一類概周期驅動分段光滑系統的奇異非混沌吸引子特性分析

摘要： 以一類概周期驅動分段光滑系統為研究對象，證實了奇異非混沌吸引子的存在性，并進一步分析了它的幾種特性。首先采用相圖和功率譜定性方法分析奇異非混沌吸引子的分形特性，再利用最大Lyapunov指數、相敏感指數、譜分布函數和有限時間Lyapunov指數分布定量方法進一步描述奇異非混沌吸引子的特性。結果表明，該系統在一定參數下存在奇異非混沌吸引子，該奇異非混沌吸引子表現出多種不同于其他類型吸引子的統計學特性。

關鍵詞： 分段光滑系統；Lyapunov指數；相敏感指數；奇異非混沌吸引子

中圖分類號：O415.6;O415.5文獻標識碼： A

Characteristic Analysis of Strange Nonchaotic Attractors for a Quasiperiodically-forced Piecewise Smooth System

ZHAO Yifan1， SHEN Yunzhu2， DU Chuanbin2

（1.School of Mathematics and Statistics， Qingdao University， Qingdao 266071， China;

2.School of Mathematical Sciences， Jinan University， Jinan 250022， China）

Abstract：A quasiperiodically-forced piecewise smooth system is used as the research object to confirm the existence of strange nonchaotic attractors and further analyze several characteristics. Firstly， qualitative methods of phase diagram and power spectrum are used to analyze the fractal characteristics of strange nonchaotic attractors. Some quantitative methods such as the maximum Lyapunov exponent， phase sensitivity exponent， spectral distribution function and finite-time Lyapunov exponent are used to describe the characteristics of strange nonchaotic attractors. The results show that strange nonchaotic attractors can exist in the system under certain parameters， and exhibit a variety of statistical properties different from other types of attractors.

Keywords： piecewise smooth system; Lyapunov exponent; phase sensitivity exponent; strange nonchaotic attractors

0 引言

奇異非混沌吸引子在幾何上表現為分形特性，但最大李雅普諾夫指數為負數，即對初值條件不敏感，這反映了其非混沌特性［1］。1984年Grebogi等首次在非線性振蕩器中發現并提出奇異非混沌吸引子這一概念［2］。隨后，國內外學者從理論和實驗的角度進行了大量的研究，取得了許多有關奇異非混沌吸引子的成果［35］。隨著奇異非混沌吸引子在眾多領域的應用前景不斷擴大，奇異非混沌吸引子逐漸成為國際非線性動力學研究的課題之一［69］。

早期奇異非混沌吸引子的研究主要是針對光滑系統，如Zhou等［10］以具有多穩態電勢的非線性振蕩器為研究對象，利用精確數值角點法計算混沌吸引子的Lyapunov指數，發現奇異非混沌吸引子取代混沌吸引子這一現象。Heagy和Hammel［11］在概周期驅動映射中觀察到雙頻概周期吸引子轉變為奇異非混沌吸引子的過程，揭示出這種機制與環面倍化現象相關，并命名為HH路線。Verkatesan等［12］在概周期驅動分段線性電子電路中發現環面倍增序列被亞諧分岔中斷時會誕生奇異非混沌吸引子，并命名為第三型間歇路線。張等［13］研究概周期驅動電路系統中的奇異非混沌吸引子，應用分岔理論和Lyapunov指數方法辨別了由鞍結分岔和亞諧分岔形成的兩種間歇性路線。對于非光滑系統，奇異非混沌吸引子可能存在新的誕生機理和統計學特性。張等［14］在振動沖擊系統的余維三分岔附近發現了奇異非混沌吸引子，證實了奇異非混沌吸引子在周期驅動系統中的存在性。張等［15］發現誕生奇異非混沌吸引子的新路線，即由于Grazing分岔，光滑環面上出現不光滑點變為非光滑環面再逐漸分形產生奇異非混沌吸引子。樂等［16］以周期驅動對稱三自由度振動沖擊系統為研究對象，發現奇異非混沌吸引子和一種新型混合吸引子的共存現象，出現了伴隨對稱恢復分岔的一種新型間斷性路線。李等［17］以一類具有概周期驅動的單自由度齒輪動力系統為研究對象，驗證該系統中奇異非混沌吸引子的存在性，并分析了非光滑系統在參數變化時的動力學行為。李等［18］考慮具有概周期驅動的Ricker族（種群模型），用理論和數值方法分析奇異非混沌吸引子的存在性，證明奇異非混沌吸引子存在于一個正測度參數集。李等［19］考慮概周期驅動的非光滑系統，發現周期吸引子可以產生噪聲誘導的SNAs，并利用最大Lyapunov指數、功率譜、譜分布函數和有限時間Lyapunov指數分析奇異非混沌吸引子的統計學特性。沈等［20］分析概周期驅動分段Logistic非光滑系統，應用最大李雅普諾夫指數，相敏感指數等方法研究了產生奇異非混沌吸引子的機理，主要包括Heagy-Hammel路線，間歇I路線，分形路線。徐等［21］利用相圖、最大李雅普諾夫指數、功率譜、相敏感函數等方法，證實概周期驅動二維分段線性范式系統中奇異非混沌吸引子的存在性。

因非光滑系統的動力學特性在一些情況下不同于光滑系統，在其它非光滑系統中是否存在奇異非混沌吸引子及新特性仍需進一步探索。本文以概周期驅動分段光滑系統為研究對象探索奇異非混沌吸引子的存在性和其它統計學特性。

1 系統模型

為了識別概周期驅動分段光滑系統中的奇異非混沌吸引子，考慮如下系統［22］：

xn+1=f1（xn）=λxn+μxnlt;-εf2（xn）=-12ε2x2n+（λ-1ε）xn+μ-12-εlt;xnlt;0f3（xn）=12ε2x2n+（λ-1ε）xn+μ-120lt;xnlt;εf4（xn）=λxn+μ-1xngt;ε（1）

其中，λ，ε為固定的系統參數，μ為分岔參數，xn為系統第n次迭代時的輸入變量。方程（1）中加入概周期驅動力后變為

xn+1=f1（xn）=λxn+（a+bcos2πn）xnlt;-εf2（xn）=-12ε2x2n+（λ-1ε）xn+（a+bcos2πn）-12-εlt;xnlt;0f3（xn）=12ε2x2n+（λ-1ε）xn+（a+bcos2πn）-120lt;xnlt;εf4（xn）=λxn+（a+bcos2πn）-1xngt;ε（2）

n+1=n+ωmod1

其中，a為控制參數，b為概周期驅動的振幅，無理數ω為系統頻率，ω=（5－1）/2。

2 奇異非混沌吸引子特性分析

本文通過相圖，觀察奇異非混沌吸引子的產生過程。這里不妨固定系統參數λ=0.6，ε=0.2，取概周期驅動的振幅b=0.3，圖1表示不同參數a下的相圖。系統的非混沌特性可以通過計算李雅普諾夫指數來證實［1］。

λx=limn→∞1n∑ni=1lnfxi（3）

如圖1a所示，當a=－0.2時，系統圖像在相圖中表現為一個概周期光滑環面。隨著a不斷增加，光滑概周期環面上開始出現不光滑點，變為非光滑環面，如圖1b所示。當a的值繼續增加到0.35時，如圖1c所示，吸引子上表現了類似混沌吸引子的分形特性，此時計算其最大李雅普諾夫指數約為-0.006 01，判斷該吸引子為奇異非混沌吸引子。當繼續增加a的值，達到0.52時，如圖1d，該吸引子變為混沌吸引子，此時計算其最大李雅普諾夫指數約為0.078 65。

2.1 相敏感函數

相敏感函數也是區分概周期吸引子與奇異非混沌吸引子的方法之一。對于奇異非混沌吸引子來說，相敏感函數ΓN與N存在冪律關系，即ΓN～Nμ，其中μ為相敏感指數。對于環面吸引子，相敏感函數具有有界性。計算公式如式（4）［1］：

ΓNa，b=minx0，0max0≤n≤Nxn+1（4）

xn+1=λxn－2πbsin2πxnlt;ε－x2ε2xn+（λ－1ε）xn－2πbsin2π－εlt;xnlt;0x2ε2xn+（λ－1ε）xn－2πbsin2π0lt;xnlt;ελxn－2πbsin2πxngt;ε（5）

當a=－0.2時，對應于圖1a，此時為1T環面，相敏感函數具有有界性，如圖2a所示。而當a=0.35時，對應于圖1c，相敏感函數ΓN與N存在冪律關系，即ΓN～Nμ，其中μ≈0.137 27，如圖2b所示。

2.2 功率譜

通過時間序列分析非線性動力系統的波動狀態即功率譜特征，可以區分不同的吸引子。周期吸引子的功率譜是由基頻諧波處σ-峰組成；由于混沌吸引子的非周期性，功率譜會出現一些峰值，是連續但不平滑的；奇異非混沌吸引子的功率譜具有獨特的特征，即奇異連續性。由傅里葉變換

X（ω，T）=∑Tn=1xnei2πnω（6）

得到功率譜

Pω=limN→∞X（ω，N）2N（7）

其中，X（ω，N）為傅里葉級數，ω∈0，1為功率譜頻率，n為傅里葉變換的迭代次數，xn為系統第n次迭代時的輸入變量。圖3表示b=0.3時概周期驅動分段光滑系統中不同控制參數a下的功率譜圖。當a=－0.2，此吸引子為環面吸引子，功率譜圖像不具有奇異性，如圖3a所示。當a=0.35時，對于奇異非混沌吸引子，功率譜具有分形特性并且有自相似的峰，如圖3b所示。

2.3 譜分布函數

譜分布函數也是表征奇異非混沌吸引子的有效方法，是通過計算功率譜中大于σ值的峰的個數而得出的。與周期吸引子和混沌吸引子不同，奇異非混沌吸引子滿足冪律關系Nσ～σ－β，1lt;βlt;2，β為擬合的斜率。當固定a=0.35，b=0.3時，圖4a展示了以log10σ為橫坐標，log10N（σ）為縱坐標的擬合圖，可以看到它們的關系可以擬合成一條直線，并且斜率約等于－1.293 9。

2.4 有限時間Lyapunov指數分布

有限時間李雅普諾夫指數的分布p（t，λ）對應于固定時間t的計算。由于不同種類的吸引子在有限Lyapunov指數分布上會表現出不同的特征，因此對于檢驗奇異非混沌吸引子是有幫助的。奇異非混沌吸引子在有限時間間隔內通常具有正的李雅普諾夫指數，但漸近指數為負。對于奇異非混沌吸引子，在有限時間李雅普諾夫指數大于零的區域會出現正值曲線。對于環面吸引子，沒有尾部延伸到局部李雅普諾夫指數大于零的區域。這里不妨取t=50，并計算有限時間李雅普諾夫指數的分布。圖4b顯示了奇異非混沌吸引子在a=0.35，b=0.3時的局部Lyapunov指數分布。一個顯著的特點是有限時間Lyapunov指數分布中的正尾呈線性衰減，在其負值中表現出細長的尾巴，這種特性不同于其它類型的奇異非混沌吸引子［1］。

3 結語

在之前的研究工作中，一些振動系統存在從環面概周期振動到混沌振動的轉變，這里指出奇異非混沌吸引子（在力學振動系統可稱奇異非混沌振動）在向混沌過渡的研究中起著重要的作用。對于力學振動系統，混沌振動是不期望發生的，不僅增加了噪聲，而且長期的振動可能導致系統故障。奇異非混沌吸引子的存在是混沌發生的先兆信號，可作為混沌振動的早期預警。理解奇異非混沌吸引子的特性為實際檢測該類吸引子提供理論方法。本文選取的分段光滑系統是一個實際碰撞振動系統的龐加萊映射［22］，通過研究此系統，可以理解碰撞振動系統的更多動力學現象。

本文研究結果表明，在此系統中不僅存在奇異非混沌吸引子，而且一個顯著的特點是有限時間Lyapunov指數分布中的正尾呈線性衰減，在其負值中表現出細長的尾巴。通過大量數值實驗分析，在其它參數區域仍存在相似類型的奇異非混沌吸引子，研究結果期望以后能在實驗數據中證實。

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（責任編輯 耿金花）