聚焦數學抽象 多維度滲透概念

摘 要：數學抽象素養作為數學學科的六大核心素養之一，是一種基本的思維方式，是概念課教學中必不可少的一部分.文章以“函數的單調性”教學為例，通過問題驅動，聚焦數學抽象，探討在概念教學中立足教學實踐，落實培養學生數學核心素養的策略．

關鍵詞：數學抽象；數學概念；數形結合

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出：“數學抽象是指通過對數量關系與空間形式的抽象，得到數學研究對象的素養.主要包括從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，用數學語言予以表征.”［1］

概念是數學的核心，是數學思維的基本形式.在概念課教學中，教師可遵循章建躍博士建議的“概念教學七步曲”——揭示背景，豐富典例，歸納共性，下定義，概念辨析，概念判斷，概念精致化的步驟展開，注重過程引導，為學生搭建腳手架，讓學生在積累從具體到抽象的活動經驗的過程中，體驗數學語言的轉化過程，培養抽象性思考問題的習慣和思維方式．

“函數的單調性”是滬教版《普通高中教科書數學必修第一冊》《5.2函數的基本性質》中的一節概念起始課.函數的單調性是學生在了解函數的概念、函數的奇偶性后學習的函數的一個重要性質，是函數學習中又一個用符號語言刻畫的概念，概念中蘊含的符號語言、數學邏輯和不等式證明的方法（作差變形）為進一步學習函數的其他性質提供了理論和依據.同時，函數的單調性也是后續學習導數并深入研究函數性質的知識基礎．

函數本身較為抽象，作為初學者，還是會存在一些困難，具體困難主要表現在兩個方面：①用準確的數學符號語言去刻畫圖象的上升與下降，這種由形到數的數學語言翻譯，從圖形直觀到數學抽象的轉變，從現象到本質的認識對剛剛接觸函數單調性的學生是比較困難的；②單調性的證明是學生在函數內容中首次接觸到的代數不等式證明，而學生在代數方面的推理論證能力是比較薄弱的.

為克服教與學上的難點，搭建學生理解概念的腳手架，本文以“函數的單調性”教學為例，探討在概念課教學中教師如何采取多種措施多維度發展學生數學抽象核心素養．

1 課例呈現與分析

本文將從以下五個方面呈現聚焦數學抽象核心素養的“函數單調性”教學設計．

1.1 教學目標聚焦數學抽象

數學概念的形成通常經歷兩種不同層次的抽象過程，一種是從數學外部的事物出發，經過數學化抽象出數學概念；另一種是在數學內部，對已有數學概念進一步歸納總結.概念課教學目標的設計也應圍繞兩種層次展開，旨在讓學生知道“是什么”“為什么”“還有什么”，進而發展學生核心素養.基于此，本節課教學目標設計如下.

（1）基于函數圖象，能用符號語言刻畫函數的單調性，理解單調性的基本概念，歸納抽象出利用圖象和單調性定義判斷、證明函數單調性的方法.

（2）通過對函數單調性概念的探究，滲透數形結合的思想方法，在三種語言轉化的過程中，聚焦數學抽象核心素養的培養，提升學生觀察，歸納以及推理論證的能力，培養學生邏輯推理核心素養．

目標（1）關注函數的單調性“是什么”，聚焦于數學抽象的第一層次——從生活中的氣溫圖出發，經過數學化抽象出函數單調性概念；目標（2）關注概念的“為什么”以及“還有什么”，從多維度對單調性概念深入探究．

1.2 基于問題情境，注重過程引導，積累從具體到抽象的活動經驗

函數性質的研究，一般按照“圖形觀察（圖象語言）—定性描述（文字語言）—定量刻畫（符號語言）—性質應用”的流程展開.其中，從定性描述到定量刻畫的過程是概念形成的關鍵，也是學習的重點與難點．

本課例首先通過創設情境和圖象直觀引入概念，再由形到數，歸納探索形成概念，最后完成從定性到定量的轉化，精確刻畫函數的單調性.

教學片段1

問題1 觀察某市一天24小時的氣溫變化圖并回答在各個時間段氣溫是如何變化的？有怎樣的趨勢？

生：在0點～4點，氣溫下降；在4點～14點，氣溫上升；在14點～24點，氣溫下降．

師：在現實生活中有不少這種函數變化現象，今天我們就從數學角度來研究函數的單調性.

【設計意圖】由生活情境引入新課，激發學生學習興趣.請學生描述氣溫升高或下降的時間段這一行為為后面單調區間的概念的引出作鋪墊，并使學生對單調性概念形成第一次直觀圖形認識.

截取氣溫圖在一段區間I上的圖象，如圖1．

問題2 觀察圖1，能否總結這段圖象在I上有怎樣的變化趨勢？

生：圖象在區間I上呈上升趨勢（圖象語言）．

問題3 回顧初中階段的學習，怎樣用文字刻畫圖象呈上升趨勢？

生： y隨著x的增大而增大（文字語言）.

追問 初中階段對單調性給了一個定性的描述，到了高中階段如何精確刻畫這一性質呢？

（1）利用問題串，剖析文字語言：x增大，y隨之增大.

師生共同抽象提煉出單調性符號語言：若對區間I內任意x1，x2，當x1 ＜ x2時，都有f（x1）＜f（x2），則稱函數y=f（x）在區間I上是嚴格增函數．

【設計意圖】教師通過一系列問題的提出，引導學生思考，逐步展現理解新知識的全過程，使學生在探究函數單調性定義的過程中感受圖象語言、文字語言和符號語言三者之間的轉化關系，提升語言轉化能力和抽象能力.

（2）歸納得到單調增函數的定義，并類比得到單調減函數的定義.

對于區間I內任意x1，x2，當x1 ＜ x2時，總成立f（x1） ＜ f（x2），則稱函數y=f（x） 在區間I上是嚴格增函數，I稱為增區間.

對于區間I內任意x1，x2，當x1 ＜ x2時，總成立f（x1） gt; f（x2），則稱函數y=f（x）在區間I上是嚴格減函數，I稱為減區間.

此外，如果總成立f（x1）≤f（x2），就稱函數y=f（x） 在區間I上是增函數；總成立f（x1）≥f（x2），就稱函數y=f（x） 在區間I上是減函數．

“嚴格增”“嚴格減”“增”及“減”統稱為函數的單調性，區間 I 叫做函數的單調區間.

【設計意圖】把對單調性的認識從對圖象的定性認識，轉化為數學語言的定量認識，由形到數實現數學符號語言的精確刻畫，完成對概念的第二次認識.事實上此過程也給出了證明單調性的方法，為證明函數單調性做好鋪墊.

1.3 從多維度多角度探索抽象概念的同時融入數學思想

借助數學抽象可以在不同層面上以不同形式去刻畫函數的單調性，由此形成數學的多級抽象性，同時又使函數的單調性這一概念具有了高度概括性.

數學思想是人們對數學知識和方法形成規律性的理解認識，是抽象的產物，同時其存在形式也是抽象的，［2］它的形成往往蘊含在數學概念等的抽象過程中．

在探索概念階段，課例需讓學生經歷從直觀到抽象，從特殊到一般再到特殊最終回歸一般，從感性到理性的認知過程，通過正例和反例兩方面明確概念的外延，不斷追問為什么，進一步加深學生對單調性定義本質的認識，保證學生對概念的認識層層深入.并且在例題的選擇上也有考慮，例題1是已知圖形求單調區間，例題2和3是已知解析式判定、證明單調性，整個過程使學生深刻地感受數與形之間的有機結合與轉化，進而體會數形結合的思想方法．

教學片段2

例1 如圖2，根據函數圖象指出函數的單調區間.

學生總結：圖形是研究函數單調性最直觀的工具，嚴格增則圖象上升，嚴格減則圖象下降.利用圖形判斷單調區間是常用方法.

【設計意圖】回歸圖形，通過觀察圖形的趨勢得到單調區間，呼應引入的情境.從形的角度理解概念.

教學片段3

例2 證明函數f（x）=-（4／x2）" 在區間 （0，＋∞）上是增函數．

預設：教師板書規范書寫，強調證明過程和格式．

問題4 證明函數單調性要經過哪幾個步驟？

學生歸納證明步驟：任意取值—作差變形—判號—下結論．

【設計意圖】 教師示范具體的證明過程，學生初步掌握利用定義證明函數單調性的方法與步驟，并在此基礎上歸納出函數單調性的一般證明方法，從正面完成對單調性概念的第四次認識.

例3 證明函數 f（x）=1／x 在區間（0，＋∞）上單調遞減.

【設計意圖】規范學生書寫，嚴格按照定義推理證明，同時也為下面的設問做鋪墊.

教學片段4

問題5 請寫出函數f（x）=1／x 的所有單調區間.

生1：由反比例函數圖象可知，（-∞，0）和 （0，+∞）為函數的減區間．

生2：可以兩個并起來，減區間是（-∞，0）∪ （0，+∞）．

學生陷入爭論，議論紛紛．

師：兩個同學的說法都對嗎？

生3：-1＜3， 但是f（-1）＜f（3）， 故函數在定義域內不是減函數.

師：單調區間能否隨意合并？

生4：單調區間不能隨意合并，必須緊扣定義中的“任意取值”研究單調性.

【設計意圖】通過例3糾正學生對單調區間概念的認識上的偏差，再一次強調單調性定義中“任意取值”的重要性，從反面完成對單調性概念的第五次認識．

1.4 關注抽象的概念表達形式，加強運用數學符號語言的訓練

教材中的數學概念、定理、公式等總是采用某種數學語言或符號表示，學生要真正理解掌握，就需要靈活運用它們，從而促進抽象思維的發展.實踐證明，如果學生有盡可能多的機會用數學語言復述、辨析概念，他們對概念的理解就會更加深刻．

在例3請學生說明函數在某區間不是單調函數的過程中，很多學生能夠理解問題但是不能準確說出數學符號語言，舉反例對學生來說比較困難.

教師需要進一步提升學生的數學語言表達能力，故而設計了下面的開放式問題討論環節，把自主權還給學生，讓學生上黑板自由繪圖且自己描述，深刻體會函數單調性的定義，借助這樣的形式培養學生不僅會做，還要會說，進一步提升語言轉化能力.當然，數學語言表達能力的提升非一朝一夕，需要教師在以后的課堂教學中給予關注，盡可能為學生創造表達的機會與平臺，授之以漁而非授之以魚.

教學片段5 開放性問題環節

問題6 對于一般的函數 y=f（x），x∈D， 若f（-1）＜f（3），能否說函數單調遞增，或確定函數的單調性？請畫出滿足條件的函數圖象，并描述所畫圖象的單調性.

圖3～圖6為學生繪制圖象節選，學生繪制好圖形后描述所繪函數單調性，如下.

（1）函數在［-1，3］上嚴格增.

（2）函數在［-1，3］上不是單調函數，可舉反例說明.

（3）函數在 ［-1，0） 上嚴格增，在（0，3］上也嚴格增，但是在［-1，0）∪（0，3］上不是單調函數.

（4）函數在 ［-1，0） 上嚴格增，在（0，3］上也嚴格增．

追問：（4）中的函數在定義域［-1，0）∪（0，3］上是單調函數嗎？

生：在 ［-1，0）∪（0，3］上是嚴格增函數．

追問：為什么（3）中的單調區間不能合并，（4）中的單調區間卻可以合并呢？

學生構造出了兩個單調區間可以合并后仍然是單調區間的例子，與（3）中的兩個單調增區間不能合并的例子進行對比，兩個例子進一步讓學生體會到單調性的局部性以及取值的任意性，也為后期研究分段函數單調性埋下了伏筆. 學生在一次又一次地把圖象語言翻譯成符號語言的過程中，加深了對單調性概念中“任意性”的理解與認識.

【設計意圖】借著學生的反例追問，引導學生將符號語言轉化為圖象語言，再把自己所繪的圖象翻譯成符號語言，在繪圖、描述的過程中提升語言切換能力，深刻體會函數單調性的定義.由數回形，從形上完成對單調性概念的第六次認識．

1.5 小結

回顧整節課探索知識的過程，師生一起歸納總結函數單調性“是什么”“為什么”“怎么做”“還有什么”，概括的過程是一次完整的數學抽象過程，鞏固學生對單調性概念的理解，具體內容如下.

（1）一個定義：函數單調性定義.

（2）兩個思想：從特殊到一般，數形結合.

（3）三個注意點：規范格式，如何舉反例，單調區間不能輕易合并.

（4）四個步驟：從任意取值，到作差變形，再到判號，最后下結論．

2 結語

本節課是一節概念原理課，是函數單調性的起始課，采用教師啟發引導，學生探究學習的教學方法，通過創設情境，引導探究，師生交流的方式使學生最終歸納抽象形成概念.在教學實踐后有以下幾方面體會.

（1）教師要有意識地搭建臺階，為歸納抽象的過程作鋪墊，幫助學生突破難點.

（2）教師要注重在學生抽象的過程中結合數學思想和方法.

（3）教師需要盡可能多地創造學生運用數學語言表達知識的機會.

（4）教師需要更精準地準備教案，關注每個環節的遞進與呼應，優化課堂效率，幫助學生沉浸式習得概念．

這些都是聚焦數學抽象，滲透概念的可行教學方法，以實現新課標“通過高中數學課程的學習，學生能在情境中抽象出數學概念、方法和體系，積累從具體到抽象的活動經驗，養成在日常生活和實踐中一般性思考問題的習慣，運用數學的抽象思維解決問題”的要求．

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018.

［2］邵光華.作為教育任務的數學思想與方法［M］.上海：上海教育出版社，2009.

［3］李昌官.數學抽象及其教學［J］.數學教育學報，2017，26（4）：61-64.