知識交匯融合，多解思維拓展

摘 要：數列與不等式的交匯融合，一直是高考命題中的一個重要方向，更是在知識網絡的交匯點處創設的高考命題的基本指導思想之一.以一道數列的模擬題，通過數列與不等式恒成立的創設，巧思維視角解決，妙變式應用拓展，剖析數列與不等式交匯融合的本質與應用，引領并指導數學教學與備考.

關鍵詞：數列；不等式；恒成立；待定系數法

數列與不等式交匯的問題，既有函數的必備知識與思想方法，也有數列特定的必備知識與思想方法，更有不等式求解、證明的方法和技巧等，由于知識覆蓋面廣、綜合性強、創新新穎等特點，也是歷年高考數學命題的熱點之一，解答起來有一定的難度，具有較好的選拔性與區分度.

1 問題呈現

（2024年浙江浙南名校聯盟高三（上）第一次聯考數學試卷）已知數列{an}的首項為a1，且滿足12Sn=4an+1+5n-13，其中Sn為其前n項和，若恒有Sn≤S4（n∈N*），則a1的取值范圍為____.

本題是以數列為載體，借助數列中前n項和Sn與通項an的遞推關系式加以創設條件，通過不等式恒成立來設置數列與不等式的綜合交匯應用，進而全面考查數列與不等式等相關知識與應用.

在解決具體問題時，先利用前n項和Sn與通項an的關系進行變形與轉化，利用相關的方法與策略，進而得以確定數列{an}的通項公式或數列的前n項和Sn的表達式，進一步利用不等式Sn≤S4（n∈N*）恒成立加以分析，轉化為相應的通項問題或前n項和問題，合理列出與首項a1有關的不等式（組），通過相應的不等式（組）的求解來確定對應參數a1的取值范圍.

2 問題破解

方法1：（累乘法+數列不等式法）

3 變式拓展

基于數列與不等式的知識交匯與融合的背景，合理改變題設場景，可以對問題加以巧妙地變式與拓展，實現數學基礎知識與數學思想方法等方面的進一步掌握與提升.

變式 已知數列{an}的首項為a1，且滿足Sn+Sn-1=3n2+2n+4（n≥2），其中Sn為其前n項和，若對任意的n∈N*，恒有不等式anlt;an+1成立，則a1的取值范圍為____.

解析：依題，當n=2時，可得a1+a2+a1=3×22+2×2+4=20，則有a2=20-2a1.

當n≥3時，由Sn+Sn-1=3n2+2n+4，可知Sn-1+Sn-2=3（n-1）2+2（n-1）+4=3n2-4n+5.

以上兩式對應相減，可得an+an-1=6n-1，則有an+1+an=6（n+1）-1=6n+5.

以上兩式對應相減，可得an+1-an-1=6（n≥3），所以數列{an}從第二項起，相應的奇數項和偶數項分別都是公差為6的等差數列.

當n=3時，由an+an-1=6n-1，可得a3=6×3-1-a2=17-（20-2a1）=2a1-3.

4 教學啟示

4.1 知識歸納，方法總結

涉及數列中前n項和Sn與通項an的遞推關系式問題，可以利用an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2與an=Sn-Sn-1=f（an）-f（an-1）消去Sn或利用Sn=f（Sn-Sn-1）消去an求解.

具體的解題步驟就是升降下標作差，運用通分、合并同類項、因式分解等，借助配湊法、累加（累乘）法、待定系數法等方法，將復雜、不熟悉的數列類型轉化為特殊的等差數列或等比數列，在求解過程中往往要對數列的第一、二項等加以合理檢驗，避免出現差別與錯誤.

4.2 能力提升，素養培養

數學思想方法是數學基礎知識的靈魂，是開啟數學知識寶庫的金鑰匙，是層出不窮的數學發現的源泉.利用數列與不等式的基礎知識、思想方法等方面的交匯與綜合，巧妙創設數學命題，可以有效考查學生的 “四基”以及數學能力等，使學生知識眼界開闊，拓寬解題思路，懂得數學思想與方法的重要性，也是學生綜合應用能力提高的一大體現，從而有效提升數學能力，培養數學核心素養.