巧思維多方法，妙拓展眾變式

摘要：平面向量自身兼?zhèn)洹靶巍钡奶卣髋c“數(shù)”的性質(zhì)，為平面向量相關(guān)問題的巧妙設置與思維切入提供了更多的應用與空間．結(jié)合平面向量的問題實例，多層次問題剖析，多思維解決切入，多技巧方法解決，多變式角度拓展，多規(guī)律應用總結(jié)，引領(lǐng)并指導數(shù)學教學與解題研究．

關(guān)鍵詞：平面向量；正方形；坐標；平面幾何

平面向量的綜合應用問題一直是高考以及數(shù)學競賽等命題中比較常見的基本題型之一．由于平面向量自身兼?zhèn)洹靶巍钡奶卣髋c“數(shù)”的性質(zhì)，此類問題既是“一題多解”的主陣地，也是“一題多變”的肥沃土壤，可以很好地考查考生的數(shù)學基礎(chǔ)知識、數(shù)學思想方法、數(shù)學能力以及核心素養(yǎng)等，具有較好的靈活性與創(chuàng)新性，倍受各方關(guān)注．

1問題呈現(xiàn)

問題已知四邊形ABCD是半徑為2的圓O的內(nèi)接正方形，P是圓O上的任意一點，則PA2+PB2+PC2+PD2的值為（）.

A． 8B． 16C． 32D． 不能確定

此題以平面幾何為問題背景，通過圓與對應的內(nèi)接正方形來創(chuàng)新設置問題，結(jié)合圓上的動點與正方形的頂點的連線所對應的平面向量，來確定各平面向量的平方和的值．乍一看所要求解的關(guān)系式“PA2+PB2+PC2+PD2”，有點“嚇”人，感覺無從下手，實際上，從平面向量的“形”的特征或“數(shù)”的性質(zhì)等角度來切入，都可以很好地轉(zhuǎn)化，從而實現(xiàn)實際問題的求解與應用．

2問題破解

思維視角一：平面向量思維

方法1：（基底法）

解析：連接OP、OA、OB、OC、OD，如圖所示，則有OA與OC共線，OB與OD共線，則有PA2+PB2+PC2+PD2=（PO+OA）2+（PO+OB）2+（PO+OC）2+（PO+OD）2=4PO2+OA2+OB2+OC2+OD2+2PO·（OA+OB+OC+OD）=8|PO|2+0=16.

故選擇答案：B．

方法2：（坐標法）

解析：由四邊形ABCD是半徑為2的圓O的內(nèi)接正方形知，正方形ABCD的邊長為2，

建立如圖所示的平面直角坐標系xOy，則A（－1，－1），B（1，－1），C（1，1），D（－1，1），設P（x，y），則有x2+y2=2，則有PA2+PB2+PC2+PD2=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=（x+1）2+（y+1）2+（x－1）2+（y+1）2+（x－1）2+（y－1）2+（x+1）2+（y－1）2=4（x2+y2）+8=16，

故選擇答案：B．

解后反思：根據(jù)平面向量自身“數(shù)”的性質(zhì)，從基底角度結(jié)合線性運算來展開與處理，或從坐標角度結(jié)合坐標運算來分析與運算，這是求解平面向量相關(guān)問題最常用的兩種基本方法：基底法與坐標法，一個從向量的線性運算加以展開，一個從平面解析幾何的坐標運算加以展開，都是研究向量問題的通技通法．

思維視角二：平面幾何思維

方法3：（勾股定理法）

解析：連接OP、AC、BD，如圖所示（同方法1中的圖），當P為正方形ABCD的其中一個頂點時，易知PA2+PB2+PC2+PD2=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=16.當P不為正方形ABCD的任意一個頂點時，由四邊形ABCD是半徑為2的圓O的內(nèi)接正方形知，AC與BD為圓O的直徑，即AC=BD=22，∠APC=∠BPD=90°，根據(jù)勾股定理，得PA2+PB2+PC2+PD2=（|PA|2+|PC|2）+（|PB|2+|PD|2）=AC2+BD2=（22）2+（22）2=16.

故選擇答案：B．

解后反思：根據(jù)平面向量“形”的特征，通過平面幾何思維來處理平面向量問題，是破解此類問題的一種技巧方法．借助純平面幾何方法解答是比較“理想”的，通過平面向量的特殊構(gòu)圖，借助平面幾何中的相關(guān)知識、定理、結(jié)論等來分析，從而達到用純平面幾何方法解決平面向量問題的目的．

3變式拓展

探究1：保留題目的創(chuàng)新情境，弱化條件，改變原來的“內(nèi)接正方形”為更一般的條件“內(nèi)接矩形”，得到以下對應的變式問題．考查的知識點、試題的難度等與原題基本相當．

變式1已知四邊形ABCD是半徑為2的圓O的內(nèi)接矩形，P是圓O上的任意一點，則PA2+PB2+PC2+PD2的值為（）.

A． 8B． 16C． 32D． 不能確定

答案：B．

解后反思：變式1的具體的解析過程可以參照以上原問題的解析過程，這里直接省略．進一步加以探究與分析，可以得到更具一般性的結(jié)論：

結(jié)論1已知四邊形ABCD是半徑為r（rgt;0）的圓O的內(nèi)接矩形，P是圓O上的任意一點，則PA2+PB2+PC2+PD2為定值8r2．

探究2：保留題目的創(chuàng)新情境，改變原來的求解“PA2+PB2+PC2+PD2的值”為求解“PA·PB+PB·PC+PC·PD+PD·PA的值”，轉(zhuǎn)化向量的模為數(shù)量積，得到以下對應的變式問題．

變式2已知四邊形ABCD是半徑為2的圓O的內(nèi)接正方形，P是圓O上的任意一點，則PA·PB+PB·PC+PC·PD+PD·PA的值為（）.

A． 8B． 16C． 32D． 不能確定

解析：由四邊形ABCD是半徑為2的圓O的內(nèi)接正方形知，正方形ABCD的邊長為2，建立如圖（原問題的方法2中的圖）所示的平面直角坐標系xOy，則A（－1，－1），B（1，－1），C（1，1），D（－1，1），設P（x，y），則有x2+y2=2，則有PA·PB+PB·PC+PC·PD+PD·PA=（－1－x，－1－y）·（1－x，－1－y）+（1－x，－1－y）·（1－x，1－y）+（1－x，1－y）·（－1－x，1－y）+（－1－x，1－y）·（－1－x，－1－y）=4（x2+y2）=8，

故選擇答案：A．

解后反思：平面向量問題中的模、數(shù)量積、夾角等相關(guān)知識，經(jīng)常是相互聯(lián)系與相互轉(zhuǎn)化的，通過類比思維與邏輯推理，可以找到不同知識點之間的聯(lián)系，從而達到知識點轉(zhuǎn)化與化歸的目的．當然，進一步總結(jié)，也可得到更具有一般性的結(jié)論：

結(jié)論2已知四邊形ABCD是半徑為r（rgt;0）的圓O的內(nèi)接正方形，P是圓O上的任意一點，則PA·PB+PB·PC+PC·PD+PD·PA為定值4r2．

4教學啟示

4.1開拓思維，豐富方法

數(shù)學解題思維的深入與拓展是數(shù)學思維品質(zhì)的高層次之一，也是問題求解的精華與靈魂所在．從平面向量相關(guān)問題的條件背景出發(fā)，可通過平面向量“形”的特征切入，也可通過平面向量“數(shù)”的性質(zhì)切入，它們都是思維方法的切入點，也是問題求解的著陸點．探究平面向量問題可以給我們提供更多層面的思維切入方式，也為相關(guān)平面向量問題的求解與處理提供不同的技巧方法．

4.2一題多變，深入探究

通過對平面向量問題的深入挖掘與變式拓展，從各個不同的層面進行深入的思考，對習題的條件加以變形，涉及到了習題的條件與結(jié)論之間的變換與轉(zhuǎn)化，以及結(jié)論的深入性、一般性研究，條件的一般性與特殊性等不同視角的變形，結(jié)合不同的視角與技巧方法加以分析與解答，實現(xiàn)“一題多變”“一題多得”的上佳效果.從一個題到多個題，從一個層面到多個層面，從一個知識點到多個知識點等，由點到面，不斷拓展，拓寬學生的數(shù)學基礎(chǔ)知識面，讓學生脫離“題海戰(zhàn)術(shù)”，全面提升學生的數(shù)學能力與創(chuàng)新應用意識．