再談圓錐曲線與函數、不等關系的綜合考查

欒功　顏紫葉　肖玉霞

［摘 要］文章通過對2023年新高考Ⅰ卷數學第22題的解法進行探究，揭示了2023年新高考數學試題的一大新亮點：圓錐曲線與函數、不等關系深度綜合，為2024年高三數學復習備考提供參考。

［關鍵詞］圓錐曲線；函數；不等關系；綜合考查；新高考

［中圖分類號］ G633.6 ［文獻標識碼］? A ［文章編號］ 1674-6058（2023）26-0001-03

新時代背景下的教學改革與高考評價改革同向同行。隨著全國各省新一輪教材的使用，截至2023年7月，全國已有29個省份啟動新高考改革。近4年新高考數學試題的命題在逐步趨于穩(wěn)定的同時，突出了一些新的亮點。筆者在本刊2023年第20期的文章中以2023年全國甲卷理科第20題為例論述了2023年高考數學試題的一大亮點：解析幾何與函數深度綜合。下面筆者以2023年新高考Ⅰ卷數學第22題為例，再談2023年高考數學試題的另一大新亮點：圓錐曲線與函數、不等關系深度綜合。

一、 試題呈現

（1）求[W]的方程；

分析 試題第（1）問以考生熟悉的拋物線的定義為知識背景，考查拋物線的概念和求動點軌跡方程的基本方法；第（2）問將一個邊長可變的矩形與拋物線結合，考查矩形周長的最小化問題，看似是考生熟悉的弦長問題，實則極具創(chuàng)新性，將圓錐曲線中的弦長問題與絕對值函數、三角函數、導數研究函數的性質深度綜合，注重思維過程，突出考查考生的數學素養(yǎng)，有助于拔尖創(chuàng)新人才的選拔。

二、試題溯源

題源1 （新人教A版數學選擇性必修第一冊第146頁“復習參考題3”第10題，圖略）已知直線與拋物線[y2=2pxp>0]交于[A]，[B]兩點，且[OA⊥OB]，[OD⊥AB]交[AB]于點[D]，點[D]的坐標為[2，1]，求[p]的值。

題源2 （2002年全國高中數學聯賽第13題，圖略）已知點[A0，2]和拋物線[y2=x+4]上兩點[B、C]，使得[AB⊥BC]，求點[C]的縱坐標的取值范圍。

題源3 （1998年上海市高中數學競賽第三大題，圖略）已知在拋物線[y=x2]上有一個正方形的三個頂點[A]、[B]、[C]，求這個正方形面積的最小值。

題源1源于教材習題，與上述試題在幾何特征上有相同的本質，都是直角三角形與拋物線相結合，區(qū)別在于題源1是確定性問題，而上述試題是雙動點問題，源于教材而高于教材，起到引導教學、回歸教材的作用。題源2與題源1相比，由確定性問題上升為動態(tài)問題。題源3與上述試題幾乎相同，歷年的競賽試題往往蘊含著豐富的數學思想方法，一線教師需引起重視。

三、 解法探究

對于復雜的問題，考生可先從較為特殊的情況入手探尋思路。如圖1所示，本題最特殊的情況就是矩形有一個頂點和拋物線的頂點重合，與題源1相同，考生自然清楚這是關于直線[BC]斜率[k]的函數問題。由于本題中矩形與拋物線搭接形式的開放性，我們需要順勢思考更為一般的情況。如圖2所示，矩形的四個頂點有三個頂點在拋物線上，則這三個點不可能同時出現在[y]軸的同側，結合拋物線的對稱性，從邏輯意義上我們不妨只考慮圖3的情況，記點[A、B、C]在拋物線上，且點[A]在[y]軸的左側，點[B]、[C]依次出現在[y]軸的右側。下面從不同角度設參求解。

評析：設線求解弦長是解答這類問題的通性通法，大部分考生都會想到這一步，解題困難主要在于矩形周長取值范圍的求解。由于矩形邊長的可變化性，致使矩形周長的表達式出現了雙變量，這讓絕大部分考生望而卻步。該解法選擇先固定主元再求解的思路，是解決雙變量問題的常見方法。在具體的函數最值求解過程中，不論是去絕對值的分類討論，還是運用導數求解目標函數的單調性，都將函數與圓錐曲線的綜合體現得淋漓盡致。試題命制之新穎，解答之根本，都無不讓人贊嘆不已。

評析：該解法建立在洞悉試題背后的數學本質之上，通過兩個“不妨設”和代數代換，避免了解法1的分類討論，體現了“多想少算”的命題意圖，對考生的數學思維能力要求較高。

評析：該解法的本質是借助直線的方向向量探尋矩形[ABCD]有三個頂點落在拋物線上的充要條件，對考生的動態(tài)思維能力和化歸與轉化問題的能力要求較高。

四、 回顧反思

回顧以上解法，解題思路皆源于對相關數學概念本質的理解，進一步探究，便有如下思考：

我們可做如下嘗試：

這里巧妙地借助[k]的范圍對表達式進行初步放縮，從而接著利用三角不等式放縮消元，將二元函數問題轉化為一元函數問題。試題巧妙地將解析幾何、函數、不等關系融合在一起，加大了對數學思維的考查，為不同層次的考生發(fā)揮水平提供了空間。

思考3 新時代下的高三數學復習教學的重心在哪里？從解題分析來看，試題的命制源于基礎性、本源性知識，發(fā)展于各知識模塊之間的聯系。從新高考試題體現的這兩大亮點來思考，高三復習教學的重心應落在基本概念、公式、原理等本源性知識的理解上，落在知識體系的構建上，落在學生思維能力的培養(yǎng)上。當然，高一、高二基礎年級的教學更應如此。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 2002年全國高中數學聯賽［J］.中等數學，2002（6）：19-24.

［2］? 李大元，劉鴻坤，熊斌，等.1998年上海市高中數學競賽［J］.中等數學，1999（3）：28-29.

［3］? 教育部教育考試院.高考試題分析：數學：2024年版［M］.北京：語文出版社，2023.