一道反比例函數例題變式教學的思考

摘要：通過一道教材的變式題，引導學生探究發現“萬變不離其宗”的本質，在知識、思維和方法上為解決問題提供了有益的經驗，旨在完善學生的認知結構，引發學生的數學思考，激發學生學習的積極性，逐步培養學生靈活多變的思維品質．

關鍵詞：反比例函數；變式題；思維品質；數學素養

反比例函數是一種重要的函數，是初中教學的重難點，也是中考的常考點，無論從知識、方法和技能，還是滲透的數學思想上來看，學好反比例函數都為進一步學好其它函數奠定了堅實基礎．一般來說可以用類比遷移、觀察實驗、數形結合等方法學習其它函數，但這類題目很多，如果不掌握其中“不變”的實質，那么難以跳出“題海”，所以變式教學在一定意義上是高效教學的重要舉措，現舉例說明．

1源題分析

1.1源題

題目： 已知y是x的反比例函數，并且當x=2時，y=6.

（1） 寫出y關于x的函數解析式；

（2） 當x=4時，求y的值．

（詳見人教版《義務教育教科書· 數學》九年級下冊第3頁的例1）.

分析：（1） 因為y是x的反比例函數，所以設y=kx.把x=2和y=6代入上式，就可以求出常數k的值．（2） 將x=4代入上述解析式即可．

解析：（1） y=12x；（2） y=3.（詳解過程，此處略）

評注：第（1）問用待定系數法求反比例函數的解析式時，關鍵要知道圖象上的點；第（2）問給出自變量的值，求函數值，只需直接代入．

1.2源題教學目標

（1） 問題與情境：在學生已經了解一次函數的圖象和性質的基礎上，探究反比例函數的概念、解析式和性質，通過教師點撥，學生解答，充分發揮學生的主體性，讓學生觀察圖象，從圖象特征牢固地掌握反比例函數的重要性質．

（2） 知識與技能：初步認識反比例函數的數學模型，掌握用待定系數法求解析式．通過變式題或中考題，加深對函數的認識， 引導學生理解“萬變不離其宗”的本質，提高學生綜合應用知識分析問題和解決問題的能力．

（3） 思維與表達：通過對變式試題的求解，引導學生進行類比、觀察、猜想、驗證、歸納等活動，能用數學思維清晰表達反比例函數的圖象與性質，并以此解決問題．

（4） 交流與反思：圍繞教學目標，積極搭建交流平臺，學會與他人合作，交流表達．

1.3知識關聯

此題有承上啟下的作用，它既是對“一次函數”的復習與認識，又為后續學習“二次函數”做鋪墊，這與高中階段學習雙曲線也是一脈相承的．

2變式題及點評

變式的起點在哪里？怎么變？變什么？以什么題材為載體？內在結構、邏輯關系如何？等等，這些問題都是教師需要思考的．

2.1用列表法來表示反比例函數

列表法是函數的三種表示方法之一，其優點是可以直觀看出與自變量的值相對應的函數值，并讓學生畫出函數的圖象（變式很簡單，此處略），直觀形象地表示自變量的變化和相應的函數值的變化趨勢，有利于通過圖象直觀的來研究函數的某些性質．“不變”的是描點、連線、作圖，根據函數圖象特征判斷此函數的性質是解決問題的關鍵．

2.2設置問題新情境，求k的值

在源題基礎上，設置問題情境，以平面圖形為載體，通過該圖形幾何性質間接給出反比例函數圖象上的點C，考查學生數形結合思想方法的使用，有利于提升學生解題思維的靈活性．

變式1（2021甘肅省蘭州市中考數學第15題）如圖1，矩形ABCD的對角線BD經過坐標原點，矩形的邊分別平行于坐標軸，點C在反比例函數y=k2+2k+1x的圖象上．若點A的坐標為（－2，－2），則k的值為（）.

A. 1B. －3C. －4D. 1或－3.

分析：設C（x，y）．根據矩形的性質，由點A（－2，－2）的坐標分別求出B（－2，y），D（x，－2）.根據“矩形的對角線BD經過坐標原點”，可設直線BD的解析式為y=kx（k≠0），則將點B，D的坐標代入，消去k，得xy=4①．又點C在反比例函數y=k2+2k+1x的圖象上，故xy=k2+2k+1②.聯立①②，得k2+2k－3=0，解關于k的一元二次方程即可.

解析：k=－3或k=1.（過程略）

評注：函數與幾何圖形的結合．本題采用“設而不求”的方法，先求出滿足題目條件的反比例函數的解析式，其圖象在第一象限的部分與已知的反比例函數的圖象是重合的，所以整體消去“xy”得到關于k的方程，思維起點高，解決路徑迂回曲折．學生如若邏輯推理能力、數學運算能力不足，就不能順利解決此問題．

2.3設置實際問題，學以致用

在掌握了反比例函數圖象及性質的基礎上，為了讓學生從數學的角度認識現實生活中的現象，教師可以選編一些實際應用問題，甚至是跨學科的實際問題，加強學科間相互關聯，以增強學生數學的應用意識，強化實踐性要求．

變式2（2022年吉林省中考數學第20題）密閉容器內有一定質量的氣體，當容器的體積V（單位：m3）變化時，氣體的密度ρ（單位：kg/m3）隨之變化．已知密度ρ與體積V是反比例函數關系，它的圖象如圖2所示．

（1） 求密度ρ關于體積V的函數解析式；

（2） 當V=10 m3時，求該氣體的密度ρ．

分析：（1） 用待定系數法即可；（2） 把V=10代入（1）中所求得的解析式中，可得該氣體的密度．

解析：（1） 設密度ρ關于體積V的解析式ρ=kV（Vgt;0，k≠0），把點A（4，2.5）的坐標代入上式中，得k=2.5×4=10，所以ρ=10V（Vgt;0）．

（2） 當V=10 m3時，ρ=1010=1（kg/m3），即此時該氣體的密度為1 kg/m3．

評注：本題是反比例函數的應用題，也就是將反比例函數的數量關系應用到生產生活中去，考查學生會不會從圖象語言、文字語言雙重的喬裝打扮中抽象出反比例函數的關系式．另外，物理學中還有許多反比例函數關系，如壓力F一定，P=FS；電壓U一定，R=UI；力F（N）與物體在力的方向上移動的距離S（m）的關系等，都是跨學科綜合命題的極好的變式素材．

2.4變式為新定義問題

“新定義”問題以學生學過的知識為載體，通過類比、引申、拓展給出新的數學概念．以此考查學生的閱讀理解能力，應變能力和創新能力．

例1（2022年甘肅蘭州市中考數學第25題）定義：假設雙曲線y=kx（kgt;0）與它其中一條對稱軸y=x相交于A，B兩點，那么線段AB的長度為雙曲線y=kx（kgt;0）的對徑．

（1） 求雙曲線y=1x的對徑；

（2） 假設雙曲線y=kx（kgt;0）的對徑是102，求k的值．

分析：（1） 欲求雙曲線的對徑，根據定義，需求它與一條對稱軸y=x的交點，再根據兩點之間的距離公式即可求得對徑．（2） 過程同（1），得出用字母k表示的式子，再列關于k的方程求解即可．

解析：（1） 由y=1x，

y=x， 解得x1=1，

y1=1或x2=－1，

y2=－1，所以不妨令點A的坐標為（1，1），點B的坐標為（－1，－1），所以AB=（－1－1）2+（－1－1）2=22，即雙曲線y=1x的對徑為22.

（2） 解方程組y=kx，

y=x，得x1=k，

y1=k或x1=－k，

y1=－k，所以不妨令點A的坐標為（k，k），點B的坐標為（－k，－k），

所以AB=（－k－k）2+（－k－k）2=22k.

因為雙曲線y=kx（kgt;0）的對徑是102，即AB=102，所以22k=102，解得k=25．

評注：新定義的“對徑”是什么？就是雙曲線與其對稱軸交點之間的距離，此定義是解題的依據．理解其概念是策劃求解流程的關鍵，從“對徑”的特殊情形到一般，再逆向思考，列出方程，對學生的思維、邏輯推理能力都是很好的鍛煉．

3對變式教學的思考

選例不在多而在精，教師應為發揮例題的教學功能，做到以例帶類，以例啟思，培養學生的發散思維．對于相同的知識點，教師設置不同的問題情境，讓學生體會“萬變不離其宗”的數學魅力，提高學生的辨析能力，讓學生學會舉一反三，融會貫通的本領，培養和發展學生的創新思維能力．變式教學以“四基”“四能”為根本出發點來開展活動，目標在于以一當十，學會一點，解決一片，減輕教與學的負擔．

數學的思想方法是數學學習的靈魂和精髓．因此，變式教學不能僅僅盯著實質內容，還要注意貫穿于“問題解決”的數學思想方法，如本文中涉及的數形結合、函數與方程、轉化與化歸、特殊到一般等思想，以此發掘學生本身的內蘊能力．