從九省聯考第11題談抽象函數教學策略

［摘 要］抽象函數是高中數學函數知識中的一條重要分支，也是高考的重點考查內容，解決有關抽象函數的問題需要具備數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算等數學學科核心素養。對于抽象函數問題，學生常常感到無從下手，文章針對學生的解題難點，從2024年九省聯考數學試題第11題入手，從教材處理、性質總結、解法歸納等角度探討抽象函數的教學策略。

［關鍵詞］九省聯考；抽象函數；教學策略

［中圖分類號］" " G633.6" " " " ［文獻標識碼］" " A" " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2024）17-0001-03

2024年1月舉行的九省聯考，對往后的高考備考產生了巨大的影響。在九省聯考中，數學試題的結構和賦分發生了巨大的變化，試題內容的設置與考法和以往相比也有很大的不同，雖然以往容易的題更為簡單，但難題更難了，如解答題最后一題涉及費馬小定理與初等數論。第11題為多選題的壓軸題，考查內容為抽象函數，很多考生無從下手，這道題設置巧妙、返璞歸真，著重考查了學生的數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算等數學學科核心素養。

一、真題呈現

［題1］（2024年九省聯考數學試題第11題）已知函數[f（x）]的定義域為[R]，若[f（x+y）+f（x）f（y）=4xy]，且[f12≠0]，則（ ）。

A. [f-12=0]

B. [f12=-2]

C.函數[fx-12]是偶函數

D. 函數[fx+12]是減函數

方法1：賦值法

解：令[x=12]，[y=0]，則有[f12+f12·f（0）=f121+f（0）=0]，又[f12≠0]，故[f（0）=-1]；

令[x=12]，[y=-12]，則有[f12-12+f12f-12=4×12×-12]，即[f（0）+f12f-12=-1]，由[f（0）=-1]，可得[f12f-12=0]，又[f12≠0]，故[f-12=0]；

令[y=-12]，則有[fx-12+fxf-12=4x×-12]，即[fx-12=-2x]，故函數[fx-12]是奇函數。

有[fx+1-12=-2（x+1）=-2x-2]， 即[fx+12=-2x-2]，∴函數[fx+12]為減函數，由[fx-12=-2x]，令[x=1]，有[f12=-2×1=-2]。故選項ABD正確。

解后反思：本題避開了抽象函數試題中常見的奇偶性、周期性問題，返璞歸真地考查了學生對函數符號語言的理解。由A、B兩個選項可聯想到本題的關鍵解法——賦值法，令[x=12]，[y=0]，代入題目所給的抽象函數關系式中，結合題意可得[f（0）=-1]，由此打開解題突破口。

方法2：構造函數法

解：由[f（x+y）+f（x）f（y）=4xy]可知[f（x）]解析式中應該沒有指數、對數以及三角函數的結構，那么[f（x）]應該是多項式，再由[f（x）f（y）]以及[4xy]可猜想[f（x）]應該是一次函數。

設[f（x）=kx+b]，由[f（x+y）+f（x）f（y）=4xy?] [k（x+y）+b+（kx+b）（ky+b）=4xy]，整理得[k2xy+（kb+k）（x+y）+b2+b=4xy?k2=4]，[kb+k=0]，[b2+b=0]，

由[b2+b=0?b=0]或[b=-1]，

當[b=0]時，由[kb+k=0?k=0]，則[f（x）=0]，與條件[f12≠0]矛盾，則[b=-1]，[k=±2]，當[k=2]時，[f（x）=2x-1]，則[f12=0]，與條件[f12≠0]矛盾，∴[b=-1]，[k=-2]，即[f（x）=-2x-1]，由此可判斷選項ABD正確。

解后反思：觀察題目所給抽象函數的條件關系可知，由于存在[4xy]， 函數[f（x）]基本上就只能為多項式函數，其他的函數形式很難出現這樣的項。同時，關系式的左側有[f（x）f（y）]，顯然這個多項式函數應該是一次的，否則等號左右變量的次數就不一致了。基于以上原因，我們可以利用待定系數法求函數的解析式，然后再進一步分析問題。

二、教學策略

學生之所以感覺抽象函數問題難，主要是因為對函數性質不熟，邏輯推理能力不強，解題策略匱乏，等等。針對這些問題，我們在教學中應采取有效的教學策略。

（一）追根溯源，用好教材

不論是舊教材還是新教材，函數始終是高中數學的核心內容，而抽象函數是學生學習函數知識的一條重要主線。教材中雖然沒有明確提出抽象函數的概念，但會使用抽象函數對定義進行敘述或在課后習題中出現與抽象函數相關的問題。

新人教A版高中數學必修第一冊函數的部分內容如下：

1.（第77頁）一般地，設函數[f（x）]的定義域為[D]，區間[I?D]：如果[? x1]，[x2∈I]，當[x1lt;x2]時，都有[f（x1）lt;f（x2）]，那么就稱函數[f（x）]在區間[I]上單調遞增[1]。

2.（第81頁練習2）設函數[f（x）]的定義域為[-6，11]，如果[f（x）]在區間[-6，-2]上單調遞減，在區間[-2，11]上單調遞增，畫出[f（x）]的一個大致的圖象，從圖象上可以發現[f（-2）]是函數[f（x）]的一個" " " " " " " [2]。

3.（第87頁習題13節選） 我們知道，函數[y=fx]的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數[y=f（x）]為奇函數，有同學發現可以將其推廣為：函數[y=f（x）]的圖象關于點[P（a，b）]成中心對稱圖形的充要條件是函數[y=f（x+a）-b]為奇函數。（2）類比上述結論，寫出“函數[y=f（x）]的圖象關于[y]軸成軸對稱圖形的充要條件是函數[y=f（x）]為偶函數”的一個推廣結論[3]。

教師對這一部分內容應該給予足夠重視，用以深化學生對抽象函數的理解。首先，在介紹抽象函數之前，確保學生對函數的基本概念有充分的理解，包括函數的定義、表示方法（如表達式、圖象等）、性質和分類，讓學生通過復習和鞏固這些函數基礎知識，為理解抽象函數打下堅實的基礎。其次，借助實際問題來引入抽象函數的概念，幫助學生理解抽象函數的應用價值和意義。教師可選擇一些生活中的例子，如溫度與時間的關系、汽車行駛距離與油耗的關系等，引導學生從中抽象出函數模型，理解函數的本質是研究變量之間的關系。

在教學中，教師還應該強調抽象函數的符號語言（如[f（x）]、[g（x）] 等），讓學生明白這些符號代表的是一種對應關系，而不是具體的數值。教師可列舉具體的函數例子（如一次函數、二次函數等）來幫助學生理解抽象函數的概念，使學生通過比較了解抽象函數與具體函數的共同點與不同點，逐步建立起對抽象函數的認知框架。

在答題訓練中，教師可以設計一些開放性問題，引導學生通過探究式學習來深入理解抽象函數的本質、探索抽象函數的性質。通過引導學生探索抽象函數的性質，如周期性、奇偶性、單調性等，培養學生的邏輯思維能力和推理能力。

（二）及時總結常用性質、結論

函數的很多性質都是運用抽象函數進行表達的，例如：

1.軸對稱

（1）函數[y=f（x）]關于直線[x=a]對稱[?f（x+a）=f（a-x）?f（x）=f（2a-x）?f（-x）=f（2a+x）]

（2）函數[y=f（x）]關于直線[x=a+b2]對稱[?f（x+a）=f（b-x）?f（a-x）=f（x+b）]

2.中心對稱

（1）函數[y=f（x）]關于點[（a，0）]對稱[?f（x）=-f（2a-x）?f（x+a）=-f（a-x）]

（2）函數[y=f（x）]關于點[（a，b）]對稱[?f（-x）+f（2a+x）=2b]

3.函數的奇偶性和對稱性的關系

（1）若[f（x+a）]為奇函數，則[f（x）]關于[（a，0）]對稱

（2）若[f（x+a）]為偶函數，則[f（x）]關于[x=a]對稱

（3）若[f（ωx+φ）]為奇函數，則[f（x）]關于[（φ，0）]對稱

（4）若[f（ωx+φ）]為偶函數，則[f（x）]關于[x=φ]對稱

這些性質能幫助學生更加清晰地認識到問題的本質，從而明確解題的方向，有條理地分析問題，高效地完成計算。通過不斷的練習和總結，學生逐漸掌握抽象函數問題的解題方法和技巧，形成自己的數學思維模式。這種思維模式不僅有助于學生解決當前的抽象函數問題，還可以為學生未來學習和應用更高級的數學概念打下堅實的基礎。

在教學中，教師應當及時給學生總結這些性質，并通過舉例、類比等方式，讓學生在獲得直觀感受的同時，建立起完整的函數知識體系。在教學這些函數的性質時，教師應該清晰、系統地講解每一個性質，并注重講解函數性質之間的內在聯系，確保學生能夠全面、準確地理解函數的性質。教師還可以通過設計具體的練習題、進行案例分析等方式，讓學生在實踐中加深對函數性質的理解。同時，教師要鼓勵學生主動探索和創新，發現新的應用場景和解題方法，激發學生的創新精神和探索欲望。

（三）及時歸納主要解題方法

1.賦值法

賦值法是研究函數問題的常見方法，也是處理抽象函數問題的重要方法。賦值法可以幫助學生簡化問題、找出規律、驗證性質和確定函數形式，能起到“投石問路”“撥云見日”的作用。常見的賦值法應用題型如下：

（1）“賦值法”求抽象函數的值

技巧：根據題目的具體情況，合理、巧妙地對某些變量賦予確定的特殊值（如0，1，-1），從而使問題得到簡捷有效的解決[4]。

［題2］已知函數[f（x）]對任意[x，y∈R]都有[f（x+y）=f（x）+f（y）]成立，且[f（2）=4]，則[f（-1）=]（ ）。

A. [-2] B. 1 C. [12] D. 2

解：令[x=y=0]，則有[f（0+0）=f（0）+f（0）]，即[f（0）=0]；令[x=y=1]，則有[f（1）+f（1）=f（1+1）=f（2）=4]，即[f（1）=2]；令[x=-1]，[y=1]，則有[f（-1）+f（1）=f（-1）+1=f（0）=0]，所以[f（-1）=-2]。故選A。

（2）“賦值法”求抽象函數的解析式

技巧：求抽象函數的解析式，首先要對題設中的有關參數進行賦值，得到抽象函數解析式的某種遞推關系后，再求抽象函數的解析式[5]。

［題3］設[f（x）]是[R]上的函數，對于任意的實數[x，y]都有[f（x+y）=f（x）+y（2x+1）]，且[f（0）=1]，求[f（x）]。

解：由已知條件得[f（0）=1]，又[f（x+y）=f（x）+y（2x+1）]，令[y=-x]，則[f（x-x）=f（x）-x（2x+1）]，所以[f（x）=2x2+x+1]。

（3）“賦值法”探究抽象函數的奇偶性

技巧：判斷抽象函數的奇偶性的關鍵是得到[f（x）]與[f（-x）]的關系，解題時要對有關變量進行賦值，使其最后只保留[f（x）]與[f（-x）]的關系[6]。

［題4］設函數[f（x）]是增函數，對于任意[x，y∈R]都有[f（x+y）=f（x）+f（y）]。證明[f（x）]是奇函數。

證明：對于任意[x，y∈R]都有[f（x+y）=f（x）+f（y）]，令[x=y=0]，則[f（0）=0]；再令[y=-x]，則[f（x）+f（-x）=f（x-x）=0]，所以[f（-x）=-f（x）]，所以函數[f（x）]是奇函數。

2.構造函數模型法

抽象函數和具體函數是兩個相輔相成的概念。抽象函數強調的是函數概念的本質，具體函數是抽象函數概念的實例化，抽象函數源自對具體函數的深入理解和抽象提煉。在高中數學中，許多抽象函數往往是基于基本函數（如一次函數、二次函數等），通過抽象化處理而形成的。在面對這些抽象函數問題時，如果能夠從研究它們的“模型”開始，利用題目中給出的抽象函數性質，通過類比和猜想，推測其可能對應的具體函數類型，就能夠將抽象問題具體化，將陌生問題熟悉化。這樣，常常能幫助我們揭示抽象函數背后隱藏的重要性質，找到解題的突破口。

常見的抽象函數模型如下：

（1）若[f（x+y）=f（x）+f（y）+b]，則可構造[f（x）=kx-b]。特別地，當[f（x+y）=f（x）+f（y）]時，可構造[f（x）=kx]。

（2）若[f（x+y）=f（x）+f（y）+2axy-c]，則可構造[f（x）=ax2+bx+c]。

（3）若[f（x+y）=f（x）f（y）]，則可構造[f（x）=ax]（[agt;0]且[a≠1]）。

（4）若[f（xy）=f（x）+f（y）（xy≠0）]，則可構造[f（x）=logax]（[agt;0]且[a≠1]）。

（5）若[f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）]，則可構造[f（x）=cosωx]。

（6）若[f（x±y）=f（x）±f（y）1?f（x）f（y）]，則可構造[f（x）=tanωx]。

抽象函數的教學不能見題講題，教師應幫助學生梳理函數知識脈絡，建立函數知識體系，讓學生深刻理解函數符號的作用和意義。教師應以抽象函數為載體，回歸教材，通過強化概念教學、加強具體化訓練等幫助學生破解抽象函數問題，提升他們的數學學科核心素養。

［" "參" "考" "文" "獻" "］

[1][2][3]" 人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中教科書 數學 必修 第一冊[M].北京：人民教育出版社，2019.

[4][5][6]" 馬正清.聚焦抽象函數問題的類型與求解方法[J].中學生數理化（高一數學），2022（10）：40-41.

（責任編輯 黃春香）