“思想共生、素養共長、文化共育”數學教學探究*

岳紹杰|山東省東營市東營區教學研究室

于 彬|山東省東營市勝利第六中學

蔣立國|山東省東營市東營區黃河中學

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱“《課程標準》”）明確了核心素養的內涵及主要表現，提出要讓學生“獲得適應未來生活和進一步發展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗”，要求“關注數學學科發展前沿與數學文化，繼承和弘揚中華優秀傳統文化”.然而，當前數學課堂教學中“重知識、輕素養、缺文化”的現象仍然普遍存在，這是因為一線教師并未足夠重視對學生進行“思想的滲透、素養的培育、文化的浸潤”.基于此，筆者以參加山東省“黃河文化育人資源的整合與運用”現場會為契機，設計并展示了“認識二元一次方程組”一課，旨在落實《課程標準》提出的新理念，實現“思想共生、素養共長、文化共育”，下面詳細介紹.

一、“思想共生、素養共長、文化共育”下的內容及教學解析

（一）內容解析

“認識二元一次方程組”是北師大版義務教育教科書《數學》八年級上冊第五章的內容，是該章起始課，旨在引導學生感受二元一次方程（組）學習的必要性，及其在解決問題中的優越性等.二元一次方程組是一類最簡單的線性方程組，它是刻畫現實世界數量關系的一個有效數學模型，也是學習數學乃至物理、化學等其他學科知識的重要基礎.“認識二元一次方程組”一課既是一元一次方程的延續，又是進一步學習其他方程的前提，與研究一元一次方程的“基本套路（定義、解法、應用）”相同.該課蘊含豐富的數學思想、數學素養、數學文化.

數學思想：方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型、類比思想、建模思想.

數學素養：模型觀念、運算能力、應用意識.

數學文化：該章“章前圖”為學生呈現了古老的數學問題——雞兔同籠；該章第1、2個情境分別以圖文并茂的形式為學生呈現了《希臘文選》中記錄的“歐幾里得問題”及現實生活中的“購票問題”.

此外，該章引言為學生提供了內容學習的路徑和方法，該章第2 個情境還意在引出“二元一次方程（組）解”的概念，教師應對其有足夠的重視.

立足上述分析，為體現單元整體設計和學科育人理念，筆者結合本地實際情況，創設“‘保護濕地生態傳承黃河文化’主題研學旅行”大情境，在保證實現該章第1、2 個情境目的的基礎上，著重引導學生于欣賞家鄉美的同時，領略黃河文化的魅力，感受環境保護的必要性，并確定這節課的教學重點：了解二元一次方程（組）的概念及其解的意義.

（二）教學目標及解析

《課程標準》對這節課的要求是：能根據現實情境理解（二元一次）方程的意義，能針對具體問題列出（二元一次）方程；理解（二元一次）方程解的意義.由此，筆者設計這節課的教學目標并作解析.

1.教學目標

目標1：在具有文化意味的情境問題的解決中，再次感受（二元一次）方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型.

目標2：在具有文化意味的情境問題的解決中，概括二元一次方程（組）的概念；體會二元一次方程（組）解的意義.

目標3：在具有文化意味的研學過程和課堂學習中，培養保護環境和自強愛國的個人情懷，培育模型觀念、運算能力、應用意識等核心素養.

2.目標解析

目標1達成的標志是：學生能在具體情境中發現兩組等量關系，并在靈活設置未知數的基礎上，準確列出方程.

目標2達成的標志是：學生能通過相應的探究活動說出二元一次方程（組）的概念；學生能說出二元一次方程（組）解的概念，并能判斷出一組數是不是某個二元一次方程組的解.

目標3達成的標志是：學生能感受到“數學來源于生活，又服務于生活”，體會到二元一次方程（組）學習的必要性，及其在解決問題中的優越性；學生能在具體情境和問題解決中種下“保護環境”和“自強愛國”的種子，逐漸成長為“有理想、有本領、有擔當”的“三有”時代新人.此目標屬于情感、態度與價值觀方面的目標，需要在長期過程中慢慢形成.

（三）教學問題解析

通過一元一次方程相關內容的學習，學生基本具備了在具體情境中尋求一組等量關系的能力，能夠用一元一次方程解決現實生活中的實際問題，具備了學習新方程的能力和條件，但學生對“元”和“次”的認識，僅限于“一元”“一次”的感性認識，且難以利用方程表示相對復雜的等量關系.學生已有基礎及其與目標的差距分析如表1所示.

表1 學生已有基礎及其與目標的差距分析

通過上述分析，筆者確定這節課的教學難點：在具體情境中，發現（兩組）等量關系，列出二元一次方程（組）.

二、“思想共生、素養共長、文化共育”數學教學設計說明

（一）思想共生

《課程標準》要求培養學生的數學基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗，而由于思想具有再生性，教學中對基本思想的滲透至關重要.

教師可先引導學生在回顧一元一次方程知識的基礎上，通過類比思想，幫助學生自主建構二元一次方程（組）的基礎知識（定義及其解的概念），然后在小結中為其他方程的學習進行“預設”，以充分體現類比思想的重要作用.教師應將建模思想貫穿教學始終，化解學生后續在“應用”學習中的壓力，以實現類比思想和建模思想等不同數學思想的共生.

（二）素養共長

在中國學生發展核心素養方面：先引導學生欣賞諸如“山東黃河三角洲國家級自然保護區”的宣傳片，感受環境保護的必要性，培養“責任擔當”素養；再引導學生通過類比的方法，自行歸納二元一次方程（組）的定義及其解的概念，積極踐行“學會學習”素養的培育；最后，設計多個反思環節，引導學生及時進行梳理總結，將新知納入原有知識體系，爭做“勤于反思”的好學生.

在數學學科核心素養方面：先引導學生用數學的眼光觀察現實世界，在相關情境中提出數學問題；再引導學生用數學的思維思考現實世界，并提供類比這一思維支架，使其展開自主思考和探究；最后引導學生用數學的語言表達現實世界，用自己的語言自行歸納并獲得二元一次方程（組）的定義及其解的概念.

教師要通過相關問題的解決和情境的分析，培育學生模型觀念、應用意識等核心素養，為落實《課程標準》的總體目標和要求進行積極的探索和實踐，實現中國學生發展核心素養和數學學科核心素養的共長，或學生數學學科各核心素養的共長.

（三）文化共育

中華文明源遠流長，孕育了中華民族的優秀精神品格，培育了中國人民的崇高價值追求，在課堂教學中具有很好的育人價值.2021年2 月，《中華優秀傳統文化進中小學課程教材指南》正式頒布，標志著傳統文化進課堂勢在必行.

為更好地發揮數學學科的育人價值，教師要充分挖掘地域文化，如可通過“‘保護濕地生態傳承黃河文化’主題研學旅行”這一大情境，引導學生在知識掌握的同時，感受黃河文化中所蘊含的“家國天下、自強不息、崇德尚義、樂知天命、兼收并蓄”等內涵精髓.教師應充分發揮數學學科本身所具有的理性精神，在問題探究和解決中，培養學生嚴謹的數學思維和堅毅的數學品格.此外，教師還要融入部分數學文化類題目（歐幾里得問題、雞兔同籠問題等），使學生在耳濡目染中提升文化認同和文化自信，實現數學文化和黃河文化的共育.

三、“思想共生、素養共長、文化共育”數學教學設計案例

筆者以“思想共生、素養共長、文化共育”為視角，嘗試對“認識二元一次方程組”進行教學設計.

（一）創設情境，疑點反思

筆者播放“山東黃河三角洲國家級自然保護區”的宣傳片，創設“‘保護濕地生態傳承黃河文化’主題研學旅行”大情境，并將之細化為若干小情境，引導學生感受家鄉美，學會用數學的眼光觀察現實世界，并從中發現或提出數學問題.

［情境1］已知某研學小組師生共6 人，買門票花費240 元（成人門票60 元，學生半價），根據這些情況，你能提出哪些數學問題?

［預設］教師和學生分別有多少人？用一元一次方程解決（設一個未知數），但有部分學生可能會設兩個未知數.

［情境2］同學們乘坐景區內游船，體驗“黃藍交匯”的曠世奇觀.1艘東方白鸛號游船可乘坐16人，1艘丹頂鶴號游船可乘坐22人.丹頂鶴號游船數的一半比東方白鸛號游船數的2倍少1，兩種游船共載164人，每艘游船沒有空位.根據這些情況，你能提出什么數學問題？

［預設］各有多少艘游船？嘗試用一元一次方程解決，但是對部分學生來說存在一定困難；進而設兩個未知數，抽象等量關系，列出方程.

［師生活動］通過教師引導和學生自主探究，學生在情境1和情境2中抽象出等量關系，然后列出方程.情境1 可用“設一個未知數或兩個未知數”的方法輕松得到方程；情境2 在用“設一個未知數”解決時可能會存在一定的困難，所以教師可引導學生“設兩個未知數”，通過等量關系列出方程.

設計說明：以有關聯的兩組情境，引導學生由易到難，在逐步應用類比思想解決問題的過程中，去體會建模思想，為實現“思想共生”奠定基礎.通過“‘保護濕地生態傳承黃河文化’主題研學旅行”這一大情境，引導學生在“購票”和“乘坐游船”等實際問題中，發現或提出數學問題，讓學生用數學的眼光觀察現實世界，培育學生的數學學科核心素養，同時引導學生在感受“黃河之水天上來，奔流到海不復回”的壯觀和欣賞“山東黃河三角洲國家級自然保護區”美景的過程中，感受家鄉的美麗富饒、祖國的繁榮昌盛，培養“愛祖國愛家鄉”的家國情懷，實現中國學生發展核心素養的培育，由此為實現“素養共長”奠定基礎.該環節還滲透黃河文化，為后續實現“文化共育”奠定堅實的基礎.

（二）嘗試解疑，問題反思

［任務1］復習一元一次方程，了解其定義、解法、應用.

［預設及師生活動］教師搭建腳手架，引導學生回憶“元”和“次”的概念.在情境1的基礎上，學生回憶一元一次方程學習的“基本套路”，并在“問”和“追問”中重建已有知識體系，明晰“元”和“次”的概念.隨后，教師出示這節課的教學目標.

設計說明：回憶一元一次方程中“元”和“次”的概念，引導學生利用類比思想，為后續順利建構二元一次方程（組）的概念作鋪墊，體現“思想共生”.學生在重建知識體系的過程中，可加強會用數學的思維思考現實世界的能力，并能為后續會用數學的語言表達二元一次方程（組）及其解的概念奠定基礎，體現“素養共長”.此外，出示教學目標，滲透這節課及整章的研究思路和方法，能體現知識的系統性和一致性.

（三）問題解決，應用反思

【任務2】二元一次方程的定義.

觀察思考：以上幾個方程具有哪些共同特征？

［預設及師生活動］在類比一元一次方程定義的基礎上，學生可以輕松地用自己的語言給出二元一次方程的定義；教師以“追問”引導學生進行完善，進而獲得準確的定義.

設計說明：引導學生在類比的基礎上，自行歸納獲得二元一次方程的定義，體現“思想共生”.

［任務3］二元一次方程組的定義.

問題1：在情境1 中得到的兩個方程中，x所代表的對象相同嗎？y呢？

問題2：在情境2 中得到的兩個方程中，x所代表的對象相同嗎？y呢？

［預設及師生活動］上述問題要求學生獨立完成.學生在“腳手架”問題的指導下，給出問題的答案，并自行歸納二元一次方程組的定義.教師進行完善和補充.

設計說明：以問題的形式呈現，引發學生自主探究的欲望，在對二元一次方程組定義的自行歸納、完善中，不斷提高學習能力和反思能力，發展數學學科核心素養，體現“思想共生”“素養共長”.

［任務4］二元一次方程（組）的解.

問題3：在考慮情境1實際情況的前提下，你能找到哪些x、y的值適合方程x+y＝6？你有什么發現？

問題4：如果不考慮情境1的實際情況，你還能找到哪些x、y的值適合方程x+y＝6？你有什么發現？

［預設及師生活動］在教師提示性問題的引導下，學生自主完成表格（略）填寫，并獲得相關結論.

設計說明：引導學生在具體情境和數學問題中，感受二元一次方程解的意義，加深印象，并運用類比的方法自行歸納其解的概念，體現“思想共生”.

問題5：按照同樣的方法，你能找到哪些x、y的值適合方程60x+30y＝240？

問題6：對比兩個表格（如圖1所示），你有什么發現？

圖1 x+y＝6與60x+30y＝240的解對照表

［預設及師生活動］在教師提示性問題的引導下，學生自主完成表格填寫并獲得結論.

設計說明：引導學生類比一元一次方程的定義及解的概念，獲得二元一次方程（組）的定義及解的概念，體現“思想共生”.同時，運用類比的方式還在于引導學生“學會學習”，使其在會用數學的語言表達現實世界的基礎上，發展中國學生發展核心素養，進而實現“素養共長”.

（四）課堂練習，方法反思

練習1：如果關于x、y的方程2xm-1-y4+n=7是二元一次方程，則m＝___，n＝___.

練習2：判斷下列方程組是否是二元一次方程組？并說明理由.

練習3：下面4組數值中，哪些是二元一次方程2x+y＝10的解？

練習4：根據題意列出方程組：驢子和騾子馱著貨物并排走在路上，驢子不停地埋怨馱的貨物太重，壓得受不了.騾子對驢子說：“你發什么牢騷啊！我馱的比你馱的更重.倘若你的貨給我1口袋，我馱的貨比你馱的貨重1倍；而我若給你1口袋，咱倆才剛好一樣多.”驢子和騾子各馱幾口袋貨物？（歐幾里得問題，出自《希臘文選》）

［預設及師生活動］學生獨立完成，教師適時點撥.

設計說明：通過練習1～3 鞏固二元一次方程（組）及其解的定義，將新知納入原有知識體系；練習4 以數學文化題的形式呈現，引導學生在感受黃河文化源遠流長的基礎上，進一步體會數學文化的博大精深，培養學生的學習興趣和愛好.該環節引導學生鞏固二元一次方程及二元一次方程組的定義及其解的概念，體現“思想共生”；同時，引入數學文化，實現數學文化和前述黃河文化的“文化共育”.

（五）課堂總結，提升反思

追問1：這節課的知識，你是怎么得到的？

追問2：你掌握的方法能解決什么問題？

追問3：你在哪些方面還有待加強？

追問4：你還要學習什么？

［預設及師生活動］教師以“追問”的形式給出問題，幫助學生進一步明確這節課需要掌握的知識、思想、方法，以及后續需要研究的內容.教師引導學生在回顧這節課所學知識的同時，初步建構整章甚至整個初中階段“方程、不等式、函數”的學習體系（如圖2 所示），體現《課程標準》提出的單元整體教學理念.

圖2“方程、不等式、函數”的學習體系

設計說明：將方程的學習置于整個初中階段“數與代數”的學習，引導學生運用類比思想建構知識體系，體現“思想共生”.以追問1和2引導學生反思回顧這節課的學習過程，為學生課后預習指明思路.以追問3 和4 引導學生反思這節課需要提高的地方，比如回答問題的積極性、解決問題的嚴密性等，為學生后續學習奠定基礎，指向“學會學習”.在培育學生模型觀念、運算能力、應用意識等核心素養的同時，也培育了責任擔當、家國情懷等中國學生發展核心素養，從而實現“素養共長”.

［教師寄語］黃河文化的豐富內涵包括家國天下、自強不息、崇德尚義、樂知天命、兼收并蓄等.作為青少年的我們，要厚植家國情懷、涵養進取品格，以奮斗姿態激揚青春，不負時代，不負華年.

設計說明：通過教師寄語，引導學生體會二元一次方程（組）在解決現實生活問題中所發揮的重要作用，進而喜歡數學.同時，與開課之初前后照應，再次滲透黃河文化，體現“文化共育”，建構“數學思政、立德樹人”的閉環，引導學生爭做“有理想、有本領、有擔當”的時代新人.

（六）布置作業，梳理反思

達標檢測作業如下.

（1）下列不是二元一次方程組的是（）

（3）根據題意列出方程組：今有雞兔同籠，上有35頭，下有94足，問雞兔各幾何？（雞兔同籠問題，出自我國古代數學名著《孫子算經》）

基礎作業及實踐作業如下.

（1）基礎作業：共10 題，其中選擇題4 題，填空題3題，解答題3題，每種題型里面分層呈現（要求當天完成，限于篇幅，此處省略）.

（2）實踐作業（任選一題完成）：

①結合研學之旅，根據具體情境（參考情境1或情境2），自編一個可以用二元一次方程組來解決的實際問題.

②嘗試在我國古代數學著作《孫子算經》或《九章算術》中找出一個可以用二元一次方程組來解決的實際問題.

［預設及師生活動］學生獨立完成達標檢測作業，教師公布答案，學生交換批改.在達標檢測作業中設計“雞兔同籠”問題，意在引導學生進一步感受我國古代數學文化的博大精深.對短作業（基礎作業），學生要在課后20 分鐘內完成.長作業（實踐作業）貫穿該章學習的始終，其中第①題與這節課創設的情境一致，旨在引導學生持續發現現實生活中的數學問題，第②題體現這節課設計的“數學文化”線，旨在引導學生自主探究，提高學習能力和學習興趣，為后續二元一次方程組解法的學習作鋪墊.

設計說明：通過一組練習鞏固這節課學習的“二元一次方程（組）”，實現“堂堂清、日日清”.作業是學生鞏固知識、形成能力、培養習慣的重要載體，也是教師了解學情、完善教學管理的重要手段.在“雙減”背景下，上述作業設計力求做到“讓不同的學生得到不同的發展”，并體現以下指導思想：控制數量，提高質量；分層作業，面向全體；注重基礎，培育素養.在達標檢測中，引導學生勤于反思，形成中國學生發展核心素養，同時深化應用意識等數學學科核心素養，實現“素養共長”.此外，該環節回應課堂教學的主線，給出兩個實踐作業，一個指向“黃河文化”，一個指向“數學文化”，從而進一步實現“文化共育”，將學科育人落到實處.

綜上，筆者以“思想共生、素養共長、文化共育”為設計理念，分析教材相關內容所蘊含的數學思想、數學素養、數學文化，根據中國學生發展核心素養與數學學科核心素養的培育要求，有機融入本土文化，給出了“認識二元一次方程組”的教學設計思路與方案.在教學實踐中，筆者發現，這能有效地激發學生的學習興趣，使其在文化的浸潤中自覺主動地進行探究性學習，進而體會數學思想的奧妙，發展高階思維，涵養家國情懷，提升責任擔當意識.筆者期待能有更多的同行參與進來，給出更多富有思想、素養、文化的精彩課例，為初中數學乃至其他學科教學的高質量發展貢獻力量.