細分曲面切削加工仿真技術

王彩年

通用技術集團大連機床有限責任公司 遼寧大連 116620

1 序言

在工業領域中，為實現機械特殊的功能，具有復雜形狀零件的應用越來越廣泛，這對零件設計和加工都提出了更高的要求。對比傳統NURBS建模方法，細分曲面建模方法在復雜形狀零件的設計和加工方面更具優勢。

數控加工仿真時，需要首先將加工模型進行離散化處理，從最初的離散化模型[1]，逐漸發展為基于實體模型表示的數控加工仿真技術[2]。HUNT等[3]最早將CSG與數控加工仿真相結合，SU等[4]將CSG用于實時碰撞干涉檢測。B-rep表示法最早由BRAID[5]提出。在B-rep表示法的基礎上，為提高仿真效率，FLEISIG等[6]創建了加速幾何建模方法。但是由于細分曲面加工模型往往具有復雜的形狀和大量的數據，直接采用現有方法會導致數控加工仿真效率降低[7-10]。綜上所述，本文通過研究毛坯模型構建、切削刀位點判斷和誤差分析等數控加工技術的關鍵環節，提出高性能數控加工仿真技術方法。

2 毛坯模型網格細分

毛坯模型如圖1所示。一般數控加工都是由上至下分層切削加工，因此毛坯上表面常常被設置為加工部分。毛坯模型上表面的網格離散非常重要。實際上，粗加工和精加工對毛坯模型表示精度有著不同的需求。粗加工的加工模型的表示精度要遠低于精加工。因此，可以先構建一個較粗的網格作為粗加工的毛坯模型。具體方法如下。

圖1 毛坯模型

細分曲面初始控制網格，通過細分n次獲得粗加工模型的極限網格，以ds表示同一細分曲面面片中網格邊的長度。進一步進行平均值計算。計算所求的平均值dm即為粗加工毛坯上表面離散網格間距，具體計算公式為

式中，m表示精加工模型的細分次數，m>n。

粗加工仿真后，再將毛坯模型上表面細分（m-n）次，即可獲得精加工毛坯模型。

3 切削刀位點判斷

3.1 遍歷毛坯節點

如圖2所示，毛坯上表面區域范圍由大矩形表示，刀具掃描面區域范圍由剖面線矩形表示。毛坯節點的幾何坐標位于掃描面內部，表示方法為

圖2 毛坯節點與掃描面的關系

式中，Xmax（Xmin）為毛坯頂點在X坐標軸向的最大（最小）坐標分量（mm）；Ymax（Ymin）為毛坯頂點在Y坐標軸向的最大（最小）坐標分量（mm）；xmax（xmin）為刀具掃描面在X坐標軸向的最大（最小）坐標分量（mm）；ymax（ymin）為刀具掃描面在Y坐標軸向的最大（最小）坐標分量（mm）。

同理可得掃描面與毛坯不存在交集滿足

3.2 判斷刀具掃描域

遍歷毛坯節點后，分析毛坯節點與刀具掃描面（見圖3）的位置關系。如果毛坯節點位于刀具掃描面內部，判斷毛坯節點能否進行下一步的計算分析，主要依據是節點能否先后符合式（2）～式（5）的要求。

圖3 毛坯節點與刀具掃描面

設兩刀位點分別是M（XM、YM、ZM）和N（XN、YN、ZN），則以這兩個刀位點為基礎構成的X軸、Y軸以及Z軸的方向向量，分別可以用如下形式表示：a=XN－XM，b=YN－YM，c=ZN－ZM。由于以上3個方向向量具有對應的比例關系，依照此關系進一步分析研究可得

式中：x、y、z分別表示毛坯節點笛卡爾坐標系下的對應數值；Xc、Yc、Zc分別表示毛坯節點向刀具軌跡做垂線垂心的三維坐標值。

當t＝0時，可判定刀位點M（XM，YM，ZM）與毛坯節點的幾何坐標發生重疊；當t＝1時，代表刀位點N（XN，YN，ZN）與毛坯節點的幾何坐標發生重疊。此時表明輔助坐標軸已經完成構建。

當t＝0時，表示輔助坐標軸的原點可以用M點表示，根據式（7）能夠實現對原始坐標軸中的坐標進行轉化，轉化后的數值結果即為輔助坐標軸的三維坐標值。

3.3 切削毛坯節點位置計算

以環形銑刀為例獲得刀具的掃描域形狀，將掃描域分為若干部分來進行毛坯節點位置的數學表達。其他刀具同理。

如圖4所示，環形銑刀的刀具掃描域可以分為三部分：以M點和N點為分界，M點以左的區域表示為第一部分；M點和N點之間的區域表示為第二部分；N點以右的區域表示為第三部分。其中大徑半圓的尺寸用R表示；小徑半圓的尺寸用r表示，兩半圓間的距離用Rc表示。以此可確定判斷環形銑刀的刀具掃描域材料切削的數學表達式為

用P（x、y、z）對毛坯中的任意節點進行表示。當其符合式（8）時，可對二者位置關系進行判定，確定刀具掃描體此時位于刀具掃描域的第一部分。依據環形銑刀的自身特點，毛坯節點的位置可進一步判定為兩種情況：一是毛坯節點的幾何坐標處在圓環之間；二是毛坯節點的幾何坐標處在環形銑刀平面圓內的區域。具體計算公式為

倘若點P符合式（9），可判定毛坯節點的幾何坐標位于底面圓的內部區域，以此可確定變更P節點處在掃描面內的Z坐標，同時X坐標和Y坐標保持不變，計算公式為

倘若P點符合式（11），即可判定毛坯節點處在圓環區域中。

當毛坯節點位于刀具掃描體內M點和N點之間的第二部分時，毛坯節點P（x、y、z）滿足式（12）。中間部位可進一步分為兩種情況：一是毛坯節點位于刀具掃描域的圓環區域內；二是毛坯節點位于刀具掃描域的矩形部位，即毛坯節點在刀具底部平面區域內。

倘若P點符合式（13），可判定P點幾何坐標處于加工刀具底面掃描域的區域內，則保持掃描面的X坐標和Y坐標不變的同時，進一步確定該毛坯節點P的Z坐標為

倘若P點不能同時符合式（11）及式（13），可判定P點幾何坐標處于刀具掃描域的圓環區域內，對刀具掃描體中四分之一球的圓心計算是此時的研究難點。依據式（15）可以實現對球心Ot（xt、yt、zt）的計算

進而根據公式（16）得到z的值

倘若P（x、y、z）點符合式（17），可判定刀具掃描體位于刀具掃描域中N點以右的第三部分。依據環形銑刀的自身特點，毛坯節點的位置可進一步判定為兩種情況：一是毛坯節點的位置處在圓環間的區域；二是毛坯節點位置處在環形銑刀平面圓內的區域。

倘若P點符合式（18），可判定毛坯節點位置處在底部的平面圓區域內，保持掃描面毛坯節點P的X、Y坐標原數值，Z坐標修改為式（19）

倘若P點符合式（20），可判定毛坯的節點幾何坐標處在圓環的幾何區域范圍內，保持掃描面的X坐標和Y坐標原數值的同時，可依據環形銑刀圓角的公式模型進行計算，以此確定P點的Z坐標。

分析比較毛坯節點的z值以及式（19）計算得出的Z值。倘若Z

4 毛坯加工誤差分析

在加工模型上搜索毛坯模型頂點的最近距離點對是毛坯加工誤差分析的基礎。基于細分曲面多分辨力采樣方法，可以實現最近距離點對的快速搜索。圖5表示多分辨率采樣搜索方法，其中正方形表示擇優點；黑色圓點表示采樣點。最后在黑色區域擇優選取最近點，其所在的空間范圍為下次采樣范圍。

圖5 多分辨率采樣搜索方法

因此擇優點可表示為

式中，表示第n次選取的擇優點；表示擇優點的行索引；代表擇優點的列索引。

對于第n次搜索的4個采樣點、、、，第n-1次擇優點索引值為、，則可以得到從第2次到第n－1次獲得采樣點的公式

5 加工實例驗證

采用圖6所示的細分曲面模型作為加工模型，粗加工采用環形銑刀；半精加工和精加工采用球頭銑刀對加工模型進行數控加工試驗。粗加工、半精加工和精加工階段的刀具軌跡如圖7所示。

圖6 加工模型

圖7 3個加工階段的刀具軌跡

各加工階段的加工仿真和加工試驗結果如圖8所示。

圖8 3個加工階段的仿真和試驗結果

從加工誤差分析色圖（見圖9）可以看出，顏色由藍到黃表示加工誤差由小變大。圖中誤差分析結果表明，該加工試驗的加工誤差較小。

圖9 加工誤差分析色圖

6 結束語

根據環形銑刀數學模型，建立刀具的掃描域，搜索毛坯模型中位于掃描域內部的數據，最終改變被切削點的數值，利用該方式能夠完成數控加工切削的高效仿真。

利用細分曲面多分辨率采樣方法，實現了最近距離點對的快速搜索。該方法為加工仿真的快速實現和誤差分析的高效計算奠定了基礎。