新高考數學填空壓軸題賞析

新高考數學試卷的填空題僅有3道，分別為第12、13、14題，填空壓軸題主要是指第14題，但個別的第13題也并不容易。結合對近幾年的教育部聯考調研試題研究，我們發現，近兩年的填空壓軸題也有向新定義、新概念背景變化的趨勢。當然，有的填空壓軸題也是傳統的高中數學重要知識點的綜合（比如：基本不等式的靈活應用，圓錐曲線的定義與概念等背景的綜合應用）。所以，對于填空壓軸題來說，新定義、新概念、新情境固然重要，但傳統重要知識點同樣不可忽視。

例1 （2024年教育部九省聯考第14題）以max M 表示數集M 中最大的數，設0

解析：記m =max{b-a，c-b，1-c}，由題意知，b-a≤m ，c-b≤m ，1-c≤m 。且2a-b≤0或者a+b≤1，這兩個附加條件啟發我們應該在消去變量c 的基礎下分類討論，由c-b≤m ，1-c≤m ，得1-b≤2m 。

①若2a-b≤0，為充分應用這個不等式條件，引入待定實參數λ1，λ2，使λ1（b-a）+λ2（-b）=2a-b，于是得λ1=-2，λ2=-1。從而0≥2a-b=-2（b-a）-（1-b）+1≥-2m -2m +1，故m ≥1/4。

②若a+b≤1，利用與①完全類似的思路，引入待定實參數λ3，λ4，使λ3 （b-a）+λ4（-b）=a+b，于是得λ3 = -1，λ4 = -2。從而1≥a+b=-（b-a）-2（1-b）+2≥-m -4m +2，故m ≥1/5。

綜上所述，m 的最小值為1/5。

評注：解題過程中引入的字母m =max{b-a，c-b，1-c}就是一個關鍵的中間變量（橋變量），而使用待定系數法則是我們突破問題難點，實現不等式取等號的關鍵。所以本題實際上既利用了橋變量法切入，又需利用待定系數法跟進。待定系數法不僅可確定函數的解析式，而且可用于較為復雜的數列求通項、求不等式最值、確定空間給定平面的法向量、確定圓或圓錐曲線的方程等。值得一提的是利用基本不等式求較為復雜的最值問題，在很多時候，直接利用基本不等式等號的條件并不能自動成立，需要我們……