預(yù)不變凸函數(shù)的q-Hermite-Hadamard型不等式和廣義的q-Iyengar型不等式

摘 要 研究量子積分的Hermite-Hadamard型不等式和Iyengar型不等式，首先建立帶有一個(gè)參數(shù)的量子積分恒等式，然后用引入?yún)?shù)求最值的方法，建立了量子積分的廣義的Iyengar型不等式；在一階量子導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值是預(yù)不變凸函數(shù)的情形下，建立了量子積分的Hermite-Hadamard型不等式.

關(guān)鍵詞 Iyengar型不等式；Hermite-Hadamard型不等式；量子積分；預(yù)不變凸函數(shù)

中圖分類(lèi)號(hào) O178" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

1 引 言

1988年，Weir和Jeyakumar[1]引入了不變凸集的概念，Weir和Mond[2]引入了預(yù)不變凸函數(shù)的概念. 1995年，Mohan和Neogy[3]給出不變凸集的條件C，并且證明了不變凸集上的可微的不變凸函數(shù)[4]如果滿(mǎn)足條件C則一定是預(yù)不變的. 2014年，楊新民[5]證明了如果η ： Rn×Rn → Rn滿(mǎn)足條件C，則對(duì)于任意x，y∈Rn和任意1，2∈[0，1]，有η（y＋1η（x，y），y＋2η（x，y））＝（1－2）η（x，y）. Noor[6]給出預(yù)不變凸函數(shù)的Hermite-Hadamard型不等式. 關(guān)于預(yù)不變凸函數(shù)的Hermite-Hadamard型不等式的更多結(jié)果可見(jiàn)文獻(xiàn)[6-12]及其引證.

2013年，Tariboon和Ntouyas[13-14]引入了任意區(qū)間[a，b]上的q導(dǎo)數(shù)和q積分的概念. 2020年，Bermudo[15]引入了任意區(qū)間[a，b]上的qb導(dǎo)數(shù)和qb積分的概念. 2021年，Sitho等[16]建立了預(yù)不變凸函數(shù)的q-Hermite-Hadamard型不等式和qb-Hermite-Hadamard型不等式，還給出關(guān)于生成的差的積分恒等式. 一些文獻(xiàn)如[17-20]及其引證，都是通過(guò)建立積分恒等式來(lái)獲得預(yù)不變凸函數(shù)不等式. 本文也遵循這種方法，建立新的涉及q積分和qb積分的Hermite-Hadamard型不等式. 本文還給出Iyengar不等式[21]在q積分和qb積分中的推廣. 有關(guān)量子積分的Iyengar型不等式的結(jié)果可見(jiàn)文獻(xiàn)[22-24].

2 預(yù)備知識(shí)和引理

定義1[1]" 設(shè)η ： Rn×Rn → Rn，A？哿Rn，如果對(duì)于任意x，y∈A和任意∈[0，1]，有y＋η（x，y）∈A，則稱(chēng)A是關(guān)于η的不變凸集.

定義2[2]" 設(shè)A？哿Rn是關(guān)于η ： Rn×Rn → Rn的不變凸集，f ： A → R，如果對(duì)于任意x，y∈A和任意∈[0，1]，有f （y＋η（x，y））≤f （x）＋（1－）f （y），則稱(chēng)f是關(guān)于η的預(yù)不變凸函數(shù).

定義3[13-14]" 設(shè)f是[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，則f在點(diǎn)x∈（a，b]處的q導(dǎo)數(shù)定義為

aDq f （x）＝.

如果aDq f （x）存在，則f在點(diǎn)x＝a處的q導(dǎo)數(shù)定義為aDq f （a）＝aDq f （x）.

如果f在[a，b]上每個(gè)點(diǎn)處的q導(dǎo)數(shù)都存在，則稱(chēng)f是[a，b]上的q可微函數(shù).

定義4[13-14]" 設(shè)f是[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，t∈[a，b]，則f在[a，t]上的q積分定義為

f （s）a d q s＝（1－q）（t－a）qn f （qnt＋（1－qn ）a）.

設(shè)c∈（a，t），則定義

f （s）a d q s＝ f （s）a d q s－ f （s）a d q s＝

（1－q）（t－a）qn f （qnt＋（1－qn ）a）－（1－q）（c－a）qn f （qnc＋（1－qn ）a）.

q積分有類(lèi)似于經(jīng)典積分的分部積分公式[13]. 設(shè)f，g 在[a，b]上q可微，則有

f （t）aDq g（t）a d q t＝（f g）ba－g（qt＋（1－q）a）aDq f （t）a d q t.

這里蘊(yùn)含著g（b）－g（a）＝Dq g（t）a d q t.

定義5[15]" 設(shè)f是[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，則f在點(diǎn)x∈[a，b）處的qb導(dǎo)數(shù)定義為

bDq f （x）＝.

如果bDq f （x）存在，則定義bDq f （b）＝bDq f （x）.

如果f在[a，b]上每個(gè)點(diǎn)處的qb導(dǎo)數(shù)都存在，則稱(chēng)f是[a，b]上的qb可微函數(shù).

定義6[15]" 設(shè)f是[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，則f在[a，b]上的qb積分定義為

f （s）b d q s＝（1－q）（b－a）qn f （qna＋（1－qn ）b）.

對(duì)于[a，b]上qb可微函數(shù)f，g，有qb積分的分部積分公式

f （t）bDq g（t）b d q t＝（f g）xa－g（qt＋（1－q）b）bDq f （t）b d q t.

下面的引理1是文[24]引理5的簡(jiǎn)單推廣.

引理1" 設(shè)[a，b]是關(guān)于η的不變凸集，η（a，b）＜0，η（b，a）＞0，f是[a，b]上的q可微函數(shù)和qb可微函數(shù)，則對(duì)任意∈[0，1]有

（qt－）a" Dq fa＋η（b，a）0 dq t－（－qt）bDq fb＋η（a，b）0 dq t＝

fa＋η（b，a）＋ fb＋η（a，b）＋－

f （t）a d q t＋f （t）b d q t＝： I.（1）

證明" 利用分部積分法得

η（b，a）（qt－）a Dq fa＋η（b，a）0 dq t＝2（qt－）0" Dq fa＋η（b，a）0 dq t＝

2（q－） fa＋η（b，a）＋ f （a）－q fa＋η（b，a）0 dq t＝

2（q－） fa＋η（b，a）＋ f （a）－qf （t）a d q t－ fa＋η（b，a）＝

2（1－） fa＋η（b，a）＋ f （a）－f （t）a d q t，（2）

η（a，b）（－qt）bDq fb＋η（a，b）0 dq t＝2（－qt）0" Dq fb＋η（a，b）0 dq t＝

2（－q） fb＋η（a，b）－ f （b）＋q fb＋η（a，b）0 dq t＝

2（－q） fb＋η（a，b）－ f （b）－qf （t）bd q t＋ fb＋η（a，b）＝

－2（1－） fb＋η（a，b）＋ f （b）＋f （t）bd q t，（3）

將式（2）與式（3）相減則式（1）得證.

利用量子積分的分部積分法還可證下面的引理2和引理3.

引理2" 設(shè)[a，b]是關(guān)于η的不變凸集，η（b，a）＞0，f是[a，a＋η（b，a）]上的q可微函數(shù)，則對(duì)任意∈[0，1]有

J ：＝（1－q）f （a＋η（b，a））＋qf （a）－f （t）a dq t＝

qη（b，a）（t－）a Dq f （a＋tη（b，a））0 dq t.

注1" 若在引理2中取＝，則得到文獻(xiàn)[25]的引理3.6.

引理3" 設(shè)[a，b]是關(guān)于η的不變凸集，η（a，b）＜0，f是[b＋η（a，b），b]上的qb可微函數(shù)，則對(duì)任意∈[0，1]有

K ：＝（1－q）f （b＋η（a，b））＋qf （b）＋ f （t）bdq t＝

qη（a，b）（t－）bDq f （b＋tη（a，b））0 dq t.

注2" 當(dāng)η（b，a） ＝ － η（a，b）＞0時(shí)，若在引理3中取＝，則得到文獻(xiàn)[16]的引理2.

在本文中，記＝a Dq f （t），＝bDq f （t），＝ f ′（t）.

3 主要結(jié)果

定理1" 設(shè)條件同引理1，則對(duì)任意∈[0，1]有

－q2－q（1＋q）＋2（1＋q－q2）2－2（1＋q－q2）－1＋2≤

I≤q2－q（1＋q）＋2（1＋q－q2）2－2（1＋q－q2）－1－2，（4）

其中

H＝a Dq fa＋η（b，a）0 dq t＋bDq fb＋η（a，b）0 dq t＝

fa＋η（b，a）＋ fa＋η（a，b）－f （a）－ f （b），

σ＝η（b，a）.

證明" 利用引理1，對(duì)任意常數(shù)ε∈[－，q－]，有

I＝（qt－－ε）a Dq fa＋η（b，a）0 dq t－

（＋ε－qt）bDq fb＋η（a，b）0 dq t＋εH≤σqt－－ε0 dq t＋εH.（5）

令N＝logq，則＋ε≤qN＋1＜，由定義有

qt－－ε0 dq t＝qnqn＋1－－ε＝（1－q）qn（qn＋1－－ε）＋qn（＋ε－qn＋1）＝

－（＋ε）＋2（＋ε）qN＋1－q2（ N＋1 ）≤－（＋ε）＋－（＋ε）2，（6）

綜合式（5）和式（6）得

I≤σ－＋2＋（ε－ε0）2－－1－2，（7）

其中ε0＝1－－. 因?yàn)镠≤σ，所以有≤ε0≤－≤q－.在式（7）中取ε＝ε0，則式（4）的右邊不等式得證. 對(duì)（－f）使用已證結(jié)果則式（4）的左邊不等式得證.

推論1" 設(shè)f是[a，b]上的q可微函數(shù)和qb可微函數(shù)，則有對(duì)任意∈[0，1]有

－q2－q（1＋q）＋2（1＋q－q2）2－2（1＋q－q2）－1＋2≤

（1－）f＋－ f （t）a dq t＋ f （t）bdq t≤

q2－q（1＋q）＋2（1＋q－q2）2－2（1＋q－q2）－1－2，

其中L＝f－，＝（＋）.

證明" 在定理1中取η（x，y）＝x－y即可得證.

推論2" 設(shè)[a，b]是關(guān)于η的不變凸集，η（a，b）＜0，η（b，a）＞0，f在[a，b]上可微且＜∞，則對(duì)任意∈[0，1]有

1－2＋22－1－2≤

fa＋η（b，a）＋ fb＋η（a，b）＋－

f （t）dt＋f （t）dt≤

1－2＋22－1＋2，

其中H＝ fa＋η（b，a）＋ fa＋η（a，b）－f （a）－ f （b）.

證明" 在定理1中令q → 1即可得證.

定理2" 設(shè)[a，b]是關(guān)于η的不變凸集，η（a，b）＜0，η（b，a）＞0，f是[a，b]上的q可微函數(shù)和qb可微函數(shù)，∈[0，1]. 若a Dq f和bDq f是[a，b]上的關(guān)于η的預(yù)不變凸函數(shù)，則

當(dāng)＜q時(shí)，有

I≤η（b，a）a Dq f （b）－η（a，b）bDq f （a）－＋3＋

η（b，a）a Dq f （a）－η（a，b）bDq f （b）－（1＋2q）＋2－3；（8）

當(dāng)≥q時(shí)，有

I≤η（b，a）a Dq f （b）－η（a，b）bDq f （a）－＋

η（b，a）a Dq f （a）－η（a，b）bDq f （b）（1＋2q）－. （9）

證明" 利用引理1及a Dq f和bDq f的預(yù)不變凸性得

I≤qt－a Dq fa＋η（b，a）0 dq t－－qtbDq fb＋η（a，b）0 dq t≤

qt－a Dq f （b）＋1－a Dq f （a）0 dq t－

－qtbDq f （a）＋1－bDq f （b）0 dq t＝

η（b，a）a Dq f （b）－η（a，b）bDq f （a）t－t0 dq t＋

η（b，a）a Dq f （a）－η（a，b）bDq f （b）t－（2－t）0 dq t.（10）

當(dāng)＜q時(shí)，令N＝logq，則≤qN＋1＜，則由定義有

t－t0 dq t＝（1－q）q2nqn－＝（1－q）q2nqn－＋q2n－qn＝

－＋2φ（qN＋1），（11）

其中

φ（qN＋1）＝－＝4（1＋q＋q2）2··－≤

4（1＋q＋q2）2·3＝，（12）

t－（2－t）0 dq t＝（1－q）qnqn－（2－qn）＋q2n－qn（2－qn）＝

－＋2Ψ（qN＋1），

其中Ψ（x）＝＋－2＋x2，x∈0，. 注意到0 DqΨ（x）＝－x（2－x）是非負(fù)的單調(diào)減少函數(shù)，所以有

Ψ（qN＋1）＝Ψ（0）＋0 DqΨ（x）0 dq x＝（1－q）qN＋1qn0 DqΨ（qN＋1qn）≤

（1－q）qn0 DqΨ（qn）＝0 DqΨ（x）0 dq x＝2－. （13）

綜合式（10）～（13）則式（8）得證.

當(dāng)≥q時(shí)，有

t－t0 dq t＝t－t20 dq t＝－，（14）

t－（2－t）0 dq t＝－2＋ t＋t20 dq t＝－，（15）

綜合式（10），（14）～（15）則式（9）得證.

推論3" 設(shè)[a，b]是關(guān)于η的不變凸集，η（a，b）＜0，η（b，a）＞0，f是[a，b]上的可微函數(shù). 若 f ′是[a，b]上的關(guān)于η的預(yù)不變凸函數(shù)，則對(duì)任意∈[0，1]有

fa＋η（b，a）＋fb＋η（a，b）＋－

f （t）dt＋f （t）dt≤

（2－3＋23）η（b，a） f ′（b）－η（a，b） f ′（a）＋

（4－9＋122－23）η（b，a） f ′（a）－η（a，b） f ′（b）.

證明" 在定理2中令q → 1即可得證.

利用引理2、引理3和類(lèi)似于定理1、定理2的方法可證下面的定理3至定理6.

定理3" 設(shè)條件同引理2，則對(duì)任意∈[0，1]有

－qη（b，a）－＋2－1＋－2≤

J≤qη（b，a）－＋2－1－－2，

其中S1＝.

注3" 如果η（x，y）＝x－y，則由定理3得到文獻(xiàn)[22]的定理2. 在定理3中如果取 ＝則得到Iyengar不等式在q積分中的推廣.

定理4" 設(shè)[a，b]是關(guān)于η的不變凸集，η（b，a）＞0，f是[a，b]上的q可微函數(shù). 若a Dq f是[a，b]上的關(guān)于η的預(yù)不變凸函數(shù)，則對(duì)任意∈[0，1]有

J≤－＋3a Dq f （b）＋

－q＋22－3a Dq f （a）.

推論4" 設(shè)條件同定理4，則

－f （t）a dq t≤

q＋a Dq f （b）＋q＋a Dq f （a）.

定理5" 設(shè)條件同引理3，則對(duì)任意∈[0，1]有

qη（a，b）－＋2－1＋－2≤

K≤－ qη（a，b）－＋2－1－－2，

其中S2＝.

注4" 如果η（x，y）＝x－y，則由定理5得到文獻(xiàn)[22]的定理3. 在定理5中取 ＝則得到Iyengar不等式在qb積分中的推廣.

定理6" 設(shè)[a，b]是關(guān)于η的不變凸集，η（a，b）＜0，f是[a，b]上的qb可微函數(shù). 若bDq f是[a，b]上關(guān)于η的預(yù)不變凸函數(shù)，則對(duì)任意∈[0，1]有

K≤－ －＋3bDq f （a）＋

－q＋22－3bDq f （b）.

推論5 設(shè)條件同定理6，則

＋ f （t）b dq t≤

－q＋bDq f （a）＋q＋bDq f （b）.

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q-Hermite-Hadamard Type Inequalities for Preinvex

Functions and Generalized q-Iyengar Type Inequalities

SHI Tongye1， ZENG Zhihong2， CAO Junfei3

（1. PLA Naval Command College， Nanjing 211800， Jiangsu， China;

2. Editorial Department of Journal， Guangdong University of Education， Guangzhou 510303，Guangdong， China;

3. School of Mathematics， Guangdong University of Education， Guangzhou 510303， Guangdong， China）

Abstract" Hermite-Hadamard type inequality and Iyengar type inequality are studied for quantum integrals. Quantum integral identities with one parameter are established. The quantum integral identities and the method of introducing parameter are used to find the optimal value. Generalized Iyengar type inequalities for quantum integrals are derived. In the case where the absolute values of the first-order quantum derivatives are preinvex function， Hermite-Hadamard type inequalities for quantum integrals are established.

Keywords" Iyengar type inequality; Hermite-Hadamard type inequality; quantum integral; preinvex function