立足核心素養，提升關鍵能力，發展創新思維
——以“直線與橢圓的位置關系中角的轉化策略”的教學為例

北京市昌平區第一中學 劉克光

北京市昌平區教師進修學校 高麗娟

一、問題的提出

中國高考評價體系確立了“一核”“四層”“四翼”的整體框架，回答了“為什么考”“考什么”“怎么考”的問題，并指出：素質教育的突出特征之一是對創新性的強調。發散思維、逆向思維、批判性思維等思維品質是創新思維的重要特征。因此，培養學生的創新思維能力是我們教育的核心任務。在高三復習課中，筆者始終堅持把學生創新思維能力培養放在首位，針對學情創設問題情境，引導學生在探究中創新，在創新中繼續探究，把創新思維能力的培養融入具體教學活動中，讓問題解決內化在日常的數學教學過程中。下面以“直線與橢圓的位置關系中角的轉化策略”單元設計為例說明。

二、通過單元整體教學，培養學生的創新精神

（一）深入研究學情，發現學生真問題

在高三第二輪復習中，筆者發現“角的關系”問題是當前學生解析幾何復習中的突出弱項。

主要表現為四個方面：一是不能準確理解題意，理不清圖形變化規律以及參數之間的關聯；二是轉化意識不強，不能準確完成幾何條件代數化；三是字母運算能力太弱，達不到所建構模型的運算水平；四是解題思路單一，不能迅速建構簡捷算法。因此，筆者設計了關于“角的轉化策略”的教學單元，取得了良好的教學效果。

（二）單元教學目標

（1）通過實例探究，學會從幾何與代數的雙重視角，解決含有參數的直線與橢圓的位置關系中角的轉化問題，能正確畫圖、識圖，能合理轉化與規范表述相應問題。

（2）通過對含有參數的直線與橢圓的位置關系中角的轉化問題的探究過程，體驗數形結合、轉化與化歸等數學思想的應用，提升邏輯思維能力、運算求解能力和創新能力等關鍵能力，發展直觀想象、數學運算與邏輯推理素養。

（3）通過自主探究與小組交流的展示活動，創設開放性問題，提高從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，培養創新精神。

（三）單元教學設計

依照課標要求與學情分析，本單元設計為3課時。

第1課時：直線與橢圓的位置關系中的基本運算（夯實基礎）

以2021年西城區期末、2022年石景山區一模中的解析幾何解答題為母題，拓展探究弦長、垂直、定點等基本問題。培養化歸與轉化思想，提升邏輯推理與數學運算素養。

第2課時：直線與橢圓的位置關系中的角的轉化策略（1）（本節課）

以高三一模解析幾何解答題為母題，關聯“兩角的二倍關系”與“兩角互余”問題，從建構線段長度、直線斜率、點的坐標、平面向量、三角函數等不同視角，拓展探究角的轉化策略。提升邏輯推理、數學運算與直觀想象素養，發展批判性思維與發散思維能力。

第3課時：直線與橢圓的位置關系中的角的轉化策略（2）（思維拓展）

關聯2015年高考理科、2019年西城區期末、2017年西城區理科試卷中的解析幾何解答題，從建構線段長度、直線斜率、點的坐標、平面向量、三角函數等不同視角，拓展探究角的轉化策略。提升直觀想象、數學運算與邏輯推理素養，發展批判性思維與發散思維能力。

三、深研試題，優化課堂探究活動，提升關鍵能力

（一）培養數學閱讀理解能力和信息整理能力

信息整理能力是指在對大量、無序的信息進行篩選、分類、歸納并形成新的意義的過程中所需要的多種能力，這是創新解決問題的重要能力。閱讀理解能力是理解用漢字描述的數學定義、定理以及理解相應的符號與圖形語言。數學思維以數和形為思維對象，以數學語言和符號為載體，以認識和發現數學規律為目標。圖形語言著重展示圖形中各元素之間相對位置關系和數量關系，需要考生讀圖、識圖或者繪制圖形，要能對圖形進行加工、整理，抽象其中包含的解題關鍵信息。

（1）求橢圓C的方程；

（2）直線y＝kx＋m（km≠0）與橢圓C交于A、B兩點，與y軸交于點P，線段AB的垂直平分線與AB交于點M，與y軸交于點N，O為坐標原點。如果∠MOP＝2∠MNP成立，求k的值。

學生的典型錯誤是不能恰當處理條件“∠MOP＝2∠MNP”，建立關于斜率k的方程，把幾何問題恰當轉化為代數問題，并完成相關計算。

教師引導學生認真讀題、審題，畫出有代表性的圖形（如圖1），認真觀察圖形，確定點M、N、P的坐標。教師提出審題三問。

圖1

1.看條件，可以得到什么？（理解參數變化規律，繪制動態圖形，計算基本數據）

2.看結論，需要什么？（探究圖形變化過程，厘清問題中數量關系與位置關系）

3.從條件到結論，如何搭建橋梁？（幾何問題代數化：把兩角的二倍關系轉化為與直線斜率有關的方程）

（二）發展批判性思維能力與逆向思維能力

批判性思維能力是指面對各種問題情境，運用已有知識經驗進行審慎思考、分析推理、評價重構等，這是學生解決問題的重要能力。在數學學科發現和提出問題，通過部分已知信息對結論進行猜測，通過邏輯推理驗證猜想的探究過程就是批判性思維的具體體現。在高考中，對批判性思維考查體現在對于推理和論證的確認、分析、評價、展示過程中的邏輯推理。

高考數學解題，首先是正確，運用數學術語、符號、算式、推理步驟表達自己的思想。其次是規范，符合數學表達方式和要求，具有邏輯性和條理性。最后是簡明，不迂回繞路、不拖泥帶水。語言表達能力的基礎是邏輯推理、運算求解能力、推理論證能力，只有清晰條理的思維，才能有規范流暢的表達。

問題2：（學生探究活動1：角的轉化）結合圖形分析，如何處理條件∠MOP＝2∠MNP？

教師引導學生，在學生自主探究與小組合作交流的基礎上，從不同視角展開探究活動，通過學生展示過程，糾正學生在角的轉化問題上的錯誤認知，優選算法，規范表達。

教師指導學生精細化閱讀題目，再次提出審題三問。

1.兩個角的位置關系。（所在的三角形，關聯的直線等）

2.如何處理角的“二倍”關系？如何代數計算？如何構造“等角”？（相等的角的幾何轉化）

3.用代數方法如何表達角？（用直線斜率、線段長度、點的坐標等建構方程）

教學片段1：

學生1：因為MP⊥MN，所以以線段PN為直徑的圓過點M，圓心為點O。

教師追問：圓心在哪里？（未必是點O）。

學生2：因為∠MOP＝2∠MNP，利用同弧所對圓周角與圓心角的關系可知，點M、N、P位于以O為圓心，｜OM｜為半徑的圓周上。

教師追問：點P的位置能由條件∠MOP＝2∠MNP確定嗎？

針對學生錯誤認知，教師提出下列問題，引導學生討論，通過作圖分析，辨明真偽。

（1）因為MP⊥MN，所以以線段NP為直徑的圓過點M，所以｜OP｜＝｜OM｜＝｜ON｜。

（2）因為∠MOP＝2∠MNP，所以點M、N、P位于以O為圓心，｜OM｜為半徑的圓周上，所以｜OP｜＝｜OM｜＝｜ON｜。

通過學生課堂探究與交流展示，完成了如下解題策略，并完成了相應規范解答（如表1）。

表1 關于條件∠MOP＝2∠MNP的不同轉化視角

（三）發展發散思維與收斂思維能力

類比是一種重要的數學問題研究方法與學習方法，是一種常用的教學方法，也是一種發展數學創造思維的研究策略。教學的不同階段，學生運用類比的能力各異。數學概念與運算的抽象性強，學生不容易理解和掌握，如果教師能通過新知識與已有知識之間的內在聯系，運用恰當的方式，發現兩者的異同點，對新舊知識的領悟與理解，將大有益處。

問題3：（學生探究活動2：落實轉化、規范運算）

教師通過改編題設條件，引導學生思考題目條件之間的內在聯系，弄清楚“等角”與“斜率”“線段長度”或“點的坐標”的內在關聯，落實通法，優選算法。

教學片段2：

在自主探究與小組交流的基礎上，教師引導學生從不同視角分析，展開探究活動。通過學生展示交流，糾正學生的認知錯誤，規范表達，引導學生選擇適合自己的方法（設直線AB與x軸相交于點T，如圖3）。

圖3

學生3：因為∠MNP＝∠MTO，所以tan∠MNP＝tan∠MTO＝kAB。

教師追問：tan∠MNP＝kAB？（tan∠MNP＝｜kAB｜）

學生4：因為tan∠MNP·tan∠MOP＝1，所以｜kAB｜·｜kOM｜＝1。

教師追問：tan∠MOP＝｜kOM｜？直接表達不方便時，可以嘗試換個角研究。

教師追問：如何用代數方法表示“∠MTO＝∠MOT”？

學生6：轉化為線段長度，因為∠MTO＝∠MOT，所以 MT＝MO。

學生7：轉化為直線斜率，因為∠MTO＝∠MOT，所以kAB＋kOM＝0。

學生8：轉化為點的坐標，因為∠MTO＝∠MOT，所以xT＝2xM。

教師引導學生作圖分析，小組討論，糾正錯誤認知，得到正確結論。

在課堂小結中，教師引導學生歸納與類比，總結直線與橢圓位置關系中角的轉化策略（如圖4）。

圖4

（四）創設開放性問題，發展創新思維

開放性試題由于條件、方法與結果的不確定性，所以呈現出條件開放、過程開放、結論開放等特點，且沒有唯一固定答案，因此，在教育和評價中有特定的功能。開放性試題在考查學生思維的靈活性、創造性上更為突出。

筆者設計了如下問題，作為學生的課后思考題：

圖5

圖6 學生GGb軟件作品

圖7 學生幾何畫板作品

（1）如果∠MOP＝2∠MNP成立，求橢圓C的離心率e的取值范圍；

（2）當a＝2時，認真觀察本題圖形，您還可以得到哪些結論？

第二問，學生得到了以下六個結論：

①kAB·kOM＝；

②△ABN是等腰三角形（NA＝NB）；

③四點M，S，O，P共圓（直徑是PS）；

④四點T，M，O，N共圓（直徑是TN）；

⑤TN⊥PS（先猜后證，看似正確，幾何論證不易，解析法計算彰顯魅力）；

⑥△TON與△POS相似，且∠OTN＝∠OPS。

作為課堂例題的拓展探究，本題解法靈活，運算的復雜度略有增加，引導學生體會條件的加強與減弱，理解數學概念的本質內涵，也即解題中適度的“進與退”策略，實現“化未知為已知，化繁為簡，化難為易”，從而建構解題規范模式。其中，第二問開放性問題，有利于培養學生的發散思維與聚合思維，考查學生探究問題的敏感度、洞察力與獨創性。

四、通過創新課程等方式，培養學生創新思維

“好的數學問題”是培養學生創新思維的重要載體，激發數學創新思維需要精心設計問題情境。為此，筆者開設了“高中數學創新思維引領”校本課程，通過對數學文化（數學史、數學美學）、數學建模、數學軟件（幾何畫板、GeoGebra軟件等）、對策論（最佳策略）、分形幾何（經典曲線）等方面的小專題講座，深化了學生對數學本質的理解，開闊了學生的視野。

在函數復習時，筆者設計了數學實踐活動：請用不少于4個函數、曲線或者圖形組合，借助GeoGebra、幾何畫板等數學軟件自主設計創意Logo。要求上交源文件、成果圖以及創意說明。

學生數學創新思維能力的培養是一個長期、漸進的過程，需要教師在教學的不同階段，采用恰當的教學模式，通過建構開放性課堂，創新問題情境，倡導學以致用理念，優化課堂結構，激發學生的創新意識與創新精神，發掘學生潛能，從而最大限度地提升教學效率，真正培養學生的數學創新思維能力。