計數原理應用中的重復現象

利用計數原理解決問題時，經常出現重復計算、結果增多的現象。下面分析常見的三種重復現象。

一、不分組引起的重復

例1 （2020年全國Ⅱ卷）4名同學到3個小區參加垃圾分類宣傳活動，每名同學只去1個小區，每個小區至少安排1名同學，則不同的安排方法共有____種。

解析：【方案一（錯解）】

利用分步計數原理，分兩步：

第一步，先從4名同學中選出3名排到3個小區，有A34=24（種）排法;

第二步，再把剩下的1名同學分到3個小區中的1個小區，有C13=3（種）方法。

所以不同的安排方法共有24×3=72（種）。

【方案二（正解）】

利用分步計數原理，分兩步：

第一步，先取2名同學看作一組，選法有C24=6（種），則其他2名同學分成2組，有1種分法，所以把4名同學分成3組的不同分法有6×1=6（種）;

第二步，把第一步分好的3組同學分配到3個小區，分法有A33=6（種）。

所以不同的安排方法共有6×6=36（種）。

對比發現，兩種解決方案的結果不同，恰好是兩倍關系，錯在哪？

先看方案一，把4 名同學分別記為甲、乙、丙、丁，3個小區記為A、B、C。

第一步，先從4名同學中選出3名安排到3個小區，不妨設把甲、乙、丙分到了3個小區，如表1所示。

第二步，再把剩下的1名同學分到3個小區中的1個小區，不妨設同學丁分到了小區A，如表2所示。

這種分法是把甲、丁2人分到了一組，且都到了小區A。

那么就會出現另一種情況，第一步，先從4名同學中選出3名排到3個小區，不妨設把丁、乙、丙分到了3個小區，如表3所示。

第二步，再把剩下的1名同學分到3個小區中的1個小區，不妨把同學甲分到了小區A，如表4所示。

這種分法仍然是把甲、丁這2人分到了一組，且都到了小區A。……