立足基礎，把握方向，提升素養

摘要：“三新”背景下的高考復習與備考，一直是一個全新的熱門話題.結合數學實例，抓住命題精神，從教改銜接的重視入手，把握命題方向的研究，落實數學基礎與“四基”，強加數學運算素養的提升，探析學生良好數學思維的養成，合理引領并指導高考數學復習與備考.

關鍵詞：高考；復習；備考；教學建議

在新教材（人民教育出版社2019年國家教材委員會專家委員會審核通過）、新課程（《普通高中數學課程標準（2017年版，2020年修訂》）［1］、新高考的“三新”背景下，“落實立德樹人的根本任務，充分發揮高考命題的育人功能和積極導向作用”成為高考的重要指導精神，2022年高考數學新高考Ⅰ卷很好地貫徹了深化考試內容改革，也為“三新”背景下的高考復習備考指明方向.

1重視教考銜接

新高考強調考查“一核四層四翼”，“一核”即“立德樹人、服務選拔、導學教學”，“四層”即“必備知識、關鍵能力、學科素養、核心價值”，“四翼”即“基礎性、綜合性、應用性、創新性”.總體來說，就是要讓學生真正學會應用數學分析問題、解決問題.平常的教學中，教師要全面落實學生的數學核心素養，拋棄“應試教育、題海戰術”的陳舊思想.

2研究命題方向

我們平時高三復習備考中，應該立足高中課程標準，研究高考真題和高考命題方向.從2022年的高考考查內容和方向來看變化不大，保持了較高的穩定性，甚至有很多題目與往年高考題背景一致.

例1（2022—2023學年江蘇省南京市高三（上）學情調研數學試卷（9月份）·8）已知函數f（x），任意x，y∈R，滿足f（x+y）f（x-y）=f2（x）-f2（y），且f（1） =2，f（2） =0，則f（1） +f（2） +…+f（90）=（）

A. -2B. 0C. 2D. 4

分析：常規解決方法就是利用抽象函數的基本性質加以分析與處理.而根據題設條件中的關系式，合理聯想與之相似結構特征的公式，為構造特殊函數輔助分析與處理提供條件.

解析：結合已知條件f（x+y）f（x-y）=f2（x）-f2（y），聯想到正弦平方差公式：sin2x-sin2y=sin（x+y）sin（x-y），從而構造特殊函數輔助特殊化處理，

令特殊函數f（x）=2sinπ2x，該函數滿足題設條件，則f（x）是以4為周期的函數，

而f（1） =2，f（2） =0，進而求得f（3） =-2，f（4） =0，則有f（1） +f（2） +f（3） +f（4） =0，所以f（1） +f（2） +…+f（90）=22×［f（1） +f（2） +f（3） +f（4）］+f（1） +f（2） =2，故選擇答案：C.

以上模擬題改編于2022年高考數學新高考Ⅱ卷·第8題：若函數f（x）的定義域為R，且f（x+y）+f（x-y）=f（x）f（y），f（1） =1，則∑22k=1f（k）=（）

A. -3B. -2C. 0D. 1

建議在復習備考中，教師要重視往年高考真題的挖掘，對高考真題進行變式訓練，在對高考真題訓練的同時，也不斷提升關鍵能力，拓展數學思維.

3夯實基礎知識

“三新”背景下的備考，我們要充分領會新課標、新教材、新高考，尤其要重視教材的挖掘.高考數學一輪復習中要指導學生回歸教材，根據教材弄清知識的來龍去脈，讓知識結構更清晰.在抓住重點知識與主干知識的同時，也要關注它們與其它內容的交匯，根據知識的特點，精心設計綜合性強、代表性強的交匯性練習，讓學生適當的訓練.

例2（2023屆八省八校高三第一次學業質量評價（T8聯考）數學試題·15）若關于x的不等式（lnx）2-axlnx＞0有且只有一個整數解，則實數a的取值范圍為.

分析：根據題設條件中不等式問題，合理構建函數，利用函數的單調性以及函數的正負取值情況，結合不等式等價變形與轉化，進而得以確定參數的取值范圍.

解析：令f（x）=lnxx，x＞0，

則f′（x）=1-lnxx2，

當x∈（0，e）時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增；

當x∈（e，+∞）時，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減.

又f（1）=0，所以當x∈（0，1）時，f（x）＜0；

當x∈（1，+∞）時，f（x）＞0.

則原不等式（lnx）2-axlnx＞0等價于x＞1，

lnxx＞a或0＜x＜1，

lnxx＜a，（舍去），所以x＞1，

lnxx＞a有且只有一個整數解.

又f（3）=ln33＞f（4）=ln44=ln22=f（2），所以f（2） ≤a＜f（3），即ln22≤a＜ln33，

所以實數a的取值范圍為ln22，ln33，故填答案：ln22，ln33.

點評：本題抓住高中數學中函數這一主線，合理將相關知識加以交匯與聯系，綜合分析與巧妙應用.作為高三教師，要對比新舊教材的變化和差異，及時更新觀念，不斷提升自己，同時也給學生樹立終身學習的榜樣.

4加強運算素養

這幾年新高考試題普遍反饋難，但根源的問題在于計算量大.2022年高考充分體現了對這一重要能力的要求是高層次的.運算能力是高中生必須具有的重要的數學能力，我們在復習中要注重培養運算的合理性、科學性與嚴謹性.

例3（2023屆河北省邢臺市名校聯盟高三上學期開學考試數學試題·16）已知橢圓C：x24+y23=1的兩個焦點為F1，F2，P為橢圓上任意一點，點（m，n）為△PF1F2的內心，則m+n的最大值為.

分析：根據題設，引入三角參數，結合焦點弦長的求解，利用三角形的內切圓性質加以轉化，進而確定含參的關系式，并進一步利用三角換元法，結合三角恒等變形公式以及三角函數的圖象性質來確定最值問題，對數學運算的要求比較高.

解析：由題意得橢圓C的焦點F1（-c，0），F2（c，0），

設P（acosθ，bsinθ），θ∈［0，2π），△PF1F2的內切圓的半徑為r，

所以S△PF1F2=12×2c×b|sinθ|=bc|sinθ|=12（2c+2a）·r，可得r=bc|sinθ|a+c=|n|，

而|PF1|=（acosθ+c）2+（bsinθ）2=a2+2accosθ+（ccosθ）2=a+ccosθ，

同理可得|PF2|=a-ccosθ，

結合三角形的內切圓性質，得（c+m）-（c-m）=|PF1|-|PF2|=（a+ccosθ）-（a-ccosθ），

可得m=ccosθ，消去θ，可得m2c2+n2（bc）2（a+c）2＝1，即m2c2+n2a-ca+c·c2=1.

因為a=2，c=1，

代入整理可得m2+3n2=1（n≠0）.

設m=cosα，n=13sinα≠0，則m+n=cosα+13sinα=233sinα+π3≤233，

所以m+n的最大值為233.故填答案：233.

點評：為了達到巧妙數學運算的目的，綜合利用三角參數以及三角換元來轉化與應用，為優化數學運算提高效益.在高考備考復習中要從算理入手，通過分析運算的式子或將要進行的運算的特點來設計運算思路，要有意識地結合特殊內容（比如解析幾何）設計有關運算能力的訓練.

5重視思維訓練

數學是一種思維的體操，在實際解題過程中，需要引導學生學會“思考”，尋找與之對應的技巧與方法來分析與解決，特別要給學生提供一個完整的思考機會，借助高質量的思考與自我分析來促進學生數學思維的發展.

例4（2023屆湖北省“荊荊宜”三校高三上學期11月聯考數學試題）已知α∈0，π6，β∈0，π6，且βtanα=2（1-cosβ），則（）

A. β4＜α＜β2B. α4＜β＜α2

C. α2＜β＜αD. β2＜α＜β

分析：根據條件，通過三角函數為背景的角的大小比較，合理利用相關的三角不等式進行放縮和構造函數，結合函數的單調性進行解決，對數學知識、思維的綜合應用有很好地體現.

解析：當x∈0，π6時，令f（x）=x-sinx，g（x）=tanx-x，

則f′（x）=1-cosx＞0，g′（x）=1cos2x-1＞0，所以函數f（x），g（x）在0，π6上均單調遞增，

所以f（x）min＞f（0）=0，g（x）min＞g（0）=0，

所以sinx＜x＜tanx.

由βtanα=2（1-cosβ），可得tanα=2（1-cosβ）β=4sin2β2β＜4β22β=β.

又α＜tanα，所以α＜β.

因為tanα=4sin2β2β=4sinβ2cosβ2β·sinβ2cosβ2＝2sinββ·tanβ2，

令h（x）=2sinx-x，x∈0，π6，則h′（x）=2cosx-1＞2cosπ6-1=3-1＞0，所以函數h（x）在0，π6上單調遞增，所以h（x）min＞h（0）=0，可得2sinx＞x，所以tanα=2sinββ·tanβ2＞tanβ2，即α＞β2.

綜上所述，β2＜α＜β.故選擇答案：D.

點評：含有一定條件（等式或不等式）的比較大小問題，日漸成為高考數學考試命題的一個熱點.而多變量往往是這類問題中處理的一個難點，數學思維的開拓與應用至關重要，常見的解決的途徑通常首先分離變量，結合表達式的結構特征，合理構建恰當的函數，借助函數的單調性與最值等相關問題來轉化與應用.

在“三新”（新教材、新課程、新高考）背景下，進一步落實“雙減”政策與新改革理念，積極貫徹《總體方案》要求.在高考復習備考中，教師應該從高考的核心價值入手，突出學科特色，重視數學本質，體現新課改理念，指導學生從整體上架構起高中知識體系，系統學習各章節知識，打通各個章節的聯系，綜合學習和運用所學知識，養成良好的數學品質與數學思維，提升數學核心素養，才能在考試時游刃有余.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）［S］.北京：人民教育出版社，2017.