平凡之中賦新意

劉護靈

2023新高考全國數學Ⅰ卷立體幾何第18題以考生熟悉的正四棱柱為載體，構建空間幾何體，使考生感覺到所給的空間圖形“ 似曾相識”不相認，平凡之中賦新意.試題著重考查與立體幾何中的公理、空間中直線與直線的位置關系有關的基礎知識和基本方法．

一、試題呈現

【2023新高考全國數學Ⅰ卷立體幾何第18題】如圖1，在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2，AA 1=4.點A 2，B 2，C 2，D 2分別在棱AA 1，BB 1，CC 1，DD 1上，AA 2=1，BB 2=DD 2=2，CC 2=3．

（1）證明：B 2C 2∥A 2D 2；

（2）點P在棱BB 1上，當二面角P-A 2C 2-D 2為150 ° 時，求B 2P．

二、分析和解決

1.理解第（1）問的條件和目標

條件（1）：正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1，思考， 正四棱柱有什么隱含條件？即意味著底面是正方形，側棱垂直底面；

條件（2）：AB=2，AA 1=4，說明這個正四棱柱的底面形狀確定，高確定；

條件（3）：點A 2，B 2，C 2，D 2分別在棱AA 1，BB 1，CC 1，DD 1上，AA 2=1，BB 2=DD 2=2，CC 2=3，說明這四個點的

位置確定，既然這些點的位置已經確定，則目標（1）B 2C 2和A 2D 2的位置關系也是確定的，只是用什么方法來“說明空間線段的平行”？

2. 第（1）問的分析和多解

思路1：由題目的條件可以直接建立空間直角坐標系，直接寫出B 2C 2和A 2D 2的坐標，這樣即可判定它們是否平行，這個思路在此題比較簡單和自然，如下：

以C為坐標原點，CD，CB，CC 1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖2，

則C（0，0，0），C 2（0，0，3），B 2（0，2，2），D 2（2，0，2），A 2（2，2，1），

∴B 2C 2=（0，-2，1），A 2D 2=（0，-2，1），

∴B 2C 2∥A 2D 2，

又B 2C 2，A 2D 2不在同一條直線上，

∴B 2C 2∥A 2D 2．

思路2：若不建系，直接利用空間向量的方法計算，也可以證明平行，如下：

因為正四棱柱中，AA 2=1，BB 2=DD 2=2，CC 2=3，則D 2A 2=D 2D+DA+AA 2=DA-AA 2， C 2B 2= C 2C+CB+ BB 2= CB-12BB 2=DA-AA 2，所以D 2A 2=C 2B 2，所以B 2C 2∥A 2D 2.

思路3：還可以利用平面幾何的知識證明線段平行.

如圖3，連接AC，A 2B 2，設A 2C 2， AC的中點分別為O， O 1，連接BD， B 2D 2，OO 1，由題設得，OO 1是梯形AA 2C 2C的中位線，所以OO 1=2由題設可得OO 1∥BB 2∥DD 2且OO 1=BB 2=DD 2，又O 1是BD中點，因此O是B 2D 2的中點，故A 2B 2C 2D 2是平行四邊形，所以B 2C 2∥A 2D 2.

3.理解第（2）問的條件和目標

第（2）問的前提條件和第（1）問是一樣的，但是多了兩個新條件.

新條件1：點P在棱BB 1上，意味著點P是動點；

新條件2：二面角P-A 2C 2-D 2為150°，意味著點P的位置可能被固定（有可能有兩個或多個符合條件的位置）；

新目標：求B 2P的長.

4.第（2）問的分析和多解

思路1：如圖2，建立空間直角坐標系，設P（0，2，λ）（0≤λ≤4），利用向量法求二面角，建立方程求出λ即可得解．

設P（0，2，λ）（0≤λ≤4），則A 2C 2=（-2，-2，2），PC 2=（0，-2，3-λ），D 2C 2=（-2，0，1），

設平面PA 2C 2的法向量=（x，y，z），

則·A 2C 2=-2x-2y+2z=0，

·PC 2=-2y+（3-λ）z=0，

令 z=2，得y=3-λ，x=λ-1，∴=（λ-1，3-λ，2），

設平面A 2C 2D 2的法向量=（a，b，c），則·A 2C 2=-2a-2b+2c=0，

·D 2C 2=-2a+c=0，，

令 a=1，得b=1，c=2，∴=（1，1，2），

∴ cos 〈，〉=·=664+（λ-1）2+（3-λ）2=｜ cos 150° ｜=32，

化簡可得，λ2-4λ+3=0，解得λ=1或λ=3，∴P（0，2，1）或P（0，2，3），

∴B 2P=1．

思路2：如圖4，建立空間直角坐標系，利用空間向量計算二面角.

即：以點C為原點，CD，CA，CC 1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系C-xyz，則A 2（2，2，1）， C 2（0， 0，3），D 2（2，0，2）．

令P（0，2，t），在A 2C 2上取點M，使得PM⊥A 2C 2，

令A 2M=xA 2C 2=（-2x，-2x，2x），

則MP= A 2P-A 2M= （2x-2，2x，t-2x- 1），

由MP·A 2C 2=-2（2x-2）-4x2+2x（t-2x-1）=0，

解得： t=6x-1，則MP= （2x-2，2x，4x-2），

取A 2C 2的中點E，則ED 2=（1，-1，0），則ED 2·MP=-2．

由條件易得D 2C 2= D 2A 2，所以D 2E⊥A 2C 2，

則ED 2與MP的夾角等于二面角P-A 2C 2-D 2的大小．

所以 cos =ED 2·MPED 2·MP=-224（4x2-6x+2）=-32.

整理得： 9x2-9x+2=0，解得： x=23或x=13．

則t=6x-1=3或1，由圖可知，t=3，即B 2P=1．

思路3：不建系，尋找到二面角的平面角進行計算.

如圖5，在平面ABB 1A 1上取一點E，使C 2E=A 2E，連接OE， EB 2，直線A 2E交棱BB 1于點P，設點E到AA 1的距離為x，點E到AB的距離為y，

則（x-2）2+（y-3）2+4=x2+（y-1）2，

即x+y=4．

由題設可知， ∠EOB 2為二面角二面角P-A 2C 2-D 2的平面角的補角．

在△EOB 2中，EB2 2= OE2 +OB2 2 - 2OE·OB 2 cos ∠EOB 2，

所以：

（x-2）2+（y-2）2=（x-1）2+（y-2）2+1+2-2×2×32×（x-1）2+（y-2）2+1，

即（2x-3）（x-3）=0.

解得x=3，y=1或x=32，y=52.

綜上，當二面角P-A 2C 2-D 2為150°時，B 2P=1.

三、變式探究

利用數學動態軟件GeoGebra開展數學實驗，先利用點的運算，繪制出精準的圖形，如圖6，移動點P的位置，利用角度工具，測量并觀察二面角P-A 2C 2-D 2的大小．

通過觀察，如果點P限制在線段BB 1上運動時，二面角P-A 2C 2-D 2在點P位于點B或B 1時取得最小，最小值近似為130.89°（最大值為180°），所以，此題的150°剛好是特殊角中的一個，如果想把150°變式修改為其它特殊角如120°，只能把點P的位置修改為：點P在直線BB 1上運動，但這樣的變式問題的意義不是很大．

所以，此題不妨修改原題中特殊的固定點A 2、B 2、C 2、D 2的位置，然后給出二面角的度數，或者線面角的度數，要求學生計算點P的位置，這是可行的方案之一．

或者，題目的設問修改為給出點P到某個平面的距離，如圖7，點P到平面A 2C 2D 2的距離為1（圖中的線段PQ），求BP的長，這樣的問題就有一定的價值，解決的方法利用向量法比較方便．

以二面角、點到直線的距離為核心考點的高考題很多，例如2023年高考天津卷第17題，原題如下：

三棱臺ABC-A 1B 1C 1中，若A 1A⊥面ABC，AB⊥AC，AB=AC=AA 1=2，A 1C 1=1，M，N分別是BC，BA中點.

（1）求證：A 1N//平面C 1MA；（2）求平面C 1MA與平面ACC 1A 1所成夾角的余弦值；（3）求點C到平面C 1MA的距離．

此題作為高考復習而言有相當的價值，方法豐富，例如第（3）問既可以使用幾何法，也可以使用等體積法進行巧妙解決，有興趣的讀者可以嘗試．

還有2021年高考甲卷第19題，已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，側面AA 1B 1B為正方形，AB=BC=2，E，F分別為AC和CC 1的中點，D為棱A 1B 1上的點.BF⊥A 1B 1

（1）證明：BF⊥DE；

（2）當B 1D為何值時，面BB 1C 1C與面DFE所成的二面角的正弦值最小？

這題難度比2023年新高考全國數學Ⅰ卷的第17題大，第（2）小問可利用幾何法、向量法（最優解）、投影面積法等多種方法解決，精彩紛呈！具體多種解法和變式探究，在2023年常州數學會舉辦的“同題異構融創活動”有所展現．

四、試題亮點和備考策略

本題所構建的四邊形A 2B 2C 2D 2和二面角P-A 2C 2-D 2是從考生常見的空間幾何體中提煉出來的，所涉及的空間概念和線面關系，貼近廣大考生的學習實際試題蘊含了豐富的信息，給不同基礎的考生提供了想象的空間和多角度的思維平臺，同時為考生分析問題和解決問題提供了多種思路和方法，給不同思維方式（向量法與綜合幾何法）的考生都提供了發揮的空間，試題在全面考查考生立體幾何基礎知識的同時，著重考查了考生的化歸與轉化思想.通過問題的分層設計，使

不同層次考生的水平都得以發揮. 試題準確把握相關幾何要素，把向量運算、建立空間直角坐標系、二面角的平面角作

圖等較好地融人試題的第（1）問和第（2）問中，使空間想象能力、邏輯思維能力和運算求解能力得到了有效考查，體現了課程標準對立體幾何教學的知識要求和能力要求，試題的難度適中，具有較好的區分度和選拔功能.

立體幾何專題的復習建議：

1.依據考綱，深挖教材，落實基礎，控制難點，突出重點

在備考過程中，首先要針對新高考的要求，結合學生的實際，準確理解和把握空間幾何體的結構特征，明確定理的內容、作用等，對于重點內容如直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行、垂直的判定與性質定理等要熟練掌握．

2.加強對推理論證的復習

雖然新課標提倡我們利用空間向量解決立體幾何問題，但我們還是要重視培養學生的空間想象能力，因此，對推理論證也要著重復習.可以從高考題中選擇具有代表性的題目，編制相應的學案，進行解答．

3.復習時要突出“向量法”

在復習“向量法”時，我們要著重復習直線的方向向量和平面的法向量，只有理解好這兩個向量，準確地求出這兩個向量，空間角（距離）的問題就會很好地解決.這里要著重指出，在求直線和平面所成的角時，須記住：直線的方向向量與平面的法向量夾角余弦值的絕對值是線面角的正弦值，此外，計算出兩個平面的法向量夾角的后，這個角與二面角相等還是互補，要根據題目條件進行有效判斷．

【本文系廣州市教育研究院2021年度科研課題“信息技術（Geogebra）與數學教學深度融合研究”（課題編號：21 BCZSX2 107）階段性研究成果】

責任編輯 ?徐國堅