圖表達，逐漸形成畫圖的習慣。

2.先思考再下筆

對于輔助解題類的畫圖，一開始，學生會根據題目信息精準畫圖。比如，需要畫一個長方形時，學生會用直尺精確量出長、寬的厘米數，這樣往往需要耗費大量的時間，反而影響了教學的效率。其實，對于此類畫圖，教師要引導學生不需要畫得非常精準，但也不能隨心所欲，可以根據所給數據的特點確定所畫圖的大概模樣。比如，畫長方體時，要根據長、寬、高的不同數據大小來決定長方體的形狀；畫線段圖時，需要畫幾條線段？（整體和部分的關系用一條線段，兩個獨立量的關系用兩條線段比較合適）需要畫多長？（要根據數據來預估所畫線段的長短）把圖畫得大小合適、形狀妥帖的前提是提前對數量、數據進行分析，先思考再下筆，這樣可以大大提高畫圖的準確性。同時，教師還要引導學生注意畫圖的順序，注意圖形的層次性、結構性、合理性。

在“稍復雜的分數乘法實際問題”中，“單位1的量”“分率的對應量”這樣的文字描述對學生來說枯燥且難以理解。比如：要表示“女生人數比男生人數多四分之一”，要畫幾條線段？先畫誰？為什么要先畫男生？表示男生的線段畫多長比較合適？多四分之一怎么畫？有了這樣的思考順序的線段圖，學生對各個量所對應的分率就能形成精準的把握，從而通過線段圖的分析找出數量關系。

（二）養成畫圖的習慣

1.習慣來源于自我需求

曹培英教授在《小學數學問題解決教學研究》中指出，學習圖示豐富了問題解決的輔助手段，有利于學生逐步形成主觀構造直觀、整理信息的習慣與意識，這些收獲具有長遠的效能，甚至可以說終身受益。隨著年級的升高，數學問題開始越發抽象，特別是出現有關分率的解決實際問題和平面圖形的周長、面積，立體圖形的表面積、體積變化，這類稍復雜問題的分析更需要直觀圖的支撐。當學生在文字理解上遇到困難時，教師不要急于引導和指路，而是需要“等一等”，讓畫圖成為學生自己的需求。“一下子想不到辦法怎么辦？”“圖形變化之后變成什么模樣？”在解題困頓時，學生迫切需要一種策略來幫助自己理解數量關系，表達圖形直觀。此時，畫圖的策略才會成為學生真正的心理需求。

“一個分數，分子與分母相差15，約分后的結果是七分之四。這個分數原來是多少？”在沒有畫圖之前，學生應該會利用分數的基本性質，用一一列舉的方法，找到這個分數原來是多少。畫圖之后，有的學生在反思性作業中寫道：“這種方式十分簡便，重點就是畫圖，畫一畫，數據一標，你就什么都懂了！”對學生來說，最直接的畫圖需求就是遇到了解題困頓。

2.習慣養成于教師要求

在日常教學中，教師會發現，很多學生無法理解為什么要畫圖，更沒有自覺畫圖的意識，這樣自然就無法養成畫圖的習慣。因此，教師需要在某一階段教學時，明確提出畫圖要求，讓學生必須通過畫圖解決問題，并用是否畫圖作為評價學生解題過程是否完整的標準之一。漸漸地，學生才會在解決問題時產生主動畫圖的意識：“是否需要用畫圖直觀表達題意？應該用怎樣的圖才能準確表達？”把主動畫圖的意識和學生的認知結構相結合，進而提升學生的數學素養。

（三）用圖像語言表達

教師讓學生長期經歷問題分析與圖形描述相結合的過程，培養學生畫圖的本能，引導學生會用圖像語言表達文字語言。這樣，學生的幾何直觀意識才能逐步發展起來。借助畫圖手段可以展示數學思考的過程，也可以證明數學推理的結論，特別是對于小學生來說，一些數學知識概念性較強，用語言描述、推理判斷過程時會存在一定困難。

比如，在學習了“多邊形的面積”后的練習題：“如果有一個平行四邊形和三角形等底，平行四邊形的高是三角形高的2倍，此時平行四邊形的面積是三角形面積的幾倍？”面對這樣一個缺少了圖形底和高長度的實際問題，學生呈現了不同的描述方式：一些學生用文字描述和計算表述推理過程，另一些學生則直接用畫圖的方式表示推理過程。從學生的圖中，我們不難發現，他們實際上是實現了用圖像語言表達文字語言。正是教師在日常教學中有意識地引導和訓練，才讓學生在遇到實際問題時自然就形成了幾何表達的慣性。

幾何直觀作為一種重要的數學素養，它的培養并不是一蹴而就的，教師需要在教學過程中努力探索有效的培養路徑，以幫助學生不斷積累借助幾何直觀進行數學思考和解決問題的經驗，發展幾何直觀能力。