從“二維”到“三維”，平面圖形翻折

摘要：平面圖形翻折成立體幾何的問題使得靜態場景動態化，在問題場景的創設以及思維定勢的改變方面都有所創新．借助一道平面圖形翻折題的追根溯源、多解方法、變式拓展，總結解題技巧方法與規律策略，培養數學思維，打破思維定勢，指導并引領數學教學與復習備考．

關鍵詞：平面圖形；立體幾何；翻折；矩形；垂直

平面圖形翻折成立體幾何的問題，讓數學問題“動”起來，生動形象又變化多端，合理創設“二維”平面到“三維”空間的升華，巧妙聯系起“動”與“靜”的相對關系，瞄準“變”與“不變”的差異變化，架起“平面”與“立體”的聯系橋梁，關注直觀想象與創新意識等方面的素養與要求．

1問題呈現

【問題】（2023屆上海市高考數學高三專題練習試卷）如圖1，已知矩形ABCD的對角線交于點E，AB=x，BC=1，將△ABD沿BD翻折.若在翻折過程中存在某個位置，使得AB⊥CE，則x的取值范圍是．

此題以“定寬不定長”的矩形沿對角線翻折成立體幾何圖形為問題的創新情境，結合存在性來創設問題，考查了空間的垂直關系，綜合性較強．

具體解答時，要充分發揮空間想象力，明確空間的點、線、面的位置關系，解答時涉及到幾何推理與論證、射影的理解、空間直角坐標系的建立以及空間向量的應用等，還要注意極限位置的利用等．

2追根溯源

【模擬題】（2021屆浙江省衢州市高三（上）質檢數學試卷（12月份））如圖2，在Rt△ABC中，BC=1，AB=x，E為斜邊AC的中點．將△ABE沿直線BE翻折．若在翻折過程中存在某個位置，使得AB⊥CE，則x的取值范圍是．

解析：由題意，可得CE=BE=AE=x2+12，AB=x，取AB的中點F，翻折前，如圖3，連接EF，BE，則EF=12.

翻折后，如圖4，連接CF.

由于AB⊥EF，AB⊥CE，而EF∩CE=E，所以AB⊥平面CEF，由CF平面CEF，可得AB⊥CF.

又AB⊥CF，F為AB的中點，可得CA=CB=1，所以CF=1－14x2，

在△CEF中，滿足① x2+12+12＞1－14x2，② x2+12＜12+1－14x2，③ x＞0，

由①②③，解得0＜x＜3.

如圖5，翻折后，當△A1BE與△CBE在一個平面上，此時CE⊥A1B，CE=A1E=BE=AE，∠BAE=∠ABE=∠A1BE.

又∠BAE+∠ABE+∠A1BE=90°，所以∠BAE=∠ABE=∠A1BE=30°，

可得∠C=60°，AB=BC·tan60°，此時x=1×3=3.

綜上，x的取值范圍為（0，3］，故填答案：（0，3］．

顯然，以上模擬題的解法也是原問題的一種基本解法——方法1（幾何法），借助立體幾何與平面幾何之間的轉化與應用，讓立體幾何問題回歸平面幾何實質，借助平面幾何的相關知識加以分析與處理．幾何法的處理過程主要基于平面圖形翻折的變化規律與極限位置情況來分類討論并進行邏輯推理與數學運算等．

3問題破解

除了以上模擬題中的幾何法外，還可以借助其他的技巧方法來解決相應的問題，多思維視角切入，多方法技巧應用．

射影法：

解析：將△ABD沿BD翻折的過程中，如圖6，記點A在底面BCD上的射影軌跡為AA0，連接BA0.

根據三垂線定理，若AB⊥CE，則AB在底面BCD上的射影A1B⊥CE（其中點A1在線段AA0上）.

記∠EBA1=α，∠BAE=∠ABE=∠EBA0=β，則α≤β，

結合A1B⊥CE，可得∠ABA1+∠EAB=π2，即α+2β=π2，

所以α=π2－2β≤β，解得π6≤βlt;π2.又tanβ=1x≥tanπ6=33，解得0lt;x≤3，

所以x的取值范圍為（0，3］，故填答案：（0，3］．

解后反思：根據題設條件，從整體思維視角切入，分析對應點在底面上的射影軌跡，利用立體幾何中的三垂線定理、直角三角形的性質以及三角函數關系來構建不等式與關系式等，進而得以確定變量的取值范圍．從整體思維視角切入時，基于“形”的變化視角，利用射影的基本性質與平面圖形翻折過程中的變化規律進行分析與處理．

坐標法：

解析：如圖7，設A1處為△ABD沿BD翻折后A點所在的位置，以D為坐標原點，DA，DC所在直線分別為x軸、y軸，過點D作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，

則A（1，0，0），B（1，x，0），C（0，x，0）， E12，x2，0，設A1（a，b，c），

則BA1=（a－1，b－x，c），DA1=（a，b，c），CE=12，－x2，0.

由A1D=1，可得a2+b2+c2=1，

而由AB⊥AD，可得BA1⊥DA1，即BA1·DA1=a（a－1）+b（b－x）+c2=0，整理，可得bx=1－a.

又在翻折過程中存在某個位置，使得AB⊥CE，即有BA1⊥CE，可得BA1·CE=12（a－1）－x2（b－x）=0，即x2－bx+a－1=0，可得x2=bx+1－a=2（1－a）.

當將△ABD翻折到圖7中的△A′BD位置時，此時△A′BD位于平面ABCD內，不妨假設此時BA′⊥CE，設垂足為G，作A′F⊥AD的延長線，垂足為F，此時在x軸負半軸方向上，DF的長最大，a取最小值.

由于∠BA′D=π2，故EG∥ A′D，所以∠BEG=∠BDA′=∠BDA，

而∠BEG=∠AED，故∠AED=∠BDA=∠EDA.又AE=DE，故△AED為正三角形，

則∠EDA=π3，可得∠BDA′=∠FDA′=π3，

而A′D=1，故DF=12，則a≥－12，即x2=2（1－a）≤3，解得0lt;x≤3，

所以x的取值范圍為（0，3］，故填答案：（0，3］．

解后反思：根據題設條件，引入空間直角坐標系，利用相關點的坐標，借助空間向量的運算來轉化空間中的點、線、面的位置關系，利用坐標運算這一數學運算形式來巧妙替換相應的邏輯推理與證明，進而得以確定參數的取值范圍．從坐標視角切入時，基于“數”的變化視角，利用空間向量的建立與坐標的運算來進行分析與處理．

4變式拓展

探究：保留平面幾何圖形以及翻折方式，設置不同的選項，以多選題的形式來合理創設問題場景，得到相應的變式問題．

【變式】（多選題）在矩形ABCD中，BC=1，AB=x，BD和AC交于點O，將△BAD沿直線BD翻折，則下列說法正確的是（）.

A． 存在x，在翻折過程中存在某個位置，使得AB⊥OC

B． 存在x，在翻折過程中存在某個位置，使得AC⊥BD

C． 存在x，在翻折過程中存在某個位置，使得AB⊥平面ACD

D． 存在x，在翻折過程中存在某個位置，使得AC⊥平面ABD

故選擇答案：ABC．

5教學啟示

涉及平面圖形翻折成立體幾何的問題，關鍵要理清“動”與“靜”的過程以及變化規律，分清“變”與“不變”的圖形位置、數量關系等之間的聯系，降維分析“三維”空間中某個面的“二維”狀態，合理分析與處理是破解問題的關鍵．

利用平面圖形翻折成立體幾何，借助“二維”升華到“三維”的空間轉化，形成數學思維的跳躍，關注變化規律，有效優化數學思維品質，提升數學解題能力與創新應用意識．