Lomax分布一致漸近指數分布

摘 要 若隨機變量X具有密度函數

fX（x）＝1＋－（θ＋1）， "x＞0， 0，"""""""""""""""""""""""""""""" 其他，

則稱X服從Lomax分布，其中＞0為尺度參數，θ＞0為形狀參數. 本文證明了當θ → ∞時，Lomax分布一致漸近指數分布Exp.

關鍵詞 Lomax分布；指數分布；漸近分布

中圖分類號 O211.1" 文獻標識碼 A

1 引 言

若隨機變量X具有密度函數

fX（x）＝1＋－（θ＋1）， "x＞0， 0，""""""""""""""""""""""""""""" 其他，（1）

則稱X服從Lomax分布，其中＞0為尺度參數，θ＞0為形狀參數.

在文獻[1]中，Lomax分布也被稱為第二型的Pareto分布. Lomax分布可視為指數伽馬分布的混合分布. 由于Lomax分布包含了單調遞增和單調遞減的失效率，從而在分析醫學、生物科學和工程科學等方面的壽命試驗數據處理中起著重要的作用.許多作者研究了Lomax分布的統計性質，例如，文獻[2]在特殊條件下研究了Lomax分布參數估計的相合性、漸近正態性和重對數律；文獻[3-7]研究了不同損失函數下Lomax分布參數的Bayes估計；文獻[8]在缺失數據樣本下討論了尺度參數的估計問題；文獻[9]在全樣本下討論了兩個參數的區間估計和假設檢驗；文獻[10]在定數截尾樣本下討論兩個參數的區間估計和假設檢驗，對失效率和可靠度進行區間估計；文獻[11]研究了在NA樣本下形狀參數的經驗Bayes檢驗問題；文獻[12]研究了Lomax分布參數極大似然估計的存在性和估計量的收斂性問題.

Lomax分布的數學期望和方差分別為

E（X）＝，θ＞1（2）

和

Var（X）＝，θ＞2.（3）

將X標準化，得

Y＝＝，（4）

其中＞0，θ＞2，則Y的密度函數為

fY（y）＝fXy＋，（5）

即

fY（y）＝1＋y＋1－（θ＋1）， "y ＞ － ， 0，"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""nbsp;""""""""""""""""""""""""""""""""""" 其他.（6）

本文考慮了當θ → ∞時，Lomax分布的漸近性. 更確切地說，在第二節給出了密度函數（6）當θ → ∞時的漸近公式，進而證明了Lomax分布漸近指數分布. 我們也給出Lomax分布漸近指數分布的幾何解釋. 在第三節，我們給出了更強的結果，利用Kullback-Leibler距離證明了Lomax分布一致漸近指數分布.

本文中的數值計算利用了Maple軟件.

2 Lomax分布漸近指數分布

2.1 密度函數（6）的漸近公式

定理2.1" 設X服從Lomax分布，密度函數由（1）給出，則當θ → ∞時，X的標準化變量Y的密度函數fY（y）有漸近公式

fY（y）＝e－（ 1＋y ）1＋＋O，（7）

這里y ＞ － 1.

證明" 利用（1＋x）α的冪級數展開式

（1＋x）α＝αk xk

＝1＋αx＋x2＋…＋xk＋…，－1＜x＜1，

得（當θ → ∞時）

＝1－－11－－1/2

＝1＋＋＋…1＋＋＋…

＝1＋＋＋…，（8）

1＋y＋1＝1＋1－－11－－1/2y＋1

＝1＋1＋＋＋…1＋y＋＋＋…

＝1＋＋＋….（9）

對（9）兩邊取對數得到

ln1＋y＋1＝ln1＋＋＋…

＝＋＋…，θ → ∞，

進而有

－（θ＋1）ln1＋y＋1＝ － （θ＋1）＋＋…

＝ － （y＋1）＋＋…，θ → ∞.（10）

對（10）兩邊取指數得到

1＋y＋1－（θ＋1）＝e－（ 1＋y ）1＋＋O，θ → ∞.（11）

利用（8）和（11），我們獲得由（6）給出的密度函數fY（y）的漸近公式

fY（y）＝1＋＋Oe－（ 1＋y ）1＋＋O

＝e－（ 1＋y ）1＋＋O，θ → ∞.

定理2.1證畢.

定理2.1表明當θ → ∞時，密度函數fY（y）的漸近分布為

f （y）＝e－（ 1＋y ）， y ＞ － 1，0，""""""""" 其他.（12）

若隨機變量ξ的密度函數為

pξ（x）＝e－x， "x＞0，0，""""""""" 其他，（13）

則稱ξ服從指數分布，記作ξ～Exp（），其中參數＞0. 指數分布的數學期望和方差分別為

E（ξ）＝， Var（ξ）＝.（14）

清楚地，（12）是ξ標準化后的隨機變量ξ*＝的密度函數. 考慮下面隨機變量：

Z＝Y＋1＝＋1＝＋1，（15）

則Z的密度函數為

fZ（z ）＝fX（z－1）＋，（16）

即

fZ（z ）＝1＋（z－1）＋1－（θ＋1）， z ＞1－， 0，""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""nbsp;""""""" 其他.（17）

從定理2.1年看出（用z－1替換（7）中的y），當θ → ∞時，fZ（z ）有下面漸近公式：

fZ（z ）＝e－z1＋＋O，（18）

這里z＞0. 從（18）看出，當θ → ∞時，由（17）給出的密度函數fZ（z ）漸近指數分布Exp（1）.

2.2 Lomax分布漸近指數分布的幾何解釋

設隨機變量X的前三階矩存在，則比值

βs＝

稱為X（或分布）的偏度. 設隨機變量X的前四階矩存在，則比值

βk＝－3

稱為X（或分布）的峰度.

指數分布Exp（）的偏度等于2，峰度等于6（見文獻[13，p.137]）. 指數分布Exp（）的偏度和峰度與其所含參數無關，故指數分布中的參數不能稱為形狀參數.

引理2.1（見文獻[13，p.138，習題10]）隨機變量X的偏度與峰度對位移和改變比例尺是不變的，即對任意的實數a，b（b≠0），Y＝a＋bX與X有相同的偏度和峰度.

設Lomax分布的密度函數fX（x）由（1）給出. 直接計算獲得X的k階原點矩可以由伽馬函數表示

μk＝E（Xk）＝.

前四階原點矩分別為

μ1＝，μ2＝，

μ3＝，μ4＝，

進而獲得X的偏度與峰度分別為

X的偏度＝＝，

X的峰度＝－3＝－3.

根據引理2.1，線性變換不改變分布的偏度與峰度，故隨機變量X、Y和Z（隨機變量Y由（4）給出，Z由（15）給出）有相同的偏度與峰度. 于是有

X的偏度＝＝，

X的峰度＝－3＝－3.

可見，只要n較大，可使X、Y和Z的偏度接近于2，峰度接近于6，從而X、Y和Z的分布也愈來愈近似指數分布.

3 Lomax分布一致漸近指數分布

定義3.1[14]" 設f （x）是一個密度函數，對于歐氏空間（R1，B1）中任意一Borel集E，記Pf （E）＝E f （x）dx. 設g （x）是另一個密度函數，則稱

D（f，g）＝Pf （E）－Pg（E）（19）

定義3.2[14]" 設fn（x）是一個密度函數序列，g （x）是正態分布N（μ，σ2）的密度函數. 若

D（fn，g） → 0，n →∞，

則稱fn（x）一致漸近正態分布N（μ，σ2）.

李開燦和孟趙玲在文[14]中考慮了 2分布、t分布和F分布的一致漸近正態性. 毛第首和李開燦在文[15]中考慮了Fisher分布一致漸近正態性. 韓學鋒和陳超平在文[16]中證明Fisher分布與F分布的一致漸近正態性. 韓學鋒和陳超平在文[17]中證明了Gamma分布與Beta分布的一致漸近正態性. 最近，Chen在文[18]中給出了t分布的密度函數的完全漸近展開式. Chen和Srivastava在文[19]中給出了 2分布的密度函數的完全漸近展開式.

定義3.3" 設f （x）和g （x）是兩個密度函數，Sf和Sg分別是f （x）和g （x）的支撐集. 若Sf？哿Sg，并且Slnf （x）dx＜∞時，則稱這個值是g （x）到f （x）的Kullback-Leiber距離，記為I（f，g）.

文獻[20，命題4.3.7]給出

D（f，g）≤.（20）

定理3.1" 當θ → ∞時，由（1）給出密度函數fX（x）一致漸近指數分布Exp（）.

證明" 設X服從Lomax分布，其密度函數由（1）給出. 觀察Lomax分布的數學期望（2）和指數分布Exp（）的數學期望（14），我們用h（x）表示指數分布Exp（）的密度函數，即

h（x）＝exp－x， "x＞0，0，"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" 其他，

其中＞0，θ＞1. 直接計算給出密度函數h（x）到Lomax分布的密度函數fX（x）的Kullback-Leibler距離

I（fX，h）＝ln－θ（θ＋1）1＋－（θ＋1）ln1＋d1＋＋1

ln－θ（θ＋1）t－（ θ＋1 ） ln t dt＋1.（21）

簡單計算給出

t－（ θ＋1 ） ln t dt"""""""" ue－θ udu"""""""""""""""" xe－xdx＝Γ（2）＝.（22）

將（22）代入（21）獲得

I（fX，h）＝ln－ → 0， θ → ∞.

定理3.1證畢.

參考文獻

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Lomax Distribution Uniformly Asymptotic

Exponential Distribution

HUANG Weiguang， LIN Long， CHEN Chaoping

（School of Mathematics and Information Science， Henan Polytechnic University， Jiaozuo 454003， Henan， China）

Abstract" If the random variable X has the density function

fX（x）＝1＋－（θ＋1）， "x＞0， 0，"""""""""""""""""""""""""""" otherwise，

then X is said to obey Lomax distribution， where ＞0 is the scale parameter and θ＞0 is the shape parameter. It is proved that， as θ →∞， Lomax distribution is uniformly asymptotic exponential distribution Exp.

Keywords" Lomax distribution; exponential distribution; asymptotic distribution