應(yīng)用非一致性網(wǎng)格和高階有限元的井地電磁三維各向異性正演算法

摘要： 地下介質(zhì)通常表現(xiàn)為電各向異性，增加了井地電磁法響應(yīng)的復(fù)雜性。因此，針對(duì)各向異性介質(zhì)模型進(jìn)行正演模擬并總結(jié)規(guī)律，對(duì)于正確解釋電磁勘探的觀測(cè)數(shù)據(jù)至關(guān)重要。目前，對(duì)復(fù)雜三維地質(zhì)模型進(jìn)行精確建模是正演中的難點(diǎn)之一。本文使用一種基于八叉樹(shù)網(wǎng)格的高精度建模方法，通過(guò)將六面體單元?jiǎng)澐譃榘藗€(gè)較小的單元來(lái)局部細(xì)化網(wǎng)格，能夠使用較少數(shù)量單元的同時(shí)保證建模的精度，從而降低計(jì)算成本。此外，為提高數(shù)值解的精度，在計(jì)算時(shí)使用高階形函數(shù)。結(jié)合八叉樹(shù)網(wǎng)格和高階形函數(shù)實(shí)現(xiàn)了井地電磁法三維各向異性正演方法。通過(guò)對(duì)比各向異性層狀模型的數(shù)值解與解析解，驗(yàn)證了算法的正確性。使用八叉樹(shù)網(wǎng)格實(shí)現(xiàn)復(fù)雜各向異性油氣模型精確建模，將異常體設(shè)置不同的水平和垂直電阻率，計(jì)算結(jié)果表明垂直電阻率對(duì)響應(yīng)的影響大于水平電阻率。研究成果對(duì)實(shí)際的野外施工具有一定的指導(dǎo)作用，為進(jìn)一步進(jìn)行各向異性介質(zhì)的三維反演打下基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞： 各向異性，八叉樹(shù)，有限單元法，高階形函數(shù)

中圖分類(lèi)號(hào)：P631 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10. 13810/j. cnki. issn. 1000-7210. 2024. 06. 021

0 引言

電磁勘探技術(shù)是探測(cè)地下介質(zhì)電性結(jié)構(gòu)的有效方法之一。傳統(tǒng)的可控源電磁勘探方法通過(guò)在地面放置發(fā)射源與接收器觀測(cè)地下介質(zhì)的電磁響應(yīng)。然而，由于電磁場(chǎng)的擴(kuò)散特性，其探測(cè)分辨率隨著勘探深度的增大迅速減小[1]。井地電磁法（Borehole-tosurfaceElectromagnetic Method， BSEM） 是對(duì)傳統(tǒng)電磁勘探方法的補(bǔ)充，將發(fā)射源放置于井中，在地面接收徑向電場(chǎng)響應(yīng)。由于發(fā)射源位于地下，更接近探測(cè)目標(biāo)，井地電磁法具有較高的探測(cè)精度[2]。井地電磁法正演模擬和數(shù)據(jù)處理方面的研究已日漸成熟，該方法廣泛應(yīng)用于石油、礦產(chǎn)、地?zé)岷推渌Y源的勘探[3-4]。

三維正演算法能夠高效模擬復(fù)雜三維地質(zhì)模型的響應(yīng)，是觀測(cè)系統(tǒng)設(shè)計(jì)和數(shù)據(jù)解釋的有效工具，同時(shí)也是三維反演的基礎(chǔ)。因此，開(kāi)發(fā)高精度、高效率的三維正演模擬算法是電磁勘探領(lǐng)域的重要課題。常用的電磁正演模擬方法包括有限差分法[5-6]、有限體積法[7]和有限單元法[8-9]。其中，有限差分法難以模擬起伏地表的情況，而且需要將網(wǎng)格劃分得非常密才能得到較高精度的數(shù)值解，計(jì)算耗時(shí)長(zhǎng)。有限體積法可以模擬復(fù)雜結(jié)構(gòu)，但其實(shí)現(xiàn)對(duì)網(wǎng)格質(zhì)量要求很高[10]。相比之下，有限元方法可以使用非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格精確地模擬復(fù)雜的地質(zhì)模型，而且可以采用高階形函數(shù)提升數(shù)值解的準(zhǔn)確度。因此，有限元法被廣泛應(yīng)用于復(fù)雜模型正演模擬。

近年來(lái)，井地電磁有限元正演研究中的一個(gè)難點(diǎn)是對(duì)大型的三維復(fù)雜異常體模型進(jìn)行精確建模[11]。有限元方法最常用的網(wǎng)格類(lèi)型是四面體[12-13]和六面體[14-15]網(wǎng)格。四面體網(wǎng)格模擬復(fù)雜模型的靈活性更高，但其通常是由網(wǎng)格剖分軟件自動(dòng)生成，這使得網(wǎng)格質(zhì)量和密度難以控制。矩形六面體網(wǎng)格比較容易生成，適用于模擬復(fù)雜結(jié)構(gòu)。然而，若使用傳統(tǒng)的一致性六面體網(wǎng)格模擬空間中微小的變化，需要對(duì)整個(gè)計(jì)算區(qū)域的網(wǎng)格進(jìn)行全局細(xì)化，網(wǎng)格數(shù)量迅速增加，導(dǎo)致耗費(fèi)大量計(jì)算資源。

本文采用非一致性網(wǎng)格類(lèi)型之一的八叉樹(shù)網(wǎng)格來(lái)解決上述復(fù)雜模型建模問(wèn)題。八叉樹(shù)網(wǎng)格通過(guò)將六面體單元?jiǎng)澐譃榘藗€(gè)較小的單元來(lái)局部細(xì)化網(wǎng)格，能夠在使用較少網(wǎng)格的同時(shí)達(dá)到良好的建模效果。八叉樹(shù)網(wǎng)格已成功應(yīng)用于電磁勘探領(lǐng)域的正演[10]和反演[16]研究。然而，使用八叉樹(shù)網(wǎng)格也有一些需要解決的問(wèn)題，如樹(shù)結(jié)構(gòu)管理的復(fù)雜性問(wèn)題和懸掛節(jié)點(diǎn)問(wèn)題。另外，為了保證有限元解的連續(xù)性，還需要對(duì)懸掛節(jié)點(diǎn)施加約束條件[17]。

根據(jù)有限元理論，采用更密的網(wǎng)格或高階形函數(shù)均可以提升數(shù)值解的精度。在空氣和邊界這些電阻率均勻的區(qū)域中，數(shù)值解是光滑的。在這種情況下，使用高階形函數(shù)比使用更密的網(wǎng)格更能有效提高數(shù)值解的精度[18]。在電磁正演模擬領(lǐng)域，高階有限元法有許多成功的應(yīng)用[19-20]。

目前，井地電磁的相關(guān)研究大部分是將地層看作各向同性介質(zhì)。在具有明顯的地質(zhì)斷層和不同層理的沉積巖地區(qū)中，地下介質(zhì)通常表現(xiàn)出宏觀電導(dǎo)率各向異性[21]。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)這一現(xiàn)象已經(jīng)做出廣泛研究，基于各向異性理論的直流電法[22-23]、頻率域電磁法[24-25]和時(shí)間域電磁法[26]迅速發(fā)展，這些研究都證明各向異性地層介質(zhì)對(duì)電磁響應(yīng)存在明顯影響。

本文開(kāi)發(fā)了一種結(jié)合八叉樹(shù)網(wǎng)格和高階有限元的高精度井地電磁各向異性正演模擬算法。采用八叉樹(shù)網(wǎng)格對(duì)計(jì)算區(qū)域進(jìn)行離散化，可以準(zhǔn)確模擬各種復(fù)雜模型。在此基礎(chǔ)上，使用高階形函數(shù)提高數(shù)值解的精度。通過(guò)與層狀各向異性介質(zhì)模型解析解對(duì)比驗(yàn)證算法的正確性。針對(duì)一個(gè)三維復(fù)雜異常體模型，研究了水平和垂直電阻率變化對(duì)井地電磁響應(yīng)的影響，并且對(duì)井地電磁法用于監(jiān)測(cè)油氣開(kāi)采過(guò)程進(jìn)行可行性分析。

1 控制方程

令時(shí)諧因子為eiωt，場(chǎng)源所激發(fā)的電磁場(chǎng)滿(mǎn)足頻率域的Maxwell 方程