對比分析排列組合問題，深入探究試題命題模式

陳國林

排列組合問題是學習概率問題的基礎，它對后續學習一些常見的數學模型起著紐帶作用. 例如，在學習古典概型時，由于兩者的聯系緊密，就需要在熟練掌握排列組合的基礎上進行解題.對于排列組合問題的學習，要緊緊圍繞事件展開，這類知識的學習要能 夠通過對比分析，從不同角度進行比較，深入理解排列和組合的區別與聯系，通過教材探源，對高考試題的命題變化進行分析，才能做到解決此類問題游刃有余．

一、排列組合的的命題特點

排列組合問題是高考試題中最常見的一種命題考點，考查形式主要呈現為單選題和填空題. 這類試題不排除命制多選題的可能，但僅考查排列組合試題的單一命題模式的解答題的考查可能性依然較小，若有涉及，也多與離散型隨機變量的分布列和數學期望進行綜合檢測.通過近年來的排列組合高考真題進行分析，不難發現，排列組合的的命題特點呈現出實用性、應用性和情境化，常以現實生活為載體，常見的熱點命題情境有體育賽事、時事熱點、志愿服務、文藝匯演等.通常情況下，排列組合問題考查難度不大，但能夠較好的對學生的數學建模和邏輯推理素養進行檢測，而且能夠通過設計數學情境考查考生利用數學知識解決實際問題的能力. 因此，這類考題在未來高考試題中的考查可能會進一步加強和提升．

二、排列組合的解題思路

排列（組合）問題是從n個不同的元素中選取m（m≤n）個元素的所有排列（組合）的個數，在解決排列組合問題時關鍵在于審清題意，確定所解決的問題是屬于排列問題還是組合問題，并依據題目中的條件找出問題中所給出的關鍵元素，對所尋找的元素與順序、相關位置的關系進行判斷，觀察題目中是否對所給的元素有特殊要求.如果題目所給的問題不是單一知識組成的問題，則需利用排列知識外，還要利用組合知識進行求解，即采用先組合后排列的方法進行對所給問題進行解答．

三、真題探究

典例1.（2023新高考 Ⅲ卷T 13）某學校開設了 4門體育類選修課和 4門藝術類選修課，學生需從這 8門課中選修 2門或 3門課，并且每類選修課至少選修 1門，則不同的選課方案共有____ ?種（用數字作答）．

【問題分析】問題要求從8門課程中選修2門或3門課程，因此需要進行分類，又因為所有課程共分為2類，而且每類課程至少選擇1門，通過分類計算可得不同的選課方案種數為64．

【解析】若從8門所給的課中選修2門課，每類課程各選1門， 則有C1 4·C1 4=16種選課方案； 若從這8門課中選修3門課，則可以從體育類課程中選擇1門，從藝術類課程中選擇2門或者從體育類課程中選擇2門，從藝術類課程中選擇1門， 則有C1 4·C2 4+C2 4·C1 4=48種方案，故有64種不同的選課方案．

【變式1】若4位同學需要從學校所開設的 4門課程中選則1門進行學習，則不同的選課方案為 ____種．

【解析】4位同學從4門體育類選修課程中選修1門，根據分布計數原理可知共有44=256種選課方案．

【變式2】4位同學從學校開設的 4門體育類選修課程中選修1門，若4位同學選修的課程各不相同，則不同的選課方案為____ 種．

【解析】4位同學從4門體育類選修課程中選修1門且選修的課程各不相同，則共有4×3×2×1=24種選課方案．

【變式3】3位同學從4門體育類選修課程中各選擇2門，若4門課程中均有同學選修，則不同的選課方法種數為____．

【解析】由于3位同學必均選擇2門課程，則有C2 4C2 4C2 4=216種選法，若4門體育類選修課程中2門沒人選修的種數為C2 4=6，若4門體育類選修課程中1門沒人選修的種數為4（C2 3C2 3C2 3-3）=96，故所求結果為216-6-96=114．

【變式4】某學校在2023-2024年度上學期共開設了9門選修課程，其中學科知識類選修課有5門，素養提升類選修課有 4門，已知小林需要從學校所開設的9門課程中選擇3門進行學習，若素養提升類選修課程至少選修 1門，則小林不同的選課方案共有____ ?種．

【解析】根據已知條件，通過選取對立面可知C3 9-C3 5=74．

【變式5】某學校共開設了5門藝術類選修課程，若小紅和小李各選修2門課程，且兩人選修的課程最多只有1門相同，已知小紅選擇了舞蹈，則小紅和小李不同的選課方法種數為____ ?．

【解析】小紅和小李所選的課程有1門相同時，且均為舞蹈時，則有A2 4=12種方法，若不為舞蹈時，則有C1 4C1 3=12種方法，當小紅和小李所選的課程沒有相同時，則有C1 4C2 3=12種方法，所以小紅和小李不同的選課方法種數為36．

四、雙向對比

1. 新舊教材分析

以北師大版教材為例，排列組合模塊老教材中選修2-3第一章節中出現，該章節除了排列組合知識外，還涉及了分類加法和分布乘法計數原理、簡單的計數問題和二項式定理，共5節內容.新教材中將其調整到了選擇性必修第一冊第五章，該章節除了排列組合知識外，還涉及了計數原理和二項式定理，共4節內容.無論是新教材還是舊教材緊跟著的均是概率統計知識，這是因為排列組合知識與概率知識是相互關聯的.對于高中數學的排列組合問題，從不同角度可以設置不同的問題，難度差異也較大，因此，在處理排列組合問題時，要能夠勤于思考，多視角去開展教學活動，通過不同的變式技巧加強排列組合試題的變化多樣性．

2. 高考試題分析

2023年新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷均對排列組合問題進行了考查，其中Ⅰ卷以組合試題進行了命題，Ⅱ卷以體育運動為命題背景，考查了分層隨機抽樣的綜合問題，難度相對較為基礎，2022年新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷也均對排列組合問題進行了考查，其中Ⅰ卷主要結合組合問題考查了古典概型，Ⅱ卷以文藝匯演為命題背景，考查了排列組合的綜合問題.從近年新高考試卷的命題分析來看，排列組合試題已經成為新高考試題中不可或缺的一道亮麗的試題，它能夠與數學情境交匯融合，命題形式多樣，能夠有力的對學生的應用能力進行考查.下面我們以2023年新高考Ⅱ卷試題為例進行分析．

典例2.（2023新高考Ⅱ卷 T 3）某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400和200名學生，則不同抽樣結果共有（? ）

A .C45 400·C15 200種

B . C20 400·C40 200種

C .C30 400·C30 200種

D .C40 400·C20 200 種

【解析】根據題目可知該校共有600名學生，抽取60名學生，故10名學生中抽取1名，根據分層抽樣的原理可知應從初中部和高中部分別抽取40人和20人， 所以不同抽樣的結果為 C40 400C20 200．

【點評】本題以體育運動為命題素材，結合分層抽樣考查了組合問題，通過對比分析不難發現，高考試題有關排列組合問題的命題多和典例2的命題形式相似，難度均不大．

3.教材題源分析

對于2023年7的高考真題其實在教材中均能夠找到相應的影子，以人教 A 版教材為例，2023年新高考Ⅰ卷 T 13與人教 A 版 P 26練習題均為選課問題，只不過教材中是選擇課程的考試成績，并未對課程進行分類，2023年新高考Ⅱ卷與人教 A 版 P 17練習題均與體育運動相關，考查背景相同，2023年全國甲卷 T 4與人教 A 版 P 26習題9均是以文藝晚會為命題背景，但考查角度不同．

五、解題技巧

對于排列、組合問題常見的解題方法有直接法、排除法，若題目要求元素相鄰則采用捆綁法；元素不相鄰則采用插空法；占位法的應用從元素的特殊性上講，誰特殊先排誰，若位置特殊，則先安排特殊位置；若問題中的某些元素順序有所要求，則采用調序法；平均分組可采用平均法，需要注意的是分母需要除以；正整數解組數解問題常用隔板法；除此之外，還需要關注定位問題，即從個不同元素中每次取出個不同元素作排列規定某個元素都包含在內，并且都排在某個指定位置則有．

六、命題預測

通過以上分析，排列組合的重要性不言而喻，但通過高考真題分析對比發現，該考點考查背景變化多樣，但難度不大，但與教材聯系緊密，基于以上排列組合高考試題的命題特點，給出以下預測試題，供參考：

預測1：為了迎接新同學，杭州市某中學組織了一場迎新晚會，已知該晚會共設計了四個篇章，其中《自強不息》與《輝煌未來》篇章必須相鄰，則不同的排列方法共有??? 種（用數字作答）.

【解析】由于《自強不息》與《輝煌未來》篇章必須相鄰，所以將兩者“捆綁”，則不同的排列方法共有A2 2A3 3=12種．

預測2：某市在2023年10月舉辦了一年一度的市運動會，某校共選派了5名長跑運動員參賽，賽后領隊決定給5位運動員合影留念，若小明和小徐均不想站左端，小明和小青又要相鄰，則不同的安排方法數為??? 種（用數字作答）.

【解析】當小青站在左端時，小明和小青必須相鄰，其余運動員全排列，共有A3 3=6種排法，當小青站在左端時，從余下的3名運動員中選擇1名運動員站在左端，再將小明和小青捆綁，與余下的2名運動員全排列，共有A1 2A2 2A3 3=24種排法，所以不同的安排方法數為30種．

預測3：一名同學有5本不同的書，現要將這些書擺放在一個三層的書架上，若每層書架上至少放1本，則《廣東教育》不放在第一層的概率為??? ．

【解析】若三層書架放書的本數位1，1，3時，則有C1 5C1 4A2 2A3 3=60種擺放方法，其中《廣東教育》放在第一層的方法為C1 4A2 2+C2 4A2 2=20種；若三層書架放書的本數位1，2，2時，則有C1 5C2 4A2 2A3 3=90種擺放方法，其中《廣東教育》放在第一層的方法為C2 4+C1 4A2 2=30種，故《廣東教育》不放在第一層的概率為1-20+3060+90=23．

責任編輯 ?徐國堅