結構化思維在中學PA+kPB問題解決中的滲透

摘 要：問題解決是數學學習的最終目標，結構化思維作為一種解題思維，在面對復雜或較為困難的問題時，能夠將復雜問題變得有序，提高解題效率.中學熱點問題：PA+kPB問題以“胡不歸”模型為基礎，常以不同的形式出現，具有高度的靈活性和綜合性.將結構化思維運用于PA+kPB問題的解決，通過其在三角形、平行四邊形以及圓中的運用，以期為解決結構化思維融入問題提供建議.

關鍵詞：結構化思維；PA+kPB問題；問題解決能力

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出要在課程實施中“加強知識間的內在聯系，促進知識的結構化”［1］.在新時代基礎教育課程改革的背景下，結構化教學作為深化課堂教學改革的重要方式，對促進學生知識體系的結構化、提升結構化思維具有重要意義.［2］受認知負荷理論的影響，學生在學習知識時雖然短時間內接收的信息有限，但是對于本身具有結構性的知識會有相對較好的記憶效果.基于這個認知規律，結構化思維的有效滲透便能使學生將碎片化的信息進行重新整合，讓學生根據知識結構解決問題.學生可以通過結構化思維解決問題，形成系統的知識體系，利用典型模型解決有關的一類數學問題，從而能夠研究出整個系列的解題方向.

1 理論基礎

1.1 結構化思維

結構化思維起源于管理學，它在面對工作的任務和難題時，可以幫助人們系統地思考問題，分析問題的原因，制訂行動方案，并采取恰當的手段使工作得以高效率開展.［3］在處理復雜問題或大型項目時，結構化思維尤其有用.結構化思維是對事物的結構進行積極構建的思維過程，力求通過對事物的結構優化把復雜問題變得有序.用結構化思維解決數學問題能夠使學生的思維系統化、結構化，能夠讓學生多角度地分析問題，從而用更加有效的方式快速解決某一類問題.

1.2 問題解決能力

數學知識的教學最終面向的是問題解決，作為培養學生核心素養的要求之一，問題解決能力為學生日后參與社會生活和終身學習奠定重要基礎.《國家中長期教育改革和發展規劃綱要（2010—2020年）》中明確提出要提高學生勇于探索的創新精神和善于解決問題的實踐能力.中學生的問題解決能力是在數學問題的解決過程中所具備和展示的能力綜合，是能夠在面對問題情境時識別問題結構，挖掘解題條件，進行問題表征，探析解決方法，調控解題策略，最終實現數學問題得以解決的綜合能力.［4］

1.3 運用結構化思維破解問題的意義

知識的學習目的在于運用，數學知識的教學中至關重要的是思維方式的教學.學生解決問題能力弱的原因之一是惰性知識作用下解題思維方式的錯誤.面對大量的訓練習題，我們不難發現，會做的學生不論題目怎么變化都能做對，不會的同學，不論怎么訓練，即使掌握了一般“套路”，但是題目只要有些許變動，依然不能正確把握解題的切入點和已知條件之間的關系，這便是學生思維方式的偏差.數學模型類問題具有普遍性和抽象性，雖然本質結構上具有普遍性，但是關于解題的數學教學的重點是思維方式的教學，教會學生如何思考.

根據結構化思維的特點和問題解決能力的要求，結合解決模型類問題需要經歷“先學模式，再提煉思想方法”的一般思路［5］，針對本文探究的PA+kPB問題制訂問題解決的三步驟：理解問題，提煉關鍵信息；分析問題，設想解題思路；實施設想，完善解題思路.

2 結構化思維在問題解決中的應用

2.1 講解模型基礎——背景介紹

之前學過PA+PB的定點到定點的距離和定點到直線的距離最短問題，前者即“將軍飲馬”模型，先找出“河”，再作關于“河”的對稱點，根據“兩點之間線段最短”得出相應的問題答案；后者則是根據垂線段最短得出答案.那么我們的PA+kPB（k≠1）問題是否也能如此解決呢？

《詩經》中的《邶風·式微》中寫道：式微，式微，胡不歸？是指從前有一個少年在外出求學時，突然得知了老父親病危的消息，得知消息后他立刻往家中趕.已知，少年位于A地，家在B地，A、B兩地之間是一片砂石地，AC是一條驛道.

設問1：如果你是這個少年，你會怎么做呢？

預設答1：由我們之前學過的知識可知，可以將問題轉化為兩點之間線段最短問題.

預設答2：如果沿著驛道AC先走一段，再走砂石地，會不會更早到家？

【設計意圖】遇到新的問題，學生會本能地調動已經學過的知識進行解決，但是根據現實情境，走驛道和砂石地的速度不同，便會出現第二種情況，與原有知識形成沖突，促進思維發散.

由于思念心切，少年選擇直接穿過砂石地，當他歷經千辛萬苦終于趕到父親面前時，父親卻剛剛過世，少年痛不欲生，鄰舍告訴少年，父親一直在念叨著：胡不歸，胡不歸？

（“胡”同“何”）可見，少年并沒有及時趕到，這個故事引起了人們的思考，如果先沿著驛道走一段，再走砂石地是否會早些到家？

（1）理解問題，提煉關鍵信息.

砂石地和驛道的路面狀況不同，使得行走的速度也不相同，由此我們可以怎樣構建模型？

在驛道上存在一點C，使得少年從A走到C，再從C走往B所用的時間最短（如圖1）.

我們建構如下模型.

直線MN上有一動點P，點P在MN上的運動速度為v1，在MN外的運動速度為v2，且v1＞v2，A，B為兩定點，MN上存在點C，使得ACv1+BCv2 的值最小（如圖2）

（2）分析問題，設想解題思路.

根據問題：要求BC+kAC的最小值，則必須對kAC進行轉化，根據“垂線段最短”原理和問題中最特殊的“kAC”，不難想到構造一個直角三角形，且AC為斜邊，并且其中一條直角邊應與BC在同一方向上.以AC為一條邊的銳角的正弦值就是對應的系數k.

（3）實施設想，完善解題思路.

至此我們需要思考如何構建直角三角形，以及三角函數值的對應角、對應邊分別是哪個角和邊.首先，根據構造之后的邊要轉化成在同一方向上，構建出直角三角形，我們選擇過點A作射線AD，使得AD垂直于BC，并與BC延長線交于點H（如圖3）.

至此可以列出算式sin α=CHAC=k，即BC+kAC=BC+CH，則問題轉化為求BC+CH的最小值，即點B到射線AD的最小值.

根據“垂線段最短”得出BC+kAC的最小值為BH.

“胡不歸”模型是數學問題中的經典模型，是PA+kPB問題的基礎模型之一，根據以上三步解題思路，以PA+kPB問題在三角形、平行四邊形以及圓中的應用為例，具體描述如何將結構化思維滲透進模型類問題的解決中.

2.2 PA+kPB在三角形中的運用

如圖4，△ABC中，AB=AC=10，tan B=2，AE⊥BC于點E，D是線段AE上的一個動點，則CD+55AD的最小值是多少？

（1）理解問題，提煉關鍵信息.

題中要求的是CD+55AD，由CD和AD在圖4中的位置，根據要作同向的輔助線可知，我們構造的直角三角形應該是過點D作AB的垂線，交AB于點H（如圖5），從而在Rt△AHD中，根據題中給出的k=55，并且就垂直和tan B=2我們不難得知sin ∠BAE=55.這樣我們就找到了k以及所要用到的直角三角形.

（2）分析問題，設想解題思路.

我們已經將問題轉化成在Rt△AHD中，sin ∠HAD=55，而sin ∠HAD=DHAD=55，所以55AD=DH，則可以將CD+55AD轉化為CD+DH，也就是求CD+DH的最小值，根據垂線段最短原則，我們可得出當CH垂直于AB時最短，并且交點就是點D.

（3）實施設想，完善解題思路

∵AE⊥BC于點E，tan B=2，∴在Rt△BEA中，sin ∠BAE=55.過點D作AB的垂線，交AB于點H.

∵DH⊥AB，∴在Rt△AHD中，sin ∠HAD=DHAD=55，∴55AD=DH，∴CD+55AD=CD+DH.

根據垂線段最短可知，過點C作AB的垂線，交AB于點M（如圖6）.

當點H與點M重合時，CD+DH的值最小，即CD+55AD的值最小，為CM.

∵在Rt△AHC中，AC=10，tan∠BAC=tan B=2，∴sin∠BAC=CMAC=255.

∴CM=BC·sin ∠BAC=255×10=45.

∴CD+55AD的最小值為45.

2.3 PA+kPB在平行四邊形中的運用

如圖7，平行四邊形ABCD中，∠ABC=60°，BC=6，CD=2，P為邊AD上的一個動點，則PC+32AP的最小值等于多少？

（1）理解問題，提煉關鍵信息.

題中要求的是PC+32AP，由PC和AP在圖中的位置，根據要作同向的輔助線可知，我們構造的直角三角形應該是過點P作AB的垂線，交AB延長線于點H（如圖8），從而在Rt△AHP中，根據題中給出的k=32，∠ABC=60°，我們不難得知sin B=32，但是∠B不在三角形中，所以我們需要將60°進行轉化.由平行四邊形的性質我們不難得出AD∥BC，再根據“同位角相等”得出∠HAP=60°，至此已經找到了k以及所要用到的直角三角形.

（2）分析問題，設想解題思路.

我們已經將問題轉化成在Rt△AHP中，sin ∠HAP=32，而sin ∠HAP=HPAP=32，所以32AP=HP，則可以將PC+32AP轉化為PC+HP，也就是求PC+HP的最小值，根據垂線段最短原則，我們可得出當C、P、H三點共線時值最小，即CH⊥AB時最短.

（3）實施設想，完善解題思路.

∵∠ABC=60°，∴sin∠ABC=32.

延長線段BA到點M，過點P作BM的垂線，交BM于點H.

∵在平行四邊形ABCD中，AD∥BC.

∴∠HAP=∠ABC=60°.

∴sin ∠HAP=sin 60°=32.

∴在Rt△AHP中，sin ∠HAP=HPAP=32.

∴32AP=HP.

∴PC+32AP=PC+HP.

根據垂線段最短可知，過點C作AM的垂線，交AB的延長線于點F（如圖9）.

當點H與點F重合時，PC+HP的值最小，即PC+32AP的值最小，為CF.

∵在Rt△BFC中，BC=6，∠ABC=60°.

∴sin ∠ABC=FCBC=32，∴CF=33.

∴PC+32AP=CF=33.

∴PC+32AP的最小值為33.

2.4 PA+kPB在圓中的運用

如圖10，AC是圓O的直徑，AC=4，弧BA所對的圓心角為120°，D是弦AB上的一個動點，那么OD+12BD的最小值是多少？

（1） 理解問題，提煉關鍵信息.

題中要求的是OD+12BD，由OD和BD在圖中的位置，根據要作同向的輔助線可知，我們構造的直角三角形應該是過點D向上作垂線，但從圖中可知缺乏一條明確的線段，因此我們要首先作出這條線段，及過點B作CA的平行線BK，接著作DE⊥BK于點E，OM⊥BK于點M.但至此我們無法得知Rt△DEB中角的度數，所以我們需要從已知條件中進行轉化.

根據題中給出的弧BA所對的圓心角為120°可知∠C為60°.又AC是直徑，所以∠ABC為90°，則在△ABC中，∠A為30°，由我們所作的兩條平行線及“兩直線平行，內錯角相等”，得出∠EBA=∠BAC=30°，則sin ∠EBA=sin 30°=12，至此已經找到了k以及所要用到的直角三角形.

（2）分析問題，設想解題思路.

我們已經將問題轉化成在Rt△DEB中，sin ∠EBD=12，而sin ∠EBD=DEDB=12，所以DE=12BD，則可以將OD+12BD轉化為OD+DE，也就是求OD+DE的最小值，根據垂線段最短原則，我們可得出當CE垂直于AB時最短，并且交點就是點D.

（3）實施設想，完善解題思路.

∵BA所對的圓心角為120°，∴∠C=60°.

∵AC為直徑，∴∠ABC=90°，∴∠A=30°.

作BK∥CA，DE⊥BK于點E，OM⊥BK于點M，連接OB（如圖11）.

∵BK∥CA，∴∠DBE=∠BAC=30°.

在Rt△DBE中，DE=12BD，∴OD+12BD=OD+DE.

根據垂線段最短可知，當點E與點M重合時，OD+12BD的值最小，最小值為OM.

∵∠BAO=∠ABO=30°，∴∠OBM=60°.在Rt△OBM中，∵OB=2，∠OBM=60°，∴OM=OB·sin 60°=3，∴OD+12BD的最小值為3.

在圓中解答PA+kPB問題時，所給出的角往往不是直接需要的，需要根據圓中角的性質進行轉化，關鍵是要構造出直角三角形，當沒有明顯的可以作垂線的線段時，要先構造出此線段，然后作垂線找出直角三角形和對應的三角函數，構造的三角函數要以BD為斜邊.

3 思考與啟示

3.1 深度學習，促進知識遷移

結構化思維的形成需要有對知識點的深刻把握，要想形成結構化的知識體系，需要學生在教師的幫助下進行深度學習.深度學習作為學習狀態的一種質性描述，是一種以高階思維為主要認知活動的高投入性學習，需要學習者不斷探索和思考，理解知識的本質和對學習內容的批判性利用，以實現學習遷移和解決真實問題的目標.高效的解題思維需要將所學知識內化，把握知識與知識之間、單元與單元之間的內在邏輯關系，進而在面對問題時能夠準確地調動相關知識內容，找到問題切入點.

3.2 把握條件與條件、條件與問題的關系

解決數學問題首先是對所給條件的運用，運用結構化思維分析問題，最難的就是如何確定知識之間存在的邏輯關系.數學問題中所給出的已知條件之間往往不是相互獨立的，都直接或間接地存在一定的邏輯關系.［6］對于問題而言，條件就相當于“提示”，要解決問題就要用到條件，而條件就是解決問題的提示.之所以要讀題、分析問題，分析的就是條件與問題，知道為什么會給出這些條件和問題和條件的內在關系是怎樣的.

3.3 深入分析問題，明確知識點與定理

數學綜合類問題，不是對單一知識的機械運用，學生要對問題進行深入分析，深入理解問題的本質，找出解決問題的關鍵點，明確需要使用的數學知識點和定理.這有助于提高解題效率和準確性.

3.4 系統化展示解題過程

數學問題的解決結果需要解題過程和答案的同時呈現，解題過程是解題思路的實踐與驗證，直接影響著最終結果.系統化的解題過程要按照制定的解題策略，逐步寫出解題過程.在寫解題過程時，要注意以下幾個方面：語言簡潔明了、步驟完整具有邏輯性、數學符號與公式正確.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］胡紅杏，祁寧寧.結構化教學的理論內涵，構成要素與實施策略——社會結構化理論的視角［J］.西南大學學報（社會科學版），2023（5）：176-188.

［3］林愛村.結構化思維培養的教學策略研究——以小學數學為例［J］.上海教育科研，2021（8）：81-85.

［4］李曉梅.關于提高小學生問題解決能力的思考［J］.課程·教材·教法，2011（12）：45-50.

［5］岑輝.運用結構化思維構建解決問題模型的實踐與思考——以驗證類實驗設計題型解析為例［J］.物理教學，2023（8）：32-34.

［6］胡貴英.結構化思維：學科素養的高階思維［J］.中學政治教學參考，2019（25）：17-18.