立體幾何初步常見考題聚焦

題型1：平面的基本性質及應用

證明共面的兩種方法：先確定一個平面，再證其余的線（或點）在這個平面內;證明兩平面重合。證明共線的兩種方法：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上;直接證明這些點都在同一條特定直線上。證明線共點的常用方法：先證兩條直線交于一點，再證其他直線經過該點。

例1 如圖1 所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F 分別為D1C1，B1C1 的中點，AC∩BD =P，A1C1∩EF=Q，直線A1C與平面BDEF 的交點為R。

證明：（1）P，Q，R 三點共線。

（2）DE，BF，CC1 三線共點。

證明：（1）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設A1ACC1 確定的平面為α，設平面BDEF 為β。由Q∈A1C1，可得Q∈α。因為Q∈EF，所以Q ∈β，則Q 是α 與β 的公共點。同理，P 也是α 和β 的公共點，所以α∩β=PQ。因為A1C ∩β=R，所以R ∈A1C，所以R∈α 且R∈β，所以R∈PQ。故P，Q，R 三點共線。

（2）因為EF ∥BD ，且EF ≠BD ，所以DE 與BF 一定相交，設交點為M 。因為BF?平面BCC1B1，DE ?平面DCC1D1，且平面BCC1B1 ∩ 平面DCC1D1 =CC1，所以M ∈CC1，所以DE，BF，CC1 三線共點。

跟蹤訓練1：如圖2，ABCD-A1B1C1D1 是長方體，O 是B1D1 的中點，直線A1C 交平面AB1D1 于點M ，則下列結論正確的是（ ）。

A.A，M ，O 三點共線

B.A，M ，O，A1 不共面

C.A，M ，C，O 不共面

D.B，B1，O，M 共面

提示：因為A1C1∥AC，所以A1，C1，C，A 四點共面，所以A1C ?平面ACC1A1。由M ∈A1C，可得M ∈ 平面ACC1A1。因為M ∈平面AB1D1，所以M 在平面ACC1A1與平面AB1D1 的交線上。又平面ACC1A1∩平面AB1D1=AO，所以M ∈AO，所以A，M ，O 三點共線。應選A。

題型2：平行與垂直問題

證明線線平行的四種方法：平面幾何法（常用的有三角形中位線、平行四邊形對邊平行）;線面平行的性質定理;面面平行的性質定理;線面垂直的性質定理。證明線面平行的三種方法：定義法;線面平行的判定定理;面面平行的性質。證明面面平行的四種方法：定義法;面面平行的判定定理;垂直于同一直線的兩個平面平行;面面平行的傳遞性。證明線面垂直的四種方法：判定定理;垂直于平面的傳遞性（a∥b，a⊥α?b⊥α）;面面平行的性質（a⊥α，α∥β?a⊥β）;面面垂直的性質。

例2 如圖3所示，四邊形ABCD 是平行四邊形，PB ⊥ 平面ABCD ，MA ∥PB，PB=2MA。在線段PB 上是否存在一點F，使平面AFC∥平面PMD ？ 若存在，請確定點F 的位置，并給出證明;若不存在，請說明理由。

解：當點F 是PB 的中點時，平面AFC∥平面PMD ，證明如下。

設AC 與BD的交點為O。易知PF =1／2PB。因為四邊形ABCD 是平行四邊形，所以O 是BD的中點，所以OF∥PD 。

因為OF ? 平面PMD ，PD ? 平面PMD ，所以OF ∥平面PMD 。因為MA ∥PB，MA=1／2PB，所以PF∥MA，PF=MA，所以四邊形AFPM 是平行四邊形，所以AF∥PM 。因為AF ?平面PMD ，PM ?平面PMD ，所以AF∥平面PMD 。又AF ∩OF=F，AF ?平面AFC，OF ?平面AFC，所以平面AFC∥平面PMD 。

跟蹤訓練2：如圖4 所示，在四棱錐P-ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，AD∥BC，AD =2BC，∠DAB=∠ABP=90°。

（1）求證：AD ⊥平面PAB。

（2）求證：AB⊥PC。

提示：（1）因為∠DAB=90°，所以AD ⊥AB。因為平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB∩ 平面ABCD =AB，所以AD ⊥ 平面PAB。

（2）已知AD ⊥AB。因為AD ∥BC，所以BC⊥AB。因為∠ABP =90°，所以PB⊥AB。因為PB ∩BC =B，所以AB ⊥ 平面PBC。又PC?平面PBC，所以AB⊥PC。

題型3：幾何體的表面積和體積

與球有關的組合體問題，一種是內切，一種是外接。球與旋轉體的組合，通常是作它們的軸截面來解決;球與多面體的組合，通過多面體的一條側棱和球心，或“切點”“接點”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題來解決。若球面上四點P，A，B，C 中，PA，PB，PC 兩兩垂直或三棱錐的三條側棱兩兩垂直，則可構造長方體或正方體來解決外接問題。

例3 如圖5，三棱錐S-ABC 的所有頂點都在球O 的球面上，SC 是球O 的直徑。若平面SCA ⊥ 平面SCB，SA =AC，SB =BC，三棱錐S-ABC 的體積為9，則球O 的表面積為____。

解：由SC 為球O 的直徑，可知點O 為SC 的中點。因為SA =AC，SB =BC，所以AO⊥SC，BO ⊥SC。因為平面SCA ⊥平面SCB，平面SCA ∩ 平面SCB =SC，所以AO⊥平面SCB。

設球O 的半徑為R，則OA =OB =R，SC=2R。所以VS-ABC =VA-SBC =1／3×S△SBC ×AO=1／3× 1／2×SC×OB ×AO，即9=1／3×（1／2×2R×R） ×R，解得R=3，所以球O 的表面積為S=4πR2=4π×32=36π。

跟蹤訓練3：《算數書》竹簡于20世紀80年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現存最早的有系統的數學典籍，其中記載有求“囷蓋”的術：置如其周，令相乘也。又以高乘之，三十六成一。該術相當于給出了由圓錐的底面周長L 與高h，計算其體積V 的近似公式V ≈ 1／36L2h。它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率π 近似取為3。那么，近似公式V ≈ 2／75L2h 相當于將圓錐體積公式中的π近似取為____。

提示：設圓錐底面圓的半徑為r，高為h，則L=2πr，圓錐的體積V =1／3πr2h=1／3π·（L／2π ）2h=L2h／12π。因為12π≈75／2，所以π=25／8。

作者單位：河北新河中學

（責任編輯 郭正華）