解三角形思維轉化，平面幾何視角直觀

摘要：解三角形作為高考數學試卷中的一類基本知識點與基本考點，常考常新，變化多端．本文結合一道解三角形的模擬問題，或從解三角形思維視角進行合理轉化，或從平面向量思維視角進行直觀分析，這些都是解決問題的基本技巧方法.從而總結歸納規律，引領并指導數學學習與解題研究．

關鍵詞：解三角形；三角函數；平面幾何；正弦定理；余弦定理

解三角形問題有效串聯起初中的平面幾何知識與高中的解三角形、平面向量、三角函數等相關知識，是歷年高考中的一類基本題型與重點知識之一，倍受各方關注．解決此類問題，可以通過解三角形的基本屬性，利用正弦定理或余弦定理等相關公式加以轉化與應用，并綜合三角函數的相關知識來分析與求解；也可以通過平面幾何的直觀屬性，回歸問題本質，通過數形結合，綜合平面幾何的基本性質等來直觀處理；還可以通過平面向量的轉化、平面直角坐標系的坐標運算等思維方法來解決．總而言之，解這類問題時，思維視角眾多，技巧方法各樣，規律策略多變．

1問題呈現

【問題】（2023屆河南省安陽市高三（上）10月畢業班調研考試數學試卷）在△ABC中，點D在邊BC上，若∠ABC=∠CAD=45°，AD=2，△ACD的面積為1+22，則DCBD=．

本題是一道以三角形為平面幾何背景，通過給出三角形中的相關邊長與角度等數據信息，并結合對應三角形的面積，合理確定對應的三角形形狀與大小，進而求解對應線段的比值問題．

2問題破解

2.1思維視角1：解三角形思維

方法1：純解三角形法

解析：如圖1所示，由S△ACD=12·AC·AD·sin∠CAD=12AC=1+22，得AC=1+2.

在△ACD中，由余弦定理，得DC2=AD2+AC2－2AD·AC·cos∠CAD，解得DC=3.

由正弦定理，得ACsin∠ADC=DCsin∠CAD，則有sin∠ADC=AC·sin∠CADDC=1+26.

由余弦定理，得cos∠ADC=AD2+DC2－AC22AD·DC=1－26.

所以sin∠BAD=sin（∠ABC+∠ADB）=sin（45°+180°－∠ADC）=sin（∠ADC－45°）=sin∠ADC·cos45°－cos∠ADC·sin45°=63.

所以在△ABD中，根據正弦定理，可得BDsin∠BAD=ADsin∠ABC，則有BD=AD·sin∠BADsin∠ABC=263.

所以DCBD=3263=324，故填答案：324．

解后反思：根據題設條件中的三角形面積公式以及余弦定理分別確定對應的線段長，并通過正弦定理與余弦定理分別確定相關角的正弦值與余弦值，結合三角形的性質以及三角恒等變換公式來求解對應角的三角函數值，再結合正弦定理來確定相關的線段長，進而得以求解線段的比值．通過正、余弦定理以及三角函數公式來綜合應用，是解決此類問題中的常見技巧方法．

方法2：平面幾何+解三角形法

解析：如圖2所示，過點D作DE⊥AC，垂足為點E.

由∠CAD=45°，AD=2，得DE=AE=1.

由S△ACD=12·AC·DE=12AC=1+22，得AC=1+2，則CE=AC－AE=2.

由勾股定理，得DC=DE2+CE2=3.

設∠CDE=θ，則sinθ=CEDC=63.

因為∠ADC=∠ABC+∠BAD=∠ADE+θ，且∠ABC=∠ADE=45°，所以∠BAD=θ.

所以在△ABD中，由正弦定理，得BDsin∠BAD=ADsin∠ABC.

則有BD=AD·sin∠BADsin∠ABC=AD·sinθsin45°=263，所以DCBD=3263=324.

故填答案：324．

解后反思：根據題設條件，通過輔助線的構建構造直角三角形，通過平面幾何知識確定對應的邊長問題，并結合三角函數的定義以及平面幾何中角之間的關系，結合正弦定理來確定相關的線段長，進而求得線段的比值．該解法綜合利用平面幾何法與解三角形法，兩種方法相互彌補，共同完成．

2.2思維視角2：平面幾何思維

方法3：解三角形+平面幾何法

解析：如圖1所示，由S△ACD=12·AC·AD·sin∠CAD=12AC=1+22，得AC=1+2.

在△ACD中，由余弦定理，得DC2=AD2+AC2－2AD·AC·cos∠CAD，解得DC=3.

因為∠ABC=∠DAC=45°，∠C=∠C，所以△ABC∽△DAC，

所以ACBC=DCAC，即BC=AC2DC=3+223=3+263，BD=BC－DC=263.

所以DCBD=3263=324，故填答案：324．

解后反思：根據題設條件中的三角形面積公式以及余弦定理分別確定對應的線段長，根據兩三角形中角的關系，結合相似三角形的判定與性質構建對應邊的關系式，進而得以確定對應的線段長，為最后求解線段的比值提供條件．該解法中的平面幾何法的處理利用了相似三角形的判定與性質，為線段或角的關系與確定指明方向．

方法4：純平面幾何法

解析：如圖2所示，過點D作DE⊥AC，垂足為點E.

由∠CAD=45°，AD=2，得DE=AE=1.

因為S△ACD=12·AC·DE=12AC=1+22，所以AC=1+2，CE=AC－AE=2.

由勾股定理，得DC=DE2+CE2=3.

因為∠ABC=∠DAC=45°，∠C=∠C，所以△ABC∽△DAC，

所以ACBC=DCAC，即BC=AC2DC=3+223=3+263，BD=BC－DC=263.

所以DCBD=3263=324，故填答案：324．

解后反思：根據題設條件，通過輔助線的構建構造直角三角形，通過平面幾何知識確定對應的邊長問題，并結合相似三角形的判定與性質構建對應邊的關系式，得以確定對應的線段長以及對應的線段的比值問題．該解法借助純平面幾何知識，利用一個從初中生的視角都可以得以解決的方法來處理，簡單易懂，直觀有效．

3變式拓展

通過以上模擬題及其解析過程，無論是解三角形思維或平面幾何思維，其中求解線段BD的長度是問題的重點與關鍵所在，直接變換問題的求解方式，可以得到與之相關的對應以下兩個變式問題．

【變式1】在△ABC中，點D在邊BC上，若∠ABC=∠CAD=45°，AD=2，△ACD的面積為1+22，則BD=．

答案：263．

【變式2】在△ABC中，點D在邊BC上，若∠ABC=∠CAD=45°，AD=2，△ACD的面積為1+22，則∠BAD的正弦值為．

答案：63．

4技巧總結

對于以上此類解三角形問題中的求值問題或創新應用問題，解決的主要技巧方法有以下兩種思維：

（1） 解三角形思維，利用解三角形中的正弦定理、余弦定理，以及三角恒等變換公式等求出三角形的邊或角．不過利用正弦定理、余弦定理的方法，需要根據條件選擇合適的三角形進行求解，往往數學運算量比較大，有時可以通過構造直角三角形等方式來簡化運算，此法是解決此類問題的基本方法.

（2） 平面幾何思維，利用平面幾何知識求出三角形中的相關線段長或角度等．平面幾何法在處理平面幾何中的線段長、方面相對比較便利，只是往往需要正、余弦定理作為輔助來完成，也需要有一定的平面幾何功底．

以上兩種技巧方法中，解決問題各有優勢，解三角形思維側重邏輯推理與數學運算，平面幾何思維側重直觀分析與邏輯推理，可以根據具體情況合理選擇.有時也可以是兩種技巧方法加以合理融合與交叉，綜合應用與處理問題．

在實現問題的解決與操作時，有時還可以結合平面向量的方法、平面直角坐標系的構建法等來分析與處理，也可以達到解決問題的目的．