擬拓撲向量空間的運算及其范疇的雙完備性

摘 要 以Diffeological向量空間賦予D拓撲為背景，楊忠強和胡澤英定義了擬拓撲向量空間，即在向量空間上賦予一個拓撲使得加法運算是分離變量連續的，同時數乘運算是連續的. 本文在此基礎上研究了擬拓撲向量空間的子空間、乘積空間和商空間，并給出了擬拓撲向量空間范疇的定義，進一步證明了該范疇的雙完備性.

關鍵詞 擬拓撲向量空間；子空間；乘積空間；商空間；范疇；完備性；余完備性

中圖分類號 O189.11" 文獻標識碼 A

0 引 言

拓撲向量空間理論是泛函分析的一個重要分支，這一理論至今仍是數學和自然科學領域相關問題及理論探討的核心框架. 具體而言，拓撲向量空間是指在向量空間上配備一個拓撲結構使得加法和數乘都是聯合連續的空間. 這種條件是非常強的. 因此，Burgin通過減弱數乘運算的連續性條件，引入了半拓撲向量空間的概念[1].

Diffeological空間是光滑流形的推廣，這一概念最初在上世紀80年代由Souriau提出[2]. 并且在一些應用中許多向量空間自然地配備了相容的Diffeological結構. 從而可以自然地定義Diffeological向量空間. 2013年，Iglesias-Zemmour正式地提出這個概念[3]. 同時在這本專著中，也提到了一個使得Diffeological空間中所有plot都連續的拓撲：D拓撲. 因此一個自然地問題產生，賦予D拓撲的Diffeological向量空間是否是拓撲向量空間. 之后，鄔恩信和楊忠強得到了賦予D拓撲的Diffeological向量空間數乘運算是聯合連續的，加法是分離變量連續的，但并不總是構成拓撲向量空間[4]. 基于此，2024年，楊忠強和胡澤英定義了加法上滿足分離變量連續性，同時數乘聯合連續的一類向量空間，并稱之為擬拓撲向量空間[5]. 他們證明了在有限維向量空間的情況下，擬拓撲向量空間就是拓撲向量空間. 同時還得到了在任意無限維的向量空間上，可以定義一個T1非Hausdorff的拓撲，使得該空間是擬拓撲向量空間，而不是拓撲向量空間.

在現代數學的研究中，范疇論通過提供一個統一的語言框架來揭示不同數學結構之間的深層聯系，是現代數學中連接各個數學分支的橋梁，并且在表示論、拓撲學、代數學、代數幾何學中有著廣泛的應用. 完備性和余完備性是范疇論中的兩個重要性質.

基于以上研究背景，本文將定義擬拓撲向量空間范疇，研究擬拓撲向量空間范疇的完備性和余完備性.

本文的結構安排如下：在第一節介紹一些預備知識，包括Diffeological向量空間、擬拓撲向量空間以及一些范疇論的基本概念和性質. 在第二節給出擬拓撲向量空間的子空間、乘積空間、商空間仍是擬拓撲向量空間的證明. 在第三節證明擬拓撲向量空間范疇中乘積、余積、等值子、余等值子的存在性. 由此說明擬拓撲向量空間范疇是完備的且是余完備的.

1 預備知識

本文用R表示實數域，Rm表示m維歐氏空間. 首先回顧一下Diffeological向量空間的基本概念.

定義1.1[6]" 設X是一非空集合，U是歐氏空間Rm中的開集，任一映射P ： U → X稱為X的一個參數化.

定義1.2[6]" 設X是一非空集合，X的一個參數化族

DX＝{ f" f ： U → X}

稱為X的一個diffeology，若其滿足以下三個條件：

（1） 覆蓋：DX包含所有的常值參數化；

（2） 光滑復合：對于歐氏空間中的開集U？奐Rm及V？奐Rn，對DX中的任一參數化f ： U → X和無限光滑映射g ： V → U，有f" "g ： V → X在DX中；

（3） 局部性：設Ui是U中的開集，U＝Ui，f ： U → X. 若f "： Ui" → X在DX中，則f ： U → X也在DX中.

且稱（X，DX）為一個diffeological空間. DX中的成員稱為X的一個plot.

定義1.3[3]" 設（X，DX）是一個diffeological空間，稱X的一個子集A是D開的，若對DX中的任意plot" p ： U → X，都有p－1（A）是U中的開集. 由X中的D開集生成的拓撲稱為D拓撲.

定義1.4[3]" 設X＝（X，DX，＋，·）是一個四元組，滿足（X，DX）是一個diffeological空間，且（X，＋，·）是一個向量空間. 若這個四元組（X，DX，＋，·）滿足以下條件：對任意的開集U？奐Rm，V？奐Rn，

（1） 若f ： U → X和g ： V → X都是DX中的plot，則f＋g ： U×V → X也是DX中的一個plot. 其中（f＋g）（x，y）＝f （x）＋g（y）；

（2） 設f ： U → X是DX中的plot，則對任意的r∈R，有r· f ： R×U → X也是DX中的一個plot. 其中（r· f ）（x）＝r· f （x），

則稱（X，DX，＋，·）是一個diffeological向量空間.

鄔恩信和楊忠強證明了賦予D拓撲的diffeological向量空間加法運算是分離變量連續的，數乘運算是聯合連續的[4]，但其未必構成一個拓撲向量空間. 因此，楊忠強和胡澤英給出了減弱拓撲向量空間中加法連續性的一類空間并討論了其基本性質[5]. 本文僅對實數域R上的擬拓撲向量空間進行討論.

定義1.5[5]" 設（X，＋，·）是數域R上的向量空間，是X上的一個拓撲，稱（X，＋，·，）為擬拓撲向量空間，若

（1） 向量加法是分離變量連續的，即＋： （X，）×（X，） → （X，）對每個變量連續；

（2） 數乘連續，即·∶ （R，ε）×（X，） → （X，）聯合連續，其中ε為歐式拓撲.

引理1.6[5]" 設X是數域R上的向量空間，X上賦予拓撲，對任意的x0∈X，定義映射f ： （X，） → （X，）為

f （x）＝x＋x0.

則對任意的x0∈X，f是同胚映射當且僅當（X，＋，·，）滿足向量加法分離變量連續，即定義1.5中的（1）. 顯然f （0）＝x0.

下面回顧一些范疇論的基礎概念. 極限與余極限是范疇論的核心概念，如果一個范疇中的所有圖都存在極限或者余極限，則稱之為完備范疇或者余完備范疇. 如果一個范疇既滿足完備性又滿足余完備性，則稱該范疇為雙完備范疇. 對（余）完備性的討論不可避免地涉及到乘積、余乘積、等化子與余等化子等基礎概念，這些概念的重要性在引理1.12與1.13中得到了很好地體現. 下面給出這四種特殊的極限和余極限的定義.

定義1.7[7]" 設C是一個范疇，I是一個非空的指標集，{Ai}i∈I？奐Obj（C）是范疇C的對象族，（A，{ pi∈C（A，Ai） ： i∈I }）稱為{Ai}i∈I的乘積，其中A∈Obj（C），若滿足：對任意的C∈Obj（C），i∈I，若存在態射fi ： C → Ai，則存在唯一的態射f ： C → A使得fi＝pi "f成立. 即圖1可交換.

定義1.8[7]" 設C是一個范疇，I是一個非空的指標集，{Ai}i∈I？奐Obj（C）是范疇C的對象族，（A，{ qi∈C（Ai，A） ： i∈I }）稱為{Ai}i∈I的余積，其中A∈Obj（C），若滿足：對任意的C∈Obj（C），i∈I，若存在態射fi ： Ai → C ，則存在唯一的態射f ： A → C使得fi＝f "qi成立. 即圖2可交換.

定義1.9[7]" 設C是一個范疇，A，B∈Obj（C），f，g ： A → B是一對平行態射，若態射e ： E → A，其中E∈Obj（C），滿足：

（1） f "e＝g "e；

（2） 對任意的E′∈Obj（C）以及態射e′： E′ → A，滿足f" "e′＝g "e′，存在唯一的態射h ：" E′ → E使得e′＝e "h成立. 即圖3可交換.

則稱（E，e）是平行對f，g ： A → B的等值子.

定義1.10[7]" 設C是一個范疇，A，B∈Obj（C），f，g ： A → B是一對平行態射，若態射c ： B → C，其中C∈Obj（C），滿足：

（1） c "f＝c "g；

（2） 對任意的C′∈Obj（C）以及態射c′：" B → C′，滿足c′ f＝c′ g，存在唯一的態射r ： C → C′ 使得c′＝r "c成立. 即圖4可交換.

則稱（C，c）是平行對f，g ： A → B的余等值子.

定義1.11[7]" 設C為范疇.

（1） 如果C中任意對象族{Ai}i∈I的積（或余積）都存在，則稱C有乘積（或余積）.

（2） 設A，B∈Obj（C），如果A，B間的任意一對平行態射f，g的等值子（或余等值子）存在，則稱C有等值子（或余等值子）.

眾所周知，一個范疇中每一個圖的極限和余極限在同構的意義下是唯一的. 特別地，（余）積和（余）等值子是特殊的（余）極限. 因此，上述四個概念在同構的意義下是唯一的[9].

我們需要下面重要結果：

引理1.12[7]" 對任意的范疇C，C是完備的當且僅當C有乘積和等值子.

引理1.13[7]" 對任意的范疇C，C是余完備的當且僅當C有余積和余等值子.

2 擬拓撲向量空間的子空間、乘積空間和商空間

由于拓撲向量空間的子空間、乘積空間、商空間也是拓撲向量空間. 因此，一個自然的問題是對于擬拓撲向量空間上述相應的結論是否成立. 下面給出了擬拓撲向量空間的子空間、乘積空間、以及商空間是擬拓撲向量空間的證明.

定理2.1" 設（X，） 是擬拓撲向量空間，Y是X的線性子空間，Y上賦予子空間拓撲

Y＝{V∩Y ： V∈}，

則（Y，Y）是擬拓撲向量空間，我們稱（Y，Y）是（X，） 的子擬拓撲向量空間.

證明" 要證（Y，Y）是擬拓撲向量空間，只需證明（Y，Y）關于加法分離變量連續且數乘連續.

固定x0∈Y？奐X，對任意的x∈X，定義f ： X → X為f （x）＝x0＋x. 由引理1.6可知f連續. 由Y是X的子空間，所以有fY： Y → X是連續的. 又由Y是線性空間，則f （Y）？奐Y？奐X，因此有限制fY的值域而得到的映射h ： Y → Y是連續的. 即（Y，Y）關于加法是分離變量連續的.

同理可證（Y，Y）的數乘是連續的.

定義2.2[10]" 設{（Xα，α） ： α∈γ}是一族擬拓撲向量空間，γ為指標集，記{Xα ： α∈γ}的笛卡兒積為X＝Xα，X中的每個元素記為x＝（xα）α∈γ，其中xα∈Xα，對任意的α∈γ. 對任意的x＝（xα）α∈γ，y＝（yα）α∈γ∈X，∈R，定義

x＋y＝（xα＋yα）α∈γ，x＝（xα）α∈γ.

定理2.3" 設{（Xα，α） ： α∈γ}是一族擬拓撲向量空間，γ為指標集，令X＝Xα，是由

{Bα ： Bα∈α，除有限多個α∈γ外Bα＝Xα}

為基生成的拓撲，即為Xα上的乘積拓撲，則（X，）是擬拓撲向量空間，我們稱（X，）為{（Xα，α） ： α∈γ}的乘積擬拓撲向量空間.

證明" 顯然X是線性空間，且X在下是拓撲空間. 因此要證（X，）是擬拓撲向量空間，只需證明（X，）關于加法分離變量連續且數乘連續.

固定x0∈X，對任意的x∈X，設Vx0＋x是x0＋x在X的任意鄰域，不妨設Vx0＋x＝Bα，這里Bα∈α，且除有限多個α∈γ外，Bα＝Xα. 即存在γ的有限子集γ0，使得對任意的α∈γ ＼ γ0，Bα＝Xα. 對任意的α∈γ0，由Xα是加法分離變量連續的，則存在xα在Xα中的鄰域Vxα，使得x0α＋Vxα？奐Bα. 令Ux＝Vxα，這里α∈γ ＼ γ0時，Vxα＝Xα. 則Ux是x在X中的鄰域，且

x0＋Ux＝x0＋Vxα？奐（x0α＋Vxα）？奐Bα＝Vx0＋x.

所以（X，）關于加法是分離變量連續的.

對任意的∈R，x∈X，設Vx是x在X的任意鄰域. 不妨設Vx＝Bα，這里Bα∈α，且除有限多個α∈γ外，Bα＝Xα. 即存在γ的有限子集γ0，使得對任意的α∈γ ＼ γ0，Bα＝Xα. 對任意的α∈γ0，由Xα的數乘連續性，存在在R中的鄰域H α" ，xα在Xα中的鄰域Vxα，使得H α" · Vxα？奐Bα. 令Ux＝Vxα，其中α∈γ ＼ γ0時，Vxα＝Xα." 同時，對任意的α∈γ ＼ γ0，令H α" ＝R. 易知Ux是x在X中的鄰域，H＝H α" 是在R中的鄰域. 進一步有

H· Ux＝（H α" ）·（Vxα）？奐（H α" · Vxα）？奐Bα＝Vx .

所以（X，）的數乘是連續的.

定義2.4[10-11]" 設X是線性空間，M？奐X是線性子空間，對任意的x∈X，考慮陪集＝x＋M，從而在X上定義一個等價關系. 在商集合X / M＝{ ： x∈X}上定義

＋＝x＋y，＝x，，∈X，∈R.

稱X / M為X關于M的商空間. 記 ：" X → X / M，x "，稱是X到X / M上的商映射. 顯然是線性的.

定理2.5" 設（X，）是擬拓撲線性空間，M？奐X是線性子空間，定義X / M上的拓撲為

[]M＝{E？奐X / M ： －1（E）∈}，

則是開映射，且（X / M，[]M）是擬拓撲線性空間. 我們稱（X / M，[]M）是（X，）關于M的商擬拓撲向量空間.

證明" 由定義 ： （X，） → （X / M，[]M）是商映射，[]M是由M誘導的等價關系生成的拓撲，且在[]M下連續. 進一步我們證明是開映射. 設V是X中的任意開集，則對任意的x0∈X，由引理1.6可得x0＋V是X中的開集. 于是

－1（（V））＝V＋M＝（x0＋V）

是X中的開集，從而（V）∈[]M. 這說明了是開映射.

下面證明（X / M，[]M）是擬拓撲線性空間.

固定x0∈X / M，對任意的∈X / M，設V是x0＋x的任意鄰域，由的連續性，則－1（V）是x0＋x在X中的鄰域. 再由（X，）的加法是分離變量連續的，因而存在x在X中的鄰域U，使得x0＋U？奐－1（V）. 進而有

（x0＋U）＝x0＋（U）？奐（－1（V））＝V.

又由是開映射且x∈U，可得（U）是的鄰域. 這說明了（X / M，[]M）的加法是分離變量連續的.

對任意的∈R，∈X / M，設W是x在X / M的任意鄰域. 由是連續映射可知，－1（W）是x在X的鄰域. 又由X中數乘是連續的，則存在在標量域R的鄰域V和x在X的鄰域Ux使得V·Ux？奐－1（W）. 所以有（V·Ux）？奐W. 由（V·Ux）＝V·（Ux），則V·（Ux）？奐W. 其中由是開映射，可得（Ux）是的鄰域. 這說明了（X / M，[]M）的數乘是連續的.

注2.1" 特別地，如果M是擬拓撲向量空間X的閉子空間，則（X / M，[]M）是T1的.

事實上，對任意的∈X / M，＝x＋M，且－1（）＝x＋M，由M是X中的閉集，從而x＋M是X中的閉集，于是{x}是X / M中的閉集.

進一步有下面定理：

定理2.6" 設X，Y是向量空間，Y是Y上的拓撲. f ： X → Y是線性滿射. 令

X＝{ f－1（V） ： V∈Y }.

則X是X上的拓撲，且（X，X）是擬拓撲向量空間的充分必要條件是（Y，Y）是擬拓撲向量空間.

證明" 顯然，X是X上的拓撲.

首先證明必要性：假設（X，X）是擬拓撲向量空間. 對于f ： X → Y，規定X中的等價關系～f為：對任意的x，x′∈X，若f （x）＝f （x′），則x～f x′. 即，由子空間

M＝{x∈X ： f （x）＝0}

導出的X上的等價關系. 由定理2.5可知（X / M，[X]M）是擬拓撲向量空間. 進一步，由X和M的定義知，映射[x]M "f （x）建立了空間（X / M，[X]M）與（Y，Y）的同胚和同構. 容易觀察到，擬拓撲向量空間在同胚且同構的映射下保持. 因此（Y，Y）也是擬拓撲向量空間.

接下來證明充分性：假設（Y，Y）是擬拓撲向量空間. 固定x0∈X，對任意的x∈X，設Ux0＋x是x0＋x在X中的鄰域，由X的定義可知，存在Y中的開集W，使得Ux0＋x＝f－1（W）. 所以f （x0＋x）＝f （x0）＋f （x）∈W. 由假設，（Y，Y）上的加法是分離變量連續的，則存在f （x）的開鄰域W '，使得f （x0）＋W′？奐W. 故f－1（W′）是x的開鄰域. 對任意的x′∈f－1（W′），有f （x0）＋f （x′）∈W. 因此x0＋x′∈f－1（W）. 這說明了（X，X）的加法是分離變量連續的.

對任意的r0∈R，x0∈X，設Vr0 x0是r0 x0在X中的鄰域，則存在Y中的開集W，使得Vr0 x0＝f－1（W）. 那么有f （r0 x0）＝r0 f （x0）∈W. 由Y上數乘的連續性可知，存在r0在R中的開鄰域Hr0及f （x0）在Y中的開鄰域W '，使得Hr0W′？奐W. 即，對任意的r∈Hr0，有rW′？奐W. 則f－1（rW′）＝rf－1（W′）？奐f－1（W）＝Vr0 x0且f－1（W′）是x的開鄰域. 這說明了（X，X）的數乘是連續的.

綜上所述，（X，X）是擬拓撲向量空間.

3 擬拓撲向量空間范疇的雙完備性

定義3.1" 令QTVS表示所有實數域R上的擬拓撲向量空間構成的范疇，定義為：

（1） 對象（Objects）：全體擬拓撲向量空間.

（2） 態射（Morphisms）：給定兩個擬拓撲向量空間X和Y，態射是從X到Y的連續線性映射，并用QTVS（X，Y）表示所有從X到Y的連續線性映射所構成的集合.

容易驗證QTVS構成一個范疇.

下面首先討論擬拓撲向量空間范疇中的乘積和等值子.

定理3.2" 設{Xs ： s∈S}是QTVS范疇中的一族對象（其中S是任意指標集），作{Xs ： s∈S}的笛卡爾積Xs，ps ：Xs → Xs是投影，則（Xs，{ps ： s∈S}）是對象族{Xs ： s∈S}在QTVS中的乘積.

證明" 由定理2.3可知Xs賦予乘積拓撲是擬拓撲向量空間. 對任意的X∈Obj（QTVS）及{ fs∈QTVS（X，Xs） ： s∈S}，定義f ： X →Xs為

f （x）＝（ fs（x））s∈S，

對任意的x∈X. 易知fs＝ps "f且f是連續映射. 下證f是線性的. 對任意的α，β∈R，x，y∈X，有

f （αx＋βy）＝（fs（αx＋βy））s∈S

＝（α fs（x）＋β fs（y））s∈S

＝α（ fs（x））s∈S＋β（fs（y））s∈S

＝α f（x）＋β f（y）

因此f∈QTVS（X，Xs）

最后證明f是唯一的. 若存在g＝（gs）s∈S∈QTVS（X，Xs），使得fs＝ps "g，則gs＝fs. 若不然，則由ps是投影映射，得ps "g＝ps "（gs）s∈S＝gs≠fs .

所以（Xs，{ps ： s∈S}）是對象族{Xs ： s∈S}在范疇QTVS中的乘積.

定理3.3" 設A，B∈Obj（QTVS）且f，g ： A → B是一對平行態射. 令

E＝{a∈A ： f （a）＝g（a）}，

e ： E → A是嵌入映射，則（E，e）是f，g在QTVS中的等值子.

證明" 容易得到E是A的線性子空間，由定理2.1可得E賦予A的子空間拓撲也是擬拓撲向量空間，即E∈Obj（QTVS）.

（1） 對任意的a∈E，有f "e（a）＝f （a）＝g（a）＝g "e（a）. 所以f "e＝g "e成立.

（2） 設E′∈Obj（QTVS），存在態射e′∈QTVS（E′，A）滿足f "e′＝g "e′. 定義函數h ： E′→ E

為對任意的x∈E′，h（x）＝e′（x）. 由

f "h（x）＝f "e′（x）＝g "e′（x）＝g "h（x），

所以h（x）∈E. 因此h是良定義的. 又由e′（x）＝h（x）∈E，則e "h（x）＝e "e′（x）＝e′（x）. 因此e "h＝e′成立. 下證h∈QTVS（E′，E）. 由e′∈QTVS（E′，A）是連續線性映射，故對任意的x，y∈E′，r∈R（標量域）有

h（x＋y）＝e′（x＋y）＝e′（x）＋e′（y）＝h（x）＋h（y），

h（rx）＝e′（rx）＝re′（x）＝rh（x）.

即h是線性映射. 由于E？奐A，且e′ ： E′ → A是連續的，則h ： E′ → E也是連續的. 即h∈QTVS（E′，E）. 最后證明h的唯一性. 設存在h′∈QTVS（E′，E）且e "h′＝e′. 那么對任意的x∈E′，有

e "h（x）＝h（x）＝e′（x）＝e "h′（x）＝h′（x）.

這說明了h′＝h.

綜上所述，（E，e）是f，g的等值子.

定理3.4" 擬拓撲向量空間范疇QTVS是完備的.

證明" 由定理3.2和定理3.3可知，擬拓撲向量空間范疇QTVS有乘積和等值子，故由引理1.12可得QTVS是完備的.

其次討論擬拓撲向量空間范疇中的余積和余等值子. 我們需要一個純拓撲的結論.

命題3.5" 設X是拓撲空間，Y是集合，Λ是Y上一些拓撲構成的非空族. 如果對任意的∈Λ，f ： X → （Y，）連續，則f ： X → （Y，Λ）連續，這里Λ表示族Λ在Y上所有拓撲所構成的偏序集中的上確界.

證明" 注意到∪是Λ的子基. 則對（Y，Λ）中的任意開集U，存在∈Λ，使得U∈. 故由f ： X → （Y，）連續可知，f－1（U）是X中的開集. 故f ： X → （Y，Λ）連續.

推論3.6" 設X是拓撲空間，Λ是X上一些拓撲構成的非空族，滿足對任意的∈Λ，（X，）是擬拓撲向量空間，則（X，Λ）也是擬拓撲向量空間.

證明" 由于對任意的∈Λ，（X，）是擬拓撲向量空間. 故對任意的x0∈X，加法運算f ： （X，） → （X，）為對任意的x∈X，f （x）＝x＋x0是連續的. 顯然有f ： （X，Λ） → （X，）是連續的. 故由命題3.5可得，f ： （X，Λ） → （X，Λ）是連續的. 類似地，可證（X，Λ）的數乘是連續的. 因此（X，Λ）也是擬拓撲向量空間.

定義3.7" 對QTVS范疇中的任意一族對象{Xs ： s∈S}定義

Xs＝{x＝（xs）s∈S ： x∈Xs，且除有限多個s∈S外，xs＝0}，

顯然Xs是線性空間. 對任意的s∈S，自然地定義嵌入映射qs ： Xs →Xs為對任意的xs∈Xs，及任意的s′∈S，

qs（xs）（s′）＝xs s＝s′，0 s≠s′.

定理3.8" 設Z∈Obj（QTVS）且對任意的s∈S，fs∈QTVS（Xs，Z），令f ：Xs → Z為對任意的x∈Xs，f （x）＝fs（xs）. 令Z0＝f （Xs），且在Z0上賦予Z的子空間拓撲，同時令

＝{ f－1（W） ： W是Z0中的開集}，

則（Xs，）是擬拓撲向量空間且qs ： Xs → （Xs，）是連續的線性映射.

證明" 由定理2.1可知，Z0∈Obj（QTVS）. 且顯然f是連續線性的. 結合定理2.6可得，（Xs，）是擬拓撲向量空間.

顯然，qs ： Xs → （Xs，）是線性映射，最后，我們驗證其也是連續的. 對任意的s∈S，容易驗證fs（Xs）？奐Z0且fs＝f "qs. 對（Xs，）中的任意開集U，存在Z0中的開集W，使得U＝f－1（W） . 則

q－1s"""""""" （U）＝q－1s"""""""" （f－1（W））＝（f "qs）－1（W）＝f －1s"""""""" （W）.

由fs是連續的，所以有q－1s"""""""" （U）是Xs中的開集. 故qs ： Xs → （Xs，）是連續的.

上述定理中的拓撲的定義與{ fs ： Xs → Z ： s∈S}的選擇有關. 令Λ為所有{ fs ： Xs → Z ： s∈S}對應的拓撲構成的集族. 則可以得到下面定理.

定理3.9" 設{Xs ： s∈S}是QTVS范疇中的一族對象，其中S是任意指標集，則（Xs，Λ）是擬拓撲向量空間，且（（Xs，Λ），{qs ： s∈S}）是對象族{Xs ： s∈S}在QTVS中的余積.

證明" 由定理3.8，對任意的∈Λ，有（Xs，）是擬拓撲向量空間. 則由推論3.6可得，（Xs，Λ）也是擬拓撲向量空間.

利用定理3.8和命題3.5知qs ： Xs → （Xs，Λ）是連續的線性映射.

最后，對任意的Z∈Obj（QTVS）及{ fs∈QTVS（Xs，Z） ： s∈S}，由定理3.8，其生成一個拓撲∈Λ. 那么f ： （Xs，） → Z是連續線性的，從而f ： （Xs，Λ） → Z也是連續線性的. 顯然f是唯一的.

所以（（Xs，Λ），{qs ： s∈S}）是對象族{Xs ： s∈S}在QTVS中的余積.

定理3.10" 設A，B∈Obj（QTVS）且f，g ： A → B是一對平行態射. 令E是由集合

{ f （a）－g（a） ： a∈A}

生成的B的子空間，商映射q ： B → B / E為對任意的b∈B，q（b）＝[b]，則（E，q）是f，g在QTVS中的余等值子.

證明" 容易得到E∈Obj（QTVS），q∈QTVS（B，B / E）.

（1） 對任意的a∈A，有q "f （a）＝[ f （a）]＝[g（a）]＝q "g（a）. 因此q "f ＝q "g成立.

（2） 設D∈Obj（QTVS），態射h∈QTVS（B，D）滿足h "f ＝h "g. 定義函數u ： B / E → D為u（[b]）＝h（b）. 現在我們證明u是良定義的. 根據E的定義，若b＝f （a），b′＝g（a），由h "f ＝h "g，則b～b′. 因此u是良定義的. 且對任意的b∈B，有u "q （b）＝u（[b]）＝h（b），所以有u "q＝h. 顯然u∈QTVS（B / E，D）. 最后證明u的唯一性. 設存在u′∈QTVS（B /E， D）且u′ "q＝h. 那么對任意的b∈B，有

u "q （b）＝u（[b]）＝h（b）＝u′ "q（b）＝u′（[b]）.

這說明了u′＝u.

綜上所述，（B / E，q）是f，g的余等值子.

定理3.11" 擬拓撲向量空間范疇QTVS是余完備的.

定理3.12" 由定理3.9和定理3.10可知，擬拓撲向量空間范疇QTVS有余積和余等值子，故由引理1.13可得QTVS是余完備的.

定理3.13" 擬拓撲向量空間范疇QTVS是完備的且是余完備的，即QTVS是雙完備的.

致謝：唐忠寶博士和鄭秋楠同學為此文提出了寶貴的意見，特此感謝！

參考文獻

[1]" BURGIN M. Semitopological vector spaces and hyperseminorms[J]. Theory and Applications of MathematicsComputer Science，2013，3（2）：1-35.

[2]" SOURIAU J M. Groupesdifférentiels[M]. Berlin：Springer，Lecture Notes in Math，1980.

[3]" IGLESIAS-ZEMMOUR P. Diffeology[M]. America：American Mathematical Society，2013.

[4]" WU E，YANG Z. Topology on diffeological vector spaces[EB/OL]. [2024-04-19]. http：//arXiv： 2205.09562v1.

[5]" YANG Z，HU Z. Quasitopological vector spaces[J]. Topology and its Applications，2024：108860.

[6]" 詹妍，趙浩. Diffeological空間范疇中光滑映射的分解[J]. 數學雜志，2021，41（3）：237-246.

[7]" 賀偉. 范疇論[M]. 北京：科學出版社，2006.

[8]" 王兵山，毛曉光，劉萬偉. 高級范疇論[M]. 北京：清華大學出版社，2012.

[9]" 李丹陽，湯建鋼. Riesz模范疇的完備性和余完備性[J]. 新疆師范大學學報（自然科學版），2024，43（1）：13-21.

[10]" 劉培德. 拓撲線性空間與算子譜理論[M]. 北京：高等教育出版社，2013.

[11]" KELLY J L，NAMIOKA I，DONOGHUE W F，et al. Linear topological spaces[M]. Berlin：Springer

Berlin Heidelberg，1963.

Operations of Quasi-topological Vector Spaces and

the Bicompleteness of Their Category

YANG Zhongqiang， FANG Yajing

（School of Mathematics and Statistics， Minnan Normal University， Zhangzhou 363000， Fujian， China）

Abstract" On the background of diffeological vector spaces endowed with D-topology， YANG Zhongqiang and HU Zeying defined quasi-topological vector spaces， which is a vector space with a topology satisfying the conditions that the vector addition is separately continuous and the scalar multiplication is continuous. The subspaces， product spaces， and quotient spaces of quasi-topological vector spaces are studied in this paper and the definition of the category of quasi-topological vector spaces is given. Moreover， it is proved that this category is bicomplete.

Keywords" Quasi-topological vector spaces; subspace; product space; quotient space; category; completeness; co-completeness