例析統計問題中的學習要點

要點1：抽樣方法

簡單隨機抽樣包括抽簽法和隨機數表法;分層抽樣又叫按比例抽樣，抽樣比p =樣本容量n／總體容量N 。無論哪種抽樣，抽到每個個體是等可能的。

例1 某商場有四類食品，食品類別和種數如表1所示。

現從中抽取一個容量為20的樣本進行食品安全檢測，若采用分層抽樣方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數之和為____。

解：總體個數為40+10+30+20=100。由分層抽樣的定義可知，抽取的植物油類食品種數為（10／100）×20=2，抽取的果蔬類食品種數為（20／100）×20=4，所以抽取的植物油類與果蔬類食品種數之和為2+4=6。

跟蹤訓練1：利用簡單隨機抽樣，從n 個個體中抽取一個容量為10的樣本。若第二次抽取時，余下的每個個體被抽到的概率為1／3，則在整個抽樣過程中，每個個體被抽到的概率為____。

提示：根據題意得9 ／n-1=1／3，解得n=28。故在整個抽樣過程中每個個體被抽到的概率為10／28=5／14。

要點2：用樣本的頻率估計總體分布

頻率= 頻數／樣本容量，已知其中任意兩個量就可以求出第三個量。各小組的頻數和等于樣本容量，頻率和等于1。由樣本的頻率可估計總體的頻率，從而估計總體的頻數。

例2 有一個容量為100 的樣本，數據（均為整數）的分組及各組的頻數如下：[12.5，15.5），6;[15.5，18.5），16;[18.5，21.5），18;[21.5，24.5），22;[24.5，27.5），20;[27.5，30.5），10;[30.5，33.5]，8。

（1）列出樣本的頻率分布表。

（2）估計小于30的數據約占的百分比。

解：（1）樣本的頻率分布表，如表2所示。

（2）因為所有組的頻率之和為1，大于30的數據占0.08，所以小于30的數據占（1-0.08）×100%=92%。

跟蹤訓練2：為了解某校高三學生的視力情況，隨機地抽查了該校100名高三學生的視力情況，得到頻率分布直方圖，如圖1。由于不慎將部分數據丟失，但知道后5組頻數和為62，視力在4.6到4.8之間的學生人數為a，最大頻率為0.32，則a 的值為____。

提示：由題意知[4.7，4.8）之間的頻率為0.32，[4.6，4.7）之間的頻率為1-0.62-0.05-0.11=1-0.78=0.22，所以a =（0.22+0.32）×100=54。

要點3：用樣本的特征數估計總體的特征數

樣本的特征數可分為兩大類：一類是反映樣本數據集中趨勢的，包括眾數、中位數和平均數;另一類是反映樣本數據波動大小的，包括方差及標準差。

例3 甲、乙兩機床同時加工直徑為100cm 的零件，為檢驗質量，各從中抽取6件測量，數據如下：

甲：99，100，98，100，100，103。

乙：99，100，102，99，100，100。

（1）分別計算兩組數據的平均數及方差。

（2）根據計算結果判斷哪臺機床加工零件的質量更穩定。

解：（1）x甲=1/6（99+100+98+100+100+103）=100，x乙=1/6（99+100+102+99+100+100）=100。s2甲=1/6[（99-100）2+（100-100）2+（98-100）2 +（100-100）2 +（100-100）2 +（103-100）2]=7/3，s2乙=1/6[（99-100）2+（100-100）2+（102-100）2+（99-100）2+（100-100）2+（100-100）2]=1。

（2）兩臺機床所加工零件的直徑的平均數相同，又s2甲gt;s2乙，所以乙機床加工零件的質量更穩定。

跟蹤訓練3：對甲、乙的學習成績進行抽樣分析，各抽5門功課，得到的觀測值如表3所示。

問：甲、乙誰的平均成績好？ 誰的各門功課發展較平衡？

提示：易得甲的平均成績x甲=74，乙的平均成績x乙=73，所以甲的平均成績好。由方差計算公式得甲的方差s2甲=104，乙的方差s2乙=56。因為s2甲gt;s2乙，所以乙的各門功課發展較平衡。

要點4：樣本的百分位數

由頻率分布直方圖求百分位數時，一般采用方程的思想，設出第p 百分位數，根據其意義列出方程求解。

例4 數學興趣小組調查了12位大學畢業生的起始月薪，具體如表4所示。試確定第85百分位數。

解：將數據從小到大排列為3710，3755，3850，3880，3880，3890，3920，3940，3950，4050，4130，4325。因為12×85%=10.2，所以第85百分位數是第11個數據，即第85百分位數是4130。

跟蹤訓練4：新華中學高一年級共有1200人參加了學校組織的詩詞背誦比賽，已知所有學生成績的第70百分位數是75分，則成績大于或等于75分的學生至少有____人。

提示：將1200人的成績按照從小到大的順序排列，75分排在第70百分位數，就是比75分少的人數占了70%，所以成績大于或等于75 分的學生至少占了30%，其人數為1200×30% =360。故成績大于或等于75分的學生至少有360人。

說明：本文系廣西教育科學“十四五”規劃2022年度專項課題“基于大數據監測提升高中生數學核心素養的實踐研究———以南寧四中為例”的研究成果，編號：2022ZJY274。

作者單位：南寧市第四中學

（責任編輯 郭正華）