挖掘本質，提升思維

徐守軍

近五年來，雙曲線每年都出現在高考的小題中，分布在不同的試題中，以雙曲線的定義和性質為核心進行考查.隨著年份的推移，考查的難度在加深.主要依托解三角形為背景進行考查，三角形個數越來越多，幾何條件的轉化也更有挑戰性.2023年年高考索性立足于新高考Ⅰ卷第16題的位置，更彰顯其地位和研究價值.下面，我圍繞該題進行探討，主要研究其幾何條件如何通過解三角形簡化計算，以此提高解題的效率．

一、試題重現

已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F 1，F 2.點A在C上，點B在y軸上，F 1A⊥F 1B，F 2A=-23F 2B，則C的離心率為??? ．

二、試題分析

本題雖然在試卷第16題的位置，但屬于中等難度的題目，還是較多考生可以做出來.看到本題側重于“解三角形”，即在解析幾何的背景下，考生需要剝離無用的外表而找到問題的本源.用好y軸平分∠B與F 1O=F 20的隱含條件，對 Δ BF 1A作出全面的解析.從而求得離心率．

三、主要解法

解法一：依題意，設｜AF 2｜=2m，則｜BF 2｜=3m=｜BF 1｜，｜AF 1｜=2a+2m.

在 Rt △ABF 1中，9m2+（2a+2m）2=25m2，則（a+3m）（a-m）=0，故a=m或a=-3m（舍去），所以｜AF 1｜=4a，｜AF 2｜=2a，｜BF 2｜=｜BF 1｜=3a，則｜AB｜=5a，

故 cos ∠F 1AF 2=｜AF 1｜｜AB｜=4a5a=45，所以在△AF 1F 2中， cos ∠F 1AF 2=16a2+4a2-4c22×4a×2a=45，整理得5c2=9a2，故e=ca=355．

解法二：依題意，得F 1（-c，0），F 2（c，0），令A（x 0，y 0），B（0，t），

因為F 2A=-23F 2B，所以（x 0-c，y 0）=-23（-c，t），則x 0=53c，y 0=-23t.

又F 1A⊥F 1B，所以F 1A·F 1B=83c，-23t（c，t）=83c2-23t2=0，則t2=4c2.

又點A在C上，則259c2a2-49t2b2=1，整理得25c29a2-4t29b2=1，則25c29a2-16c29b2=1，

所以25c2b2-16c2a2=9a2b2，即25c2（c2-a2）-16a2c2=9a2（c2-a2），

整理得25c4-50c2+9a4=0，則（5c2-9a2）（5c2-a2）=0，解得5c2=9a2或5c2=a2，

又e>1，所以e=355或e=55（舍去），故e=355．

解法三：由BF 2：F 2A=3：2知S △BF 1F 2：S △AF 1F 2=3：2.設∠F 2F 1A=α，角度關系如圖所示，即BF 1 sin （90 ° -α）：AF 1 sin ?α=3：2，而BF 1：AF 1=1： tan ?2α．

有3 tan ?α tan ?2α=2，解得： tan ?α=12， ?sin ?α=15， cos ?α=25， cos ?2α=35．

由 Δ F 1F 2A中的正弦定理有： F 1F 2：（AF 1-AF 2）=e= cos ?2α cos ?α- sin ?α=355．

由e=F 1F 2|F 1A-F 2A|求得離心率．

由此我們發現，該題主要的解法可以分成兩類：幾何法、解析法.無論是用邊角關系建立方程還是正余弦定理，都是切實可行并且計算量不大的.解析法主要是用坐標來表示長度和角度，大大降低了邏輯推理的難度，主要考查考生的數學運算能力.無論是上述哪種解法，對該題來說都是行之有效的．

四、歷年對比

（2018理Ⅰ-11）已知雙曲線C：x23-y2=1，O為坐標原點，F為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M、N.若△OMN為直角三角形，則｜MN｜=（? ）

A.32

B.3

C.23

D.4

（2019理Ⅱ-11）設F為雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的右焦點，O為坐標原點，以OF為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點.若｜PQ｜=｜OF｜，則C的離心率為（? ）

A.2

B.3

C.2

D. 5

（2019理Ⅰ-16）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F 1，F 2，過F 1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點.若

F 1A=AB，F 1B·F 2B=0，則C的離心率為??? ．

（2020理Ⅰ-15）已知F為雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的右焦點，A為C的右頂點，B為C上的點，且BF垂直于x軸.若AB的斜率為3，則C的離心率為??? ．

（2020理Ⅲ-11）設雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F 1，F 2，離心率為5.P是C上一點，且F 1P⊥F 2P.若△PF 1F 2的面積為4，則a=（? ）

A.1

B.2

C.4

D.8

（2021甲卷理-5）已知F 1，F 2是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且∠F 1PF 2=60°，｜PF 1｜=3｜PF 2｜，則C的離心率為（ ?）

A.72

B.132

C.7

D .13

（2022乙卷-11）雙曲線C的兩個焦點為F 1，F 2，以C的實軸為直徑的圓記為D，過F 1作D的切線與C交于M，N兩點，且 cos ∠F 1NF 2=35，則C的離心率為（? ）

A.52

B. 32

C. 132

D. ?172

通過前5年的試題研究，發現雙曲線每年都會考查，而且幾乎每年的考查都離不開“垂直”，幾乎都在考查離心率.實際上無論垂直與否，都是在考查“解三角形”.很明顯，新高考的趨勢告訴我們，越來越多的知識板塊在相互滲透，題目的本質其實是一樣的，但題型一直在變化，這就要求我們備考的時候脫離機械刷題，要學會透過現象看本質，從而總結出解決問題的一般規律．

五、命題思考

在課本的解析幾何板塊，無論是直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線，都有專門的例題和練習與現實情境相聯系，如雙曲線的幾個題：

（人教版新教材 P 120例2）已知A，B兩地相距800 m ，在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2 s，且聲速為340m/s ，求炮彈爆炸點的軌跡方程．

（人教版新教材 P 122例4）雙曲線型冷卻塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所成的曲面（圖3.2-10（1））.它的最小半徑為12 m，上口半徑為13m，下口半徑為25m，高為55m.試建立適當的坐標系，求出此雙曲線的方程（精確到1m ）．

（人教版新教材 P 146復習參考題15）綜合應用拋物線和雙曲線的光學性質，可以設計制造反射式天文望遠鏡.這種望遠鏡的特點是，鏡筒可以很短而觀察天體運動又很清楚.例如，某天文儀器廠設計制造的一種鏡筒長為2 m 的反射式望遠鏡，其光學系統的原理如圖（中心截口示意圖）所示.其中，一個反射鏡PO 1Q弧所在的曲線為拋物線，另一個反射鏡MO 2N弧所在的曲線為雙曲線的一個分支.已知F 1，F 2是雙曲線的兩個焦點，其中F 2同時又是拋物線的焦點，試根據圖示尺寸（單位 mm ），分別求拋物線和雙曲線的方程．

在高考命題中主張數學問題情景化，考查數學建模的思想，轉化與化歸的思想方法.所以個人認為，也可以把這個高考題再重新包裝一下，變得更加有味道，對學生的應用意識要求更上一層樓.比如說涉及到焦點（焦點三角形）問題可以與光學性質相結合（后面變式推廣有相應題目），與定義或方程相關可以與建筑等相結合，諸如此類，其實都是不錯的題材.可以豐富學生的視野，提升愛國情懷，也可以教會學生如何采集有效信息，專注解決核心問題．

為了讓試題的本質更加明顯，對解三角形的應用更加深刻，在此對該高考題進行變式與推廣：

【變式1】原題中，去掉條件F 2A=-23F 2B，改為“記F 1A與y軸交于點K，有F 1K=35KA”．

【提示】用角平分線定理．

【變式2】原題中，將“雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）”改為“橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>0，b>0）”．

【提示】基本不變，最終e=|F 1F 2||F 1A|+|F 2A|即可．

【變式3】原題中，去掉條件“∠BF 1A=90°”，增加“設雙曲線過A的切線交y軸于R，F 1R交BA于T，有BT=34TA”，或更有迷惑性地，題設為“BT=57BF 2”．

【提示】光學性質. R為 Δ BF 1A的內心， F 1R為角平分線，再用角平分線定理．

【拓展1】雙曲線Γ：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左右焦點分別為F 1，F 2，以F 1為圓心， F 1F 2為半徑作圓，交Γ于A，B，C，D，其中A，B在Γ的左支， C，D在Γ的右支.若ΔACD的重心在y軸上，求Γ的離心率．

【拓展1解析】由對稱性知：x A=x B，x C=x D.由ΔACD重心在y軸上知： x A+2x C=0.……①

取左準線x=-a2c.由|AF 1|=|CF 1|知A，C至l的距離相等.……②

結合①②可得： x A=-4a2c，x C=2a2c．

解法一：設C的縱坐標為n，則：

n2+（2a2c+c）2=4c2，

4a4a2c2-n2b2=1，消去n2得： 4e4-9e2=0，有e=32．

解法二：由第二定義有： 3a2c2c=1e，于是e=32．

【拓展2】雙曲線Γ：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左右焦點分別為F 1，F 2，左右頂點分別為A 1，A 2，過F 1作AB直線交雙曲線左支于A、B，有|AB|=|AF 2|.過A 1作A 1H⊥BF 2于H，有 tan ∠F 1HA 1=1515，求Γ的離心率．

【拓展2解析】雙曲線Γ：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左右焦點分別為F 1，F 2，左右頂點分別為A 1，A 2，過F 1作AB直線交雙曲線左支于A、B，有|AB|=|AF 2|.過A 1作A 1H⊥BF 2于H，有 tan ∠F 1HA 1=1515，求Γ的離心率．

由|AB|=|AF 2|，且AF 2-AF 1=2a，知BF 1=2a．

由∵H為BF 2中點，有OH為ΔF 2F 1B的中位線.記γ=∠F 1HA 1．

于是， OH=OA 1=OA 2=a，有∠A 1HA 2=90°．

設∠OA 2H=θ，由e+1e-1=c+ac-a=A 2F 1A 1F 1=S ?Δ A 2HF 1S ?Δ A 1HF 1=A 2H·HF 1· sin （γ+90 ° ）A 1H·HF 1· sin ?γ=15 tan ?θ……①

與∠A 2OH=∠A 2F 1B= π -2θ，從而ep1-e cos ?2θ=2a，化簡得： ?cos ?2θ=1- tan 2θ1+ tan 2θ=3-e22e……②

由②可得： tan 2θ=e2+2e-33+2e-e2=（e+3）（e-1）-（e-3）（e+1）……③，代入①式得e=32或e=2．

變式和推廣的過程對題目進行了橫向和縱向推廣，滲透了一些二級結論.實際上在高考復習中不僅做題，也要研究題，更重要的是學會多角度解決問題，在解題的過程中提升轉化的能力，才能在高考中如魚得水．

總的來說，該題依據課程標準命題，深化基礎考查，突出主干知識，創新試題設計，加強教考銜接，發揮高考試題對中學教學改革的引導和促進作用．

責任編輯 ?徐國堅