核心素養背景下的高中數學課堂評價

北京市第五中學 胡 芳

數學學業質量是數學學科核心素養的綜合表現。《普通高中數學課程標準（2017版2020年修訂）》明確指出，高中數學教學要樹立以發展學生數學學科的核心素養為導向的教學意識，創設教學情境，激發學生學習興趣，啟發學生思考，掌握數學內容的本質，將數學學科核心素養的培養貫穿于教學活動的全過程。因此，高中數學學業質量評價要關注學生數學學科核心素養的形成與發展，同時還要關注學生獲取知識的過程。在數學教學中，教師不僅要隨時關注學生的數學學業水平的變化，而且要根據學生學業水平的變化及時調整教學策略，以更好地促進學生數學核心素養的形成與發展。

學業質量評價要以教學目標為導向，以教學目標的達成度為依據，同時還要關注學生數學知識的掌握程度，關注學生學習過程中的學習態度、方法和學習習慣，最終落實到數學核心素養的形成。確定學業質量標準的依據主要是三個維度：課程目標中的“四基”“四能”，內容標準、學科核心素養水平，因此在課堂教學中對學生的學業質量評價也應當圍繞以上幾個方面進行設計和實施。

一、案例1：學生作業中的問題反饋與評價

作為一名數學教師，我們經常要反饋學生作業中的問題，多數情況下這些問題的處理方式是教師課上集中點評或者課下個別輔導，但我們經常發現某些問題在課堂講過，在作業中練過，但一到考試中再次面對類似問題時，學生仍然是錯誤不斷。究其原因，就是學生的學習過程中只是單純地模仿訓練，并沒有真正理解問題背后所蘊含的數學本質。如果在教學中通過教師設計問題進行引導，讓學生不僅思考問題、解決問題，更能提出問題、設計問題，讓學生在這個過程中提升數學思維品質，理解數學知識的本質。不僅是教師考學生，也可以學生“考”學生，豐富評價主體，讓師生之間、組組之間、生生之間進行評價，引導學生融入教學活動中來，提升課堂學生參與度，提升數學學科素養。

例如，在學習了三角函數的圖像與性質后，學生作業中有這樣一個問題：

圖1

本題要求學生能結合函數f（x）＝Asin（ωx＋φ）的圖像，理解參數A，ω，φ的意義，了解參數變化對函數圖像的影響。由于圖像提供的信息有限，學生在考慮函數的對稱性、最值和周期性時，難以全面把握性質與圖像信息之間的充要關系，所以從當天的作業反饋中看出錯誤率比較高。

學業質量評價要以教學目標為導向，因此教師要先明確教學的基本任務。

（1）經歷研究函數f（x）＝Asin（ωx＋φ）的圖像與基本性質的過程，理解參數A，ω，φ與正弦型函數基本性質之間的聯系；

（2）通過分析錯例，合理轉化正弦型函數問題中的圖形信息與代數信息，并注意轉化的等價性，培養數形結合、函數與方程的數學思想；

（3）通過設計問題，培養數學思維的發散性和靈活性，發展數學抽象素養。

課堂教學實施如下。

1.創設情境與問題，落實知識與技能

本節課的問題源自學生的實際錯例，本身就能引起學生的關注，圍繞教學任務設計以下幾組問題。

問題1：如果已知函數f（x）＝Asin（ωx＋φ）的解析式，我們如何研究它的圖像及性質？

追問：參數A，ω，φ對函數f（x）＝Asin（ωx＋φ）的圖像有什么影響？

問題2：如果已知函數f（x）＝Asin（ωx＋φ）的性質或者部分圖像，我們能否能得到參數A，ω，φ的相關信息？

通過問題啟發學生回顧上節課的知識，并進行獨立思考，考查學生對教學任務（1）的達成度，也是對學生的數學核心素養中的數學抽象是否達成“水平一”進行判斷。

問題3：通過分析本題題干中的圖像，大家可以得

到函數性質的什么信息？（對稱軸以及最小值點）追問1：有了這些信息，是否可以解決問題？

追問2：圖像描述了函數在兩個點處函數值相等，能否代數刻畫這個等量關系？

為什么與剛才的結論不同？（等價性轉化問題）

追問4：如果根據圖像，得到多解時，如何取舍？

問題4：現在去掉函數的圖像，請你在下面的橫線上補上恰當的條件，使得問題成立：

追問5：為什么③是錯誤的？

教學以學生的真實問題為脈絡，教師通過創設問題情境，讓學生深入思考函數f（x）＝Asin（ωx＋φ）的基本性質以及圖像，體會單調性、對稱性、最值和周期等重要性質之間的聯系，在這個環節中通過問題設計，將學生思考不斷引向深入，思考函數圖像在變化過程中的本質性問題，教師要通過觀察學生語言表達的邏輯性、注意力是否集中、證明過程是否有邏輯性和簡潔性等，及時作出點評。

2.鼓勵學生提出問題，展開討論，訓練學生思維與表達能力，引導交流與反思

問題5：通過前面的討論，大家基本理解了函數f（x）中的參數對函數的性質以及圖像的影響，并能根據圖像和性質解釋參數的變化范圍。那么你能否以此函數的圖像和性質研究為背景，再提出一個新的問題考考大家呢？

同學們對這個問題的思考十分踴躍，他們提出了不少問題，部分記錄如下。

（3）函數f( x)在區間［0，1］至少出現2次最大值，則ω的取值范圍是______；

學生在分析和解決問題的過程中，發現其中蘊含的數學關系，學會用數學的眼光找到合適的條件，用恰當的數學語言進行表達，并用數學思維進行分析，提出新的問題，并借助圖形探索解決問題，這個過程就是一個學習的過程，是一個在做中思、做中學、做中突破難點的積極思考的過程。教師在這個過程指導學生創設問題條件，并將其合理轉化為數學問題，有助于進一步發展數學核心素養，提升學生的數學能力，這可作為學生數學核心素養中的數學抽象是否達成“水平三”進行判斷。

解題中發生錯誤和改正錯誤貫穿于學生的數學學習全過程。教師以教學任務為導向，通過學生的真實問題為教學情境，通過問題設計引發學生進行深入討論：自己分析錯在哪里？為什么錯？如何避免？對這些問題的關注和研究無疑會加深學生對問題本質的理解。在這個過程中教師還要不斷觀察學生的學習行為，有針對性地及時做出教學評價。例如，在問題1的解釋中學生是否使能想到利用五點法作圖？在問題4的解決中，有學生提出當f（x）在區間只有一條對稱軸時ω＝5，教師及時調整教學方程，引導學生討論圖形信息與代數信息在轉化中的等價性等，在學生自己設計問題時，個別學生在提出問題進行解題闡述時，自己就發現了問題設計的漏洞，又重新進行改進和調整，這顯然比單純的紙筆測試進行學生學業質量水平判斷要豐富得多，效果也要好得多。

二、案例2：學生探究性學習活動的評價

數學探究是運用數學知識解決數學問題的綜合實踐活動，承載著提升學生學科能力和素養的重要使命。在學生探究性活動過程中，對學生學習行為和態度的評價非常重要。教師可以采用形成性評價的方式，注重觀察和評估學生的學習過程、學習態度和學習方式，從學生的探究性作業中了解學生基礎知識和基本技能的掌握情況，了解學生獨立思考以及提出、發現問題的能力和合作交流的意識等，把握學生的思維活動特征，記錄他們學習中的問題，調整教學策略，以期發展學生的“四基”“四能”，形成學科素養。下面以人教A版第四冊探究性學習——楊輝三角的教學為例。

明確教學目標：

（1）從不同角度探究楊輝三角中的數字規律，從中體會研究一般數陣的方法；

（2）在“觀察實驗—歸納猜想—推理證明”的探究過程中體驗數學發現和創造的歷程，培養創新精神和數學應用意識；

（3）通過對楊輝三角的探究，感悟數學之美，體會數學價值，提升邏輯推理素養。

課堂教學實施如下。

1.初探楊輝三角——提供探究范本

問題1：首先請大家觀察楊輝三角中的數字（只給前5行）（見圖2），能否繼續往下再寫出兩行呢？

圖2

問題2：你能用一個數學關系式表示這個發現嗎？

追問1：你是如何想到用組合數表示呢？

引導學生說明楊輝三角第n行的各數就是（a＋b）n的展開式的二項式系數（見圖3）。

圖3

問題4：在這個結論的探究過程中，是否可以總結出楊輝三角研究的一些基本方法呢？

指導學生小結：①如何觀察數陣？②如何歸納結果？

對高中生而言，探究楊輝三角的規律有一定困難，為了降低探究難度，采用示范演示楊輝三角基本性質的探究過程，為學生開展自主探究提供研究范本。

2.再探楊輝三角——開展分組合作、自主探究

進行分組探究，將每組的研究結果在黑板上進行粘貼展示，并給出嚴格證明。

學生探究結果記錄如下。

結論4：第n行奇數項的二項式系數和等于偶數項的二項式系數和

結論5：從斜向角度分析——與邊平行的斜行求和（見圖4）。

圖4

結論6：從斜向角度分析——第n斜行是n階等差數列（見圖5）。

圖5

第n斜行是第n-1斜行的一階差數列。

結論7：從橫向角度分析——第n行的各數的平方和等于第2n行中間的數（見圖6）。即

圖6

結論8：從局部分析——將梯形中5個數相加就是下面隔行的數（見圖7）。即

圖7

結論9：從橫向角度分析——每行看作是一個正整數，與11的冪有關。

第0行：1＝110；

第1行：11＝111；

……

在楊輝三角中第n行乘以11采用“不進位相加”可得到第n＋1行。

學生合作探究，得到楊輝三角性質的一般表示，體現從特殊到一般的思想。通過學生歸納猜想，引導學生驗證猜想結論是否正確，引導學生多角度地分析問題、探究問題、解決問題，既加深學生對前后知識內在聯系的理解，又從深度和廣度上讓學生感受到了數學知識的串聯和呼應。

3.深探楊輝三角——拓展思維，深入思考

問題：我們對楊輝三角的規律探究，容易圍繞在數字規律上進行研究，而我們容易被自己慣有思維所約束，打破常規也許會有意想不到的結果。

比如，德國數學家萊布尼茨構造了分數數陣（見圖8）。

圖8

比如，牛頓構造了直角三角形數陣（見圖9）。

圖9

比如，波蘭數學家謝爾賓斯構造了楊輝三角中的奇偶數陣（見圖10）。

圖10

通過以上數陣的介紹，得出這些數陣的研究基礎都離不開學生探究的楊輝三角基本性質讓學生感受課堂探究的基礎性作用，感受成功的力量。

三、結語

課堂教學評價不僅要關注學生當前的數學核心素養水平，還要關注學生成長與發展的過程；不僅要關注學生的學習結果，還要關注學生在學習過程中的獲得與變化。教師要注意評價主體的多元化，將教師點評與學生互評結合，甚至在課下還可以讓學生家長、學生本人參與到評價過程中。教學評價不僅包括了量化評價，還包括了質的評價，采用口頭點評、觀察記錄、作業反饋等多樣化的評價方式，促進學生更好地參與到學習過程中，同時也促進教師根據評價反饋更好的調整教學方向。教師對學生的評價直接影響著學生的學科發展，因此教師要站位更高，從學科的高度進行科學性評價，用發展的眼光進行鼓勵性評價，從教學整體性角度進行全面評價。