巧化歸，妙求和

摘要：數(shù)列求和是歷年高考數(shù)列部分的一個(gè)基本考點(diǎn)，有時(shí)以小題形式出現(xiàn)，有時(shí)出現(xiàn)在解答題中，是數(shù)列知識(shí)的綜合體現(xiàn)，破解的關(guān)鍵是抓住數(shù)列中的已知條件，掌握數(shù)列知識(shí)的本質(zhì)，充分理解與掌握數(shù)列求和的技巧與方法，合理分析，巧妙求解.

關(guān)鍵詞：數(shù)列；求和；錯(cuò)位相減法；相消法

數(shù)列求和是高中數(shù)學(xué)教材中等差數(shù)列、等比數(shù)列的一個(gè)重要內(nèi)容，其求和公式與技巧方法等也是高中數(shù)學(xué)中的一類基本策略方法，因此數(shù)列求和題成為了歷年高考數(shù)學(xué)中一個(gè)熟知的經(jīng)典考題.涉及數(shù)列求和問題，關(guān)鍵是把握相關(guān)通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特征，選擇與之相吻合的技巧方法加以應(yīng)用，它是全面考查數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)、基本思想方法以及相關(guān)的解題技巧的一個(gè)主陣地，以及全面考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力等方面的場(chǎng)所.

1問題呈現(xiàn)

問題：（華中師范大學(xué)“華大新高考聯(lián)盟”2022屆高三11月教學(xué)質(zhì)量測(cè)評(píng)·16）設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a3=2，a10=256，則數(shù)列{4n2an }的前n項(xiàng)和為.

2問題分析

此題通過等比數(shù)列問題背景的設(shè)置，結(jié)合題目條件的分析與處理來確定{an}的通項(xiàng)公式，從而得以確定數(shù)列{4n2an }的通項(xiàng)公式，利用通項(xiàng)公式的特征，結(jié)合有效的方法，借助錯(cuò)位相減法、相消法等思維來處理，得以進(jìn)行數(shù)列求和.

破解本題的關(guān)鍵就是利用條件能得通項(xiàng)公式bn＝4n2an=n2·2n，進(jìn)而求解數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和問題.破解時(shí)，可以利用通項(xiàng)公式的特征，或借助錯(cuò)位相減法，或借助待定系數(shù)法，通過代數(shù)運(yùn)算，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式加以合理化歸，巧妙處理，從而破解問題.

3問題破解

方法1：兩次錯(cuò)位相減法1

解析：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，依題可得a3=a1q2=2

a10=a1q9=256，則a1=12

q=2，

所以an=a1qn-1=12×2n-1=2n-2，設(shè)bn=4n2an=4n2×2n-2=n2·2n，

設(shè)數(shù)列{4n2an }的前n項(xiàng)和為Sn，

則Sn=12·21+22·22+32·23+…+（n-1）2·2n-1+n2·2n，

2Sn=12·22+22·23+…+（n-2）2·2n-1+（n-1）2·2n+n2·2n+1，

兩式相減，可得-Sn=1·21+3·22+5·23+…+（2n-3）·2n-1+（2n-1）·2n-n2·2n+1，

設(shè)數(shù)列{（2n-1）·2n }的前n項(xiàng)和為Tn，

則Tn=1·21+3·22+5·23+…+（2n-3）·2n-1+（2n-1）·2n，

2Tn=1·22+3·23+…+（2n-5）·2n-1+（2n-3）·2n+（2n-1）·2n+1，

兩式相減，可得-Tn=1·21+2·22+2·23+…+2·2n-1+2·2n-（2n-1）·2n+1

=2+23+24+…+2n+2n+1-（2n-1）·2n+1=2+8（1-2n-1）1-2-（2n-1）·2n+1

=2+2n+2-8-（2n-1）·2n+1=（3-2n）·2n+1-6，

所以-Sn=Tn-n2·2n+1=-（3-2n）·2n+1+6-n2·2n+1=-（n2-2n+3）·2n+1+6，

即Sn=（n2-2n+3）·2n+1-6，

故填答案：（n2-2n+3）·2n+1-6.

點(diǎn)評(píng)：先根據(jù)條件，通過數(shù)列的通項(xiàng)公式聯(lián)立方程組，求得對(duì)應(yīng)數(shù)列的首項(xiàng)與公比，為確定數(shù)列{4n2an}的通項(xiàng)公式提供依據(jù)，進(jìn)而結(jié)合對(duì)應(yīng)的通項(xiàng)公式的特征，先利用錯(cuò)位相減法加以化歸與轉(zhuǎn)化，再根據(jù)求和公式的特征提取其中的部分，再利用錯(cuò)位相減法來化歸，最后結(jié)合等比數(shù)列的求和公式以及代數(shù)運(yùn)算來進(jìn)行數(shù)列的求和.

方法2：兩次錯(cuò)位相減法2

解析：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，依題可得a3=a1q2=2

a10=a1q9=256，則a1=12

q=2，

所以an=a1qn-1=12×2n-1=2n-2，設(shè)bn=4n2an=4n2×2n-2=n2·2n，

設(shè)數(shù)列{4n2an }的前n項(xiàng)和為Tn，

則Tn=12·21+22·22+32·23+…+（n-1）2·2n-1+n2·2n，

2Tn=12·22+22·23+…+（n-2）2·2n-1+（n-1）2·2n+n2·2n+1，

兩式相減，可得-Tn=1·21+3·22+5·23+…+（2n-3）·2n-1+（2n-1）·2n-n2·2n+1，

-2Tn=1·22+3·23+…+（2n-5）·2n-1+（2n-3）·2n+（2n-1）·2n+1-n2·2n+2，

兩式相減，可得Tn=1·21+2·22+2·23+…+2·2n-1+2·2n+（n-1）2·2n+1

=2+23+24+…+2n+2n+1+（n-1）2·2n+1=2+8（1-2n-1）1-2+（n-1）2·2n+1

=2+2n+2-8+（n-1）2·2n+1=（n2-2n+3）·2n+1-6，

故填答案：（n2-2n+3）·2n+1-6.

點(diǎn)評(píng)：先根據(jù)條件，通過數(shù)列的通項(xiàng)公式聯(lián)立方程組，求得對(duì)應(yīng)數(shù)列的首項(xiàng)與公比，為確定數(shù)列{4n2an}的通項(xiàng)公式提供依據(jù)，進(jìn)而結(jié)合對(duì)應(yīng)的通項(xiàng)公式的特征，直接通過處理系數(shù)，兩次利用錯(cuò)位相減法加以化歸與轉(zhuǎn)化，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式以及代數(shù)運(yùn)算來解決數(shù)列的求和問題.

方法3：待定系數(shù)法+相消法

解析：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，依題可得a3=a1q2=2

a10=a1q9=256，則a1=12

q=2，

所以an=a1qn-1=12×2n-1=2n-2，設(shè)bn=4n2an=4n2×2n-2=n2·2n，

設(shè)bn=n2·2n=（xn2+yn+z）·2n-［x（n+1）2+y（n+1）+z］·2n+1，

而（xn2+yn+z）·2n-［x（n+1）2+y（n+1）+z］·2n+1=［-xn2-（4x+y）n-2x-2y-z］·2n，

所以-x=1，-（4x+y）=0，-2x-2y-z=0，解得x=-1，y=4，z=-6，

則有bn=n2·2n=（-n2+4n-6）·2n-［-（n+1）2+4（n+1）-6］·2n+1，

設(shè)數(shù)列{4n2an }的前n項(xiàng)和為Tn，

可得Tn=b1+b2+…+bn=（-12+4×1-6）·21-（-22+4×2-6）·22+（-22+4×2-6）·22-（-32+4×3-6）·23+…+（-n2+4n-6）·2n-［-（n+1）2+4（n+1）-6］·2n+1

=（-12+4×1-6）·21-［-（n+1）2+4（n+1）-6］·2n+1

=（n2-2n+3）·2n+1-6，

故填答案：（n2-2n+3）·2n+1-6.

點(diǎn)評(píng)：先根據(jù)條件，通過數(shù)列的通項(xiàng)公式聯(lián)立方程組，求得對(duì)應(yīng)數(shù)列的首項(xiàng)與公比，為確定數(shù)列{4n2an}的通項(xiàng)公式提供依據(jù)，進(jìn)而結(jié)合對(duì)應(yīng)的通項(xiàng)公式的特征，進(jìn)而利用待定系數(shù)法，設(shè)出相應(yīng)數(shù)列的差的關(guān)系式，由此確定對(duì)應(yīng)的參數(shù)值，最后結(jié)合相消法解決數(shù)列的求和問題.

4問題本質(zhì)

探究1：根據(jù)以上問題的分析、方法與思維，可知原問題的實(shí)質(zhì)如下：

變式1：設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2·2n，n∈N*，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為.

解析：根據(jù)以上問題的分析與方法可知，

數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為（n2-2n+3）·2n+1-6，

故填答案：（n2-2n+3）·2n+1-6.

點(diǎn)評(píng)：破解本題時(shí)，可以直接利用以上問題的破解方法來處理，比起原問題，給出為通項(xiàng)公式更為直接有效，但思維方式是一樣的.若碰到選擇題時(shí)，可以利用特殊值代入加以排除處理；而碰到填空題或解答題時(shí)，就得借助錯(cuò)位相減法或待定系數(shù)法等來化歸與應(yīng)用，從而合理求解問題.

探究2：類比以上原問題與變式1，從另一個(gè)層面進(jìn)行合理設(shè)置，進(jìn)而得到以下的變式問題.

變式2：已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=2，且S1，S2+2，S3成等差數(shù)列，記數(shù)列{an·（2n+1）}的前n項(xiàng)和為Tn，則Tn=.

解析：正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比設(shè)為q，q＞0，前n項(xiàng)和為Sn，a1=2，且S1，S2+2，S3成等差數(shù)列，

可得2（S2+2）=S1+S3，即2（2+2q+2）=2+2+2q+2q2，可得q=2（-1舍去），

則an=2n，an·（2n+1）=（2n+1）·2n，

前n項(xiàng)和Tn=3·2+5·22+7·23+…+（2n+1）·2n，

2Tn=3·22+5·23+7·24+…+（2n+1）·2n+1，

以上兩式對(duì)應(yīng)相減，可得-Tn=6+2（22+23+…+2n）-（2n+1）·2n+1=6+2·4（1-2n-1）1-2-（2n+1）·2n+1，化簡(jiǎn)可得Tn=2+（2n-1）·2n+1，

故填答案：2+（2n-1）·2n+1.

5教學(xué)啟示

高中數(shù)學(xué)教材中涉及數(shù)列求和問題，主要是利用特殊數(shù)列的公式法，以及其他的如錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組轉(zhuǎn)化法以及拆分法等一些相關(guān)的方法，這些方法都是數(shù)列求和中一些基本的技巧方法，需要學(xué)生熟練掌握.

具體進(jìn)行數(shù)列求和時(shí)，關(guān)鍵是理清相關(guān)數(shù)列的性質(zhì)特征，合理化歸，巧妙轉(zhuǎn)化，利用數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特征，選擇合適的方法加以綜合與應(yīng)用，從而數(shù)列求和問題就得以正確轉(zhuǎn)化，迎刃而解.特別碰到一些較為復(fù)雜的數(shù)列求和問題時(shí)，有時(shí)可以一種方法多用，多種方法并用，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、思想方法和基本能力的交匯與綜合，把握數(shù)列問題的本質(zhì)與內(nèi)涵，提高數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).