第52屆國際物理奧林匹克競賽理論第3題介紹與解答

關(guān)鍵詞 標(biāo)度律;力矩平衡;表面張力;相對論;阻尼振蕩;國際物理奧林匹克競賽

2022年7月10日至17日，南開大學(xué)物理科學(xué)學(xué)院率領(lǐng)中國代表隊參加了由瑞士主辦的第52屆國際物理奧林匹克競賽（International PhysicsOlympiad，IPhO）。參賽的5名中學(xué)生全部獲得金牌，并取得團體第一、總分第一、實驗總分第一和理論總分第一的優(yōu)異成績[1]。比賽采取線上方式舉行，理論試題有三道，分別為“Permanentmagnets”、“James Webb Space Telescope”和“Scaling laws”，翻譯為“永磁體”、“詹姆斯韋伯太空望遠(yuǎn)鏡”和“比例法則”[2]。理論試題總分30分，試題1計10分，試題2計12分，試題3計8分。本文主要對理論試題3的命題和解答進行介紹，并對題目結(jié)構(gòu)以及國際學(xué)生和中國學(xué)生的答題情況進行簡要分析。文中部分小題給出了不只一種解答思路，希望對學(xué)生更好地理解相關(guān)物理概念有所啟發(fā)。

1 題目：比例法則比例法則

描述了兩個物理量在一個較大區(qū)間內(nèi)與尺度有關(guān)的函數(shù)關(guān)系。這種函數(shù)關(guān)系可以是冪函數(shù)，但也有其他的可能。通常情況下，無法得到物理量間的精確關(guān)系式，但仍可通過比例法則推導(dǎo)出比例關(guān)系。

1.1 A 部分：意大利面

A.1（2.0分）一根意大利面條形狀的草棍，直徑為d，平放在位于其中心的支點上保持平衡，如圖1所示。如果d=1mm，那么當(dāng)這根草棍的長度達到l=50cm 時，它就會在自身重力的作用下折斷。如直徑變?yōu)閐'=1cm，意大利面條形狀的草棍在自身重力下不折斷的最大長度l'為多少？

1.2 B部分：沙堡

B.1（2.0 分）粗砂粒的平均體積是細(xì)砂粒的10倍。濕的細(xì)砂和濕的粗砂都具有最佳的含水量（即用其制作的結(jié)構(gòu)具有最大強度）并被用來建造兩個形狀和大小完全相同的圓柱體。將圓柱壓在兩塊平行板之間，可測試圓柱體的耐壓強度。當(dāng)加在兩板上的壓力達到F_c=10N時，由濕粗砂制成的圓柱體就會被破壞。試問：破壞由濕細(xì)砂制成的圓柱，需在板上施加多大的力F_f ？ 忽略重力的影響。

3 分析討論

3.1 題目分析

比例法則，又稱標(biāo)度律，最早是伽利略在其著作《關(guān)于兩門新科學(xué)的對話》[8]中提出的，與量綱分析[9]類似，但在量綱分析中，需要考慮物理關(guān)系中某些物理常量的量綱，而標(biāo)度律分析中，不需考慮常數(shù)項的影響，相對量綱分析，標(biāo)度律分析過程可以更加簡化。巧合的是2022年的亞洲物理奧林匹克競賽理論第三題對量綱分析進行了考核[10]。

本題目在奧賽理論題中占分較低，題量較少，但涉及較多力學(xué)相關(guān)的知識點，比如A.1中有關(guān)力矩、彎曲變形、應(yīng)力等概念，B.1中有關(guān)表面張力和附加壓差的概念，C.1中狹義相對論相關(guān)的洛倫茲變換、速度加法和快度的概念，D.1中阻尼振動相關(guān)的概念。相關(guān)內(nèi)容在大學(xué)力學(xué)教材中均可以找到相應(yīng)的知識點，考生都可以基于力學(xué)的基本內(nèi)容給出一種解法。唯一比較陌生的可能是C.1中“快度”的概念，其主要在高能粒子物理中出現(xiàn)[6]，但使用狹義相對論中的速度變換關(guān)系也可以解出。各題目之間沒有具體的關(guān)聯(lián)性，都是對不同知識點的獨立考查，考生如果解不出其中一道題目，不影響其對其他題目的解答。官方參考答案中有些小題給出了不只一種解法，本文在其基礎(chǔ)上對個別解題思路進行了介紹，內(nèi)容上與參考答案稍有不同。

3.2 答題情況分析

如圖6所示，為中國選手各小題的平均得分率與所有獲獎選手平均得分率的對比，中國選手的平均得分率都是遠(yuǎn)高于所有獲獎選手的，且四道題目有相似的得分變化趨勢，都是B.1部分得分最少。通過參照中國選手的答題情況分析，此題目失分的原因主要是參考答案要求在分析砂粒之間的作用力時需要體現(xiàn)出表面張力和砂粒間彎曲液橋的附加壓力兩種作用，雖然兩者都與砂粒半徑r 成正相關(guān)，只體現(xiàn)一種作用也可以得到與答案相同的結(jié)果。而D.1部分的得分，是所有獲獎選手平均得分率最高的一題，這可能是因為簡諧振動以及阻尼振動為力學(xué)中最典型的物理模

所有獲獎選手（優(yōu)秀獎以上）約占總參賽人數(shù)368人的82%。理論第3題總分的平均得分率人數(shù)占比分布如圖7所示，得分率在60%以上的有22人，約占總?cè)藬?shù)的6%，中國隊選手的平均得分率為89.5%，相對較高。該題中得分率在40%以下的約占總?cè)藬?shù)的70%，可能正是由于各分題目之間沒有聯(lián)系，考查的知識點較多導(dǎo)致學(xué)生沒能取得較高的成績。

4 結(jié)語

本文對第52屆國際物理奧林匹克競賽理論第三題的命題和解答進行了詳細(xì)介紹，并對考生的答題情況進行了簡單分析。題目主要考查了力學(xué)相關(guān)的知識點，各分題之間比較獨立，涵蓋知識面較廣，有一定難度。有的題目不只一種答題思路，對學(xué)生理解相關(guān)物理概念也有一定的啟發(fā)作用。

致謝： 感謝參與本次奧賽培訓(xùn)、選拔與遠(yuǎn)程考試的各位老師！ 感謝志愿者王詩團同學(xué)！ 感謝中國科學(xué)技術(shù)協(xié)會、中國物理學(xué)會、天津市物理學(xué)會等單位和部門對賽事的支持！