回歸函數本性，探討周期數列

摘 要：周期數列是巧妙融入函數的周期性與數列的基本特征的一類特殊數列，在一些高考與競賽的數學命題中經常出現.結合一道大學綜合評價測試題，借助數列的創設，以及數列周期性的切入方式以及思維方法加以剖析，挖掘周期的本源與應用，歸納技巧策略，引領并指導數學教學與復習備考.

關鍵詞：數列；周期；函數；積；歸納

數列作為一類特殊的定義域為正整數的函數，函數性及其相關的應用是數列問題及其應用中非常普遍存在的一個基本問題.當然，在數列中也必然存在著與函數的周期性相似的周期數列及其相關的應用問題.“周期數列”這個概念在現行高中數學教材中沒有明確地定義過，但與其相關的數列及其應用問題在一些高考、競賽和模擬試題中卻屢見不鮮，要引起高度的重視.

1 問題呈現

（2023年香港中文大學（深圳）綜合評價測試數學常規組第2題）數列{an}滿足an+1=anan+1+an+1，且a1=1+2-3，求數列{an}前2024項的積.

此題以數列的首項及數列的遞推關系式來創設問題場景，進而確定數列前若干項的積.題目簡捷明了，直接從數列的遞推關系式中看不出具體的聯系，需要加以恒等變形與轉化，而數列的首項的值也比較復雜，這給問題的分析與求解造成比較大的困惑，也會讓考生產生畏難情緒.

在實際解決該問題時，可以通過數列前若干項的值的求解，借助不完全歸納法來確定周期數列的周期，進而加以分析與處理；可以通過數列的遞推關系式的變形與轉化，借助科學歸納法來確定周期數列的周期，為進一步解題提供條件；還可以通過數列的遞推關系式與三角函數的正切公式加以聯系，借助兩角和的正切公式加以變形，為確定周期數列的周期提供一個全新的思維，對試題加以求解.

該變式借助全新的數列遞推關系式的形式，融入周期數列的函數性，結合周期數列的周期確定，利用數列遞推關系式加以分析與應用，進而得以解決問題.解決問題的關鍵就是關系式的變形與轉化，以及方程的求解等.

當然，借助創新定義的形式來進行變式與應用，也是變式問題中比較常用的一種技巧方法，融入周期數列的函數性，結合周期數列的周期確定，利用創新定義的實質加以應用，實現問題的求解.正確挖掘創新定義的內涵與本質是解題的關鍵所在.

4 教學啟示

此類周期數列及其綜合問題，表面上看似與周期無關，從題目條件中的數列遞推關系式加以合理變形與轉化，構造方便推理與轉化的關系式，為進一步探尋周期數列的周期提供條件，充分挖掘數列的周期性，這也是撬動周期數列的周期的一個支點，借此可以使得問題迎刃而解.

在實際解決此類同時融合函數周期性的周期數列問題時，回歸函數本質往往是解決問題時最為常用的一種思維方式，而合理的歸納推理、數列運算也是解決問題過程中需要涉及的技巧方法，有時還會綜合創新定義以及與題設條件相對應的其他方法，特別是三角函數的周期性等來巧妙轉化.解決問題時，正確、快速確定周期數列的周期是解決問題的關鍵所在，為進一步進行數列相關項的求值，數列求和或數列求積等提供理論基礎.