以變式進階 促思維發展

摘" 要：在高中數學單元復習中進行變式教學，通過制訂明確目標，解決設定問題，創建豐富活動，完成既定任務，對概念、定理、公式從不同角度、不同層次作出有效變化，修正觀念的認識形態，促進學生對知識的深刻理解，讓學習呈現螺旋式上升，關注學生的思維發展。

關鍵詞：高中數學；單元復習；變式教學；思維進階

在學習完整章內容后，學生對知識有了系統的了解。在單元復習時，教師可以通過對知識點的進階式變式教學，從特殊到一般、從簡單到復雜、從淺層到深入、從單一到綜合開展數學活動，層層遞進、步步提高，突出重點，突破難點，幫助學生把握數學知識的本質，掌握數學思想方法，積累豐富的活動經驗，促進學生思維和能力的進階，穩步發展數學核心素養。

一、授課內容與學情分析

立體幾何研究現實世界中物體的形狀、大小與位置關系。在教學人教A版《普通高中教科書·數學》必修第二冊第八章“立體幾何初步”中空間點、直線、平面的位置關系后，學生對知識有了詳細的了解，認識和探索了空間圖形的性質，掌握了傳統的幾何推理證明方法，需要通過單元復習對知識進行整合，從而培養學生的系統性思維和數學核心素養。

二、課前準備與活動流程

1. 思維導圖，深化概念

課前，教師讓學生自主復習，尋找知識之間的聯系，高度概括知識，構建知識網絡，獨立作出知識結構圖，提示知識重點，體會轉化與化歸及數形結合的思想，使課堂學習有一條脈絡分明的主線，體現層次序列清晰的梯度結構。

【設計意圖】通過展示學生自己總結的知識結構圖，暴露學生對知識的不同理解，展現知識重點和疑問，查漏補缺，加深印象，為后面的變式教學作鋪墊。思維導圖可以幫助學生將零散的數學概念組織起來，形成完整的知識結構。通過將不同的概念和關系連接在一起，學生可以更清晰地看到數學知識的內在邏輯性和關聯性，從而提高他們的整體理解能力。學生需要將抽象的數學概念轉化為具體的圖形和文字，從而更深入地理解和記憶數學知識。同時，思維導圖中的圖形和顏色等視覺元素也可以提供一定的記憶支持，幫助學生更好地記憶數學概念，并將不同的數學概念和解決方法進行比較、綜合，從而培養他們的綜合思維能力。通過思維導圖的構建，考慮各個概念之間的關系和聯系，思考它們的共性和差異，促使學生更全面地理解數學知識，培養他們的批判性思維能力。

2. 分組討論，促進思維

在高中數學課堂中開展小組合作學習，能夠增強學生的參與意識，促進思維深入發展，從而提高課堂教學效率。在單元復習課中，教師可以將學生分成若干個小組，設置如下活動流程。

第一，讀題研題，激活思維。根據題目條件合理創設問題情境，設置階梯問題，逐步加深難度，啟發學生思考如何分析，借助思維導圖幫助學生整理解題思路。

第二，總結方法，深化思維。關注學生之間的思維差異，由一題多解總結解題方法，串聯所學知識點，實現思維的遞進和知識的整體性。

第三，編題反思，思維進階。通過變式及改題，使學生的思維活躍而有創造性。將待解決的變式化歸為熟悉的、已知的問題，在變化中尋找不變——解題的策略與規律。

【設計意圖】學生在經歷一個完整的大單元教學后，在知識和能力方面有所提高，從數學核心素養的角度對概念進一步審視，幫助學生在學科知識的動態形成、能力意義的個人建構等方面有所突破。學生能夠知道基本幾何體的表面積、體積的計算公式，理解空間直線、平面平行與垂直的判定，掌握直線、平面平行與垂直的性質，掌握空間基本圖形位置關系的簡單命題的證明，重點提升數學抽象、邏輯推理、直觀想象和數學運算素養。分組討論可以營造合作學習氛圍，使他們能夠相互交流、分享和討論數學問題。通過與同伴合作解決問題，學生可以相互啟發和幫助，提高解決問題的能力。在分組討論時，學生需要共同思考和解決數學問題，這樣的討論過程有助于培養學生分析和解決問題的能力，激發他們的創造性思維和批判性思維。此外，分組討論能夠讓學生有機會用數學的語言表達自己的觀點和思路，提高他們的溝通能力。通過與同伴的交流，學生能夠學會清晰地表達自己的數學思想，同時傾聽和理解他人的觀點。

三、典例分析與變式進階

在復習“立體幾何初步”這一章時，教師可以通過以下例題開展變式教學，轉換問題的條件、思考角度和呈現方式，研究不同思路和解法，讓學生對知識產生深刻理解。

如圖1，四邊形[ABCD]是邊長為[1]的正方形，MD⊥平面[ABCD，] NB⊥平面[ABCD，] 且[MD=NB=1，] [E]為[BC]的中點。

設問1：求證：NB∥平面[AMD]。

變式1：若平面BCN ∩平面[ADN=l，] 求證：BC∥l。

【設計意圖】先復習線面垂直的性質定理及線面平行的判定定理，然后在原有基礎上更深一步，由線面平行證明面面平行，再得線面平行，復習面面平行的判定定理及性質定理。再由線面平行推導出線線平行，考查線面平行的性質定理。由于兩個平面的交線需要畫出來，對于有些學生來說有些抽象，可以先畫出交線，讓學生直觀感受，培養學生的空間想象能力和數學抽象素養。

設問2：求證DN⊥平面[ACM。]

變式2：在線段[AN]上是否存在點[S，] 使得ES⊥平面[AMN]？若存在，求線段[AS]的長；若不存在，試說明理由。

【設計意圖】由證明類問題轉變為存在性問題，加深思維含量。很多基本圖形都可以在長方體中有所反映，它們或是長方體的一部分，或是可以由長方體變形得到。該題如果能聯想到擴展為正方體，問題就清晰明了，迎刃而解。通過轉變問題類型，學生需要尋找可能的解決方案，培養他們的邏輯推理能力，激發學生的創造力和想象力。

設問3：求異面直線[BC]與[AM]所成角的余弦值。

變式3：求直線AN與平面ABCD所成角的余弦值。

變式4：求平面[AMN]與平面[ANC]所成二面角的平面角的余弦值。

【設計意圖】引導學生從不同角度思考問題，從解決過的問題引發聯想，組成問題的串聯，形成知識的遞進，促進思維的寬廣。讓學生總結求異面直線所成角、直線與平面所成角、平面與平面所成角的方法和解題步驟，總結易錯點，加深印象。小組成員相互點評，選取作品投影，考查學生類比遷移、靈活變通的能力。引導學生通過活動進入深度學習，由師生評價轉為生生評價。課后設置相關習題檢測學生真實的學習成果，記錄學生的學習歷程和行為表現。

設問4：閱讀教材，你是否發現了其他解法？

【設計意圖】學生已經學習了平面向量，類比平面圖形建立平面直角坐標系，聯想到空間圖形可以建立空間直角坐標系，運用空間向量解決有關直線與平面位置關系的問題，體會向量方法在研究幾何圖形中的作用。通過比較不同的解法，發現其中的規律和特點，培養學生的創新思維，讓他們在解決數學問題時能夠提出新穎的思路和方法，并將抽象的數學概念與實際問題相結合，找到解決問題的有效途徑。

在高中數學課程中，立體幾何內容分為兩部分：必修課程中的“立體幾何初步”和選擇性必修課程中的“空間向量與立體幾何”。與前文運用的解題方法相比，還可以運用向量法。前者需要找到輔助線，后者需要找到合適的建系方法，寫出各點坐標，用坐標表示直線向量及法向量，使用夾角、距離公式計算完成。方法各有獨到之處，學生可以根據題目靈活選擇解法，取得更好效果。

參考文獻：

［1］李昌官. 走向素養為本的數學變式教學［J］. 課程·教材·教法，2021，41（8）.

［2］郭滕珞. 面向高階思維發展的高中數學問題串教學研究［D］. 天津：天津師范大學，2020.