研發(fā)專題課例，發(fā)展數(shù)學思維

摘 要：解題教學在中學數(shù)學課堂中占有相當大的比例，然而關于解題教學的研究，經(jīng)常以具體某道題的解法或變式為主.近年來，不少教師積極開展的專題課是值得深入開展的一類課型研究.這類專題課可以從教材上的經(jīng)典問題出發(fā)，進行變式拓展，基于一個教學主線“形散而神聚”，往往能達到較好的教學效果．

關鍵詞：經(jīng)典問題；專題課例；解題教學；等價問題；小結問題

圓內(nèi)兩條垂直相交弦問題是一類基本圖形，圍繞這類基本圖形可以有豐富的變式問題，能向“四面八方”生長，復習階段將其作為一節(jié)專題課開展教學，對于引導學生關注基本圖形、切實提升與這類基本圖形相關問題的解題能力、有效發(fā)展學生思維靈活性有較大的幫助.筆者近期研發(fā)一節(jié)“圓內(nèi)垂直相交弦”專題課，取得較好的教學效果.本文將其整理出來，提供課例分享與研討．

1 “圓內(nèi)垂直相交弦”專題課教學流程

教學環(huán)節(jié)一： 基礎熱身

問題1 已知半徑為6的⊙O中，弦AB垂直于弦CD，垂足為P．

（1）如圖1，求證：AP·BP＝CP·DP.

（2）如圖2，當AB為直徑，BP＝2時，求CD的長.

（3）在（2）的條件下，連接BC，求圓心O到弦BC的距離．

教學預設：通過完成相交弦性質(zhì)、垂徑定理的基礎題，讓更多的學生從開課階段就能緊跟教學內(nèi)容，起到一個基礎熱身的作用.如果學生思維活躍，還可以將第（3）問暫不出示，安排學生自主研究、提出問題，并在小組內(nèi)交流“各自設問”與設計意圖．

教學環(huán)節(jié)二：拾級而上

問題2 已知半徑為r的⊙O中，弦AB垂直于弦CD，垂足為P.連接AC、BD．

（1）如圖3，分析AC、BD的平方和是否為定值？如果是，用含r的式子表示；如果不是，說明理由（可以舉出一個反例）．

（2）如圖4，設點M是BD的中點，連接MP，并延長交AC于點N，求證：MN⊥AC.

（3）如圖5，過圓心O作OH⊥AC，垂足為H.分析OH、BD的數(shù)量關系，并說明理由．

教學預設：第（1）問可以補出直徑CF（如圖6），連接AF、FD，在直角三角形ACF中，根據(jù)勾股定理得AC2＋AF2＝CF2；再把目光轉(zhuǎn)向四邊形ABDF中，可證出AF＝BD（可利用基本圖形平行的弦AB和DF所夾的弧、弦相等得出），從而等量代換到AC2＋BD2＝CF2.

第（2）問是所謂“婆羅摩笈多定理”，在圓中利用圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)不難證明.教學時，還可引導學生將“MN⊥AC”與“PM是BD邊上的中線這組條件與結論進行“調(diào)換”，證明思路類似．

第（3）問，繼續(xù)利用圖6的構造進行分析，先運用三角形中位線可得2OH＝AF，接著將BD＝AF進行代換，可得出結論.教學時還要將問題進行“等價”變式，即作OG⊥BD，垂足為G，同理可證2OG＝AC.可以讓學生在小組內(nèi)完成這個“等價”變式的證明，再到全班展示證明思路，能有效反饋學生對這個性質(zhì)的理解水平．

教學環(huán)節(jié)三：拓展提升

問題3 如圖7，矩形PCFD的頂點P在⊙O的直徑AB上，頂點C，D在⊙O上，頂點F在⊙O外.⊙O的半徑為6，BP＝2.矩形PCFD的對角線CD、PF相交于點H．

（1）連接OH，求證OH⊥CD.

（2）連接OF，小明演算后發(fā)現(xiàn)OF是定長.請判斷小明的發(fā)現(xiàn)是否正確？如果正確，求出OF的長；如果不正確，說明理由或舉出反例.

（3）連接OH，分析OH的最大值．

教學預設：第（1）問比較簡單，運用矩形的對角線互相平分、垂徑定理即可進行證明．

第（2）問有一定難度，學生獨立探究一段時間后如果還有困難，教師可以提供鋪墊式問題，如圖8，平面內(nèi)一點P到矩形四個頂點的距離之間的數(shù)量關系（PA2＋PC2＝PB2＋PD2）.在這個圖形的啟發(fā)之下，在圖9中，連接OC，OD，有OC2＋OD2＝OF2＋OP2，可以確認OF是定長214.

第（3）問可在上一問的基礎上，獲得快速解決，即取OP中點G，連接GH，如圖9，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，有GH＝ 12OF＝14，當O、G、H三點共線（點H在點G右側）時，OH取到最大值2＋14.教學時，還可“成果擴大”，引導學分析出OH的最小值為14－2.進一步，也可借助幾何畫板演示出點F、H的運動軌跡分別是兩個圓（圓心分別是O、G，半徑分別是214，14）

教學環(huán)節(jié)四：課堂小結

小結問題1 本課練習過程中有哪些問題你覺得有難度？這些有難度的問題你現(xiàn)在理解了嗎？它們解答的關鍵步驟是什么？（先在小組內(nèi)交流，各組選1個代表全班交流）

小結問題2 解決有些較難題時，往往需要先解決一個以前就熟悉的“鋪墊式問題”，本課在攻克有些難題時，你也用到以上解題經(jīng)驗嗎？舉例說說．

小結問題3（變式練習） 如圖10，E為⊙O直徑AB上一點，BE=13OB，點C、D在圓上，∠CED=90°，F(xiàn)為弦CD的中點，設⊙O的半徑為r，分析OF的最大值（用含r的式子表示）.

2 教學立意的進一步解讀

2.1 基于經(jīng)典問題，預設變式拓展

初中數(shù)學經(jīng)典問題有很多，多在教材上以例題、習題的方式出現(xiàn)，但這些教材上的經(jīng)典問題往往沒有提供豐富的變式或拓展.一方面是教材篇幅的原因，另一方面是由于教材是面向全體的要求，這些經(jīng)典問題的變式或拓展需要教師結合學情、地區(qū)的考情，在復習時圍繞教材上這些經(jīng)典問題進行必要的變式與拓展.可以發(fā)現(xiàn)，上文課例就是從教材上經(jīng)典問題（相交弦的性質(zhì)、垂徑定理）出發(fā)，進行系列變式與拓展，研究了圓內(nèi)兩條互相垂直的弦的一系列結論，提升了解題的靈活性，開闊了學生的視野.值得一提的是，在變式拓展過程中，教師要重視課堂留白的預設，包括“預設性留白”和“生成性留白”都是解題教學藝術的體現(xiàn).［1］

2.2 聚焦專題主線，預設“等價”追問

研發(fā)專題課之前先要確定教學目標或選題主線［2］，接著圍繞專題目標或主線進行例題、習題的選編、變式以及同類鏈接.上文課例的選題主線是圓內(nèi)兩條垂直相交的弦問題，其中“問題1、2”這兩個主問題的圖形有完整的兩條垂直相交的弦，到了拓展提升的“問題3”就沒有出現(xiàn)完整的兩條垂直相交的弦，而只是局部出現(xiàn)圓內(nèi)一個定點和定直角圖形，但問題仍然是教學主線上進行變式與拓展.另外，如上文“問題2”的第（2）問，在這個有挑戰(zhàn)的問題攻克成功之后，教師可以預設“等價”追問，對學生理解的情況進行反饋．

2.3 重視回顧反思，預設小結問題

專題課教學的最后要十分重視回顧反思的環(huán)節(jié)，課前教師要精心預設小結問題，小結問題要貼近教學內(nèi)容，甚至要精準預設出貼近“課堂生成”的一些小結問題，比如學生解題進程中的關鍵步驟、易錯環(huán)節(jié)、典型錯漏等，都可以成為引領學生回顧與反思的小結問題.要通過對小結問題的引導，促進學生“把具有共同特征的數(shù)學對象結合起來進行考察，尋找和抽取其中內(nèi)在關系和規(guī)律的不斷發(fā)展的思維活動方式或思維動作”［3］.此外，小結問題也可以對課堂中某個關鍵問題的同類變式改編（如上文課例中的“小結問題3”），以此來檢測或反饋學情，是小結環(huán)節(jié)的一個重要內(nèi)容．

參考文獻

［1］蔡甜甜，劉國祥，寧連華.數(shù)學課堂留白藝術的理論探析與實踐反思［J］.數(shù)學教育學報.2018（6）：29-32．

［2］劉東升.“形散神聚”的主題，“淺入深出”的環(huán)節(jié)——中考二輪微專題復習課《無處不在的邊角關系》教學流程與立意［J］.教育研究與評論（中學教育教學）.2018（4）：87-91．

［3］涂榮豹，陳嫣.數(shù)學學習中的概括［J］.數(shù)學教育學報，2004（1）：17-22．

基金項目：南通市教育科學“十四五”規(guī)劃2021年度課題“提高農(nóng)村初中學生的數(shù)學思維的力量的研究”（項目編號：GH2021360）．