等腰三角形中不確定性問題的解決

朱小成

? 甘肅省平涼市第七中學

由于等腰三角形的邊、角都有不同的類型,因此一些題目中的條件在設計之初就存在不確定性[1].但是,由于學生的思維定勢比較嚴重,他們在分析問題時往往表現得比較片面,進而會出現漏解的錯誤[2].想要解決等腰三角形中的不確定性因素問題,需要學生突破思維定勢,從多個角度分析問題存在幾種可能性,然后逐一擊破,這就是分類討論思想.基于此,本文中將結合例題探究分類討論思想在等腰三角形中的應用,尤其是在解決不確定性因素時的用法.

1 例析常見的不確定性問題

等腰三角形中的不確定因素主要表現在邊和角兩個方面,但根據實際教學經驗來看,不能排除三角形形狀不確定的可能.因為等腰三角形的頂角有直角、銳角和鈍角之分,而頂角的不同也會導致其形狀有所不同.下面將從三個方面例析等腰三角形中常見的不確定性問題.

1.1 角的不確定

例1已知△ABC是等腰三角形,∠A=80°,求它的頂角度數.

分析：雖然已知三角形的形狀是等腰三角形,且∠A=80°,但由于等腰三角形中的角有頂角與底角之分,而題中并未告知∠A為何種角,所以應分情況討論.

解：根據題意,應分兩種情況.

(1)當∠A為頂角時,△ABC的頂角度數就是80°.

(2)當∠A為底角時,△ABC的頂角度數就是180°-80°×2=20°.

綜上所述,△ABC的頂角度數為80°或20°.

反思：等腰三角形中的角有頂角和底角之分,在審題時切勿因思維定勢貿然認為題中所給的角是頂角或底角,如此必然會導致漏解.

1.2 邊的不確定

例2若一根長為28 m的鋼絲可以圍成一個邊長為6 m的等腰三角形支架(忽略交接處鋼絲的長度),那么該等腰三角形支架的腰長為______m.

分析：盡管已知支架的形狀為等腰三角形,但并未明確長為6 m的邊是其腰還是底邊,所以本題也應分兩種情況討論.

解：根據題意,應分兩種情況.

(1)當6 m長的邊是等腰三角形的腰時,該等腰三角形支架的腰長為6 m.

(2)當6 m長的邊是等腰三角形的底邊時,該等腰三角形支架的腰長就是(28-6)÷2=11(m).

綜上,等腰三角形支架的腰長是6 m或11 m.

反思：等腰三角形的邊不只有腰這一種,還有底邊.所以在分析問題時,應區分清楚等腰三角形邊的情況,然后結合分類討論思想解決問題.當然,如果求得的腰或底邊不足以構成三角形,則另需說明并排除.

如下面的變式:

已知一等腰三角形的周長是18,它的一邊長為4,那么該等腰三角形的其他兩邊長分別是______.

題中長為4的邊同樣不確定,應分類討論:

當長為4的邊是腰時,那么另一腰是4,底邊長是18-4-4=10.然而,此時的4,4,10三邊并不能構成三角形,所以排除.

當長為4的邊是底邊,那么腰是(18-4)÷2=7,且三邊為7,7,4,此時可構成三角形.

綜上,該等腰三角形的其他兩邊長分別是7,7.

1.3 形狀的不確定

例3已知△ABC為等腰三角形,一腰上的高和另一腰的夾角為60°,則該等腰三角形的頂角為______.

分析：本題無圖,所以應先根據條件畫圖.但由于一腰上的高和另一腰的夾角存在兩種情況,因此應該分類討論.

解：如圖1所示,當該等腰三角形為銳角三角形時,∠ABD=60°,則∠A=30°.

圖1

如圖2所示,當該等腰三角形為鈍角三角形時,∠ACD=60°,則∠BAC=120°.

圖2

綜上,本題的正確答案為30°或120°.

反思：學生普遍認為這樣的三角形為銳角三角形,所以他們只是一味地在銳角等腰三角形中分析該問題,而忽略了該等腰三角形有可能為鈍角三角形的情況,這就是典型的思維定勢.

2 解決策略總結

通過上面三道例題可以發現,解決等腰三角形中不確定性問題的方法就是分類討論.接下來,筆者將具體的解決策略總結如下.

(1)解決角的不確定性問題

角的不確定性在等腰三角形中出現的幾率較大,解決這類問題通常按照下面的思路解決:

首先,應知曉題中所給條件中的“角”是否已經明確了其是頂角還是底角.如果已經確定,則按照題意直接分析即可;如果尚未確定,則需分“角是頂角”和“角是底角”兩種情況進行討論.最后,將分類討論的結果進行綜合,得到最終的解題結果.

解決這類問題時,需注意兩個方面:

①在分類討論過程中,應根據審題結果畫出相應的圖形;

②解題的最后一定要將分類討論計算的結果綜合起來得到最終的解題結果,即“綜上……”這個步驟不能忽略[3].

(2)解決邊的不確定性問題

邊的不確定性和角的不確定性一樣,在等腰三角形中出現的幾率也比較大.如果題目告知三角形為等腰三角形,但并未明確邊的類型,即并未告知邊是腰還是底邊,那么應按照下面的思路解決這類問題:

首先,應在認真審題的基礎上知曉題中是否明確了邊為腰還是底邊.如果已經確定,那么只要直接根據題意進行分析和計算即可;如果尚未確定,則需分“邊是腰”和“邊是底邊”兩種情況進行討論.同時,在分析之前一定要根據具體的情況和要求畫出相應的圖形,切勿在腦中天馬行空.最后,將分類討論的結果進行綜合,得到最終的解題結果.

在解決這類問題時,同樣需注意兩個方面:

①根據審題結果畫出相應的圖形,是利用分類討論思想解決該類問題的第一步.只有根據條件畫出相應的圖形,才能更準確地分析問題.切勿在未畫圖的情況下分析問題,這樣極易出錯,因為初中生的抽象思維還較弱.

②既然是利用分類討論思想解決該類問題,那么最后同樣需要將分類討論計算的結果綜合起來.

(3)解決形狀不確定性的問題

形狀的不確定性雖然在等腰三角形中不多見,但是,只要一出現往往比較難以解決,且學生發現題目需要分類討論的可能性極小.因此,形狀不確定的問題需要教師和學生足夠重視,教師要多呈現這類例題,以通過分析不斷拓寬學生的視野,提升學生的解題能力.

解決等腰三角形形狀的不確定問題,應該按照如下步驟進行:

首先,在畫出符合題意的圖形后,潛意識中一定要問“是這樣的嗎?”“是只有這一種情況嗎?”等問題,以此尋找突破思維定勢的“點”.一旦養成這樣的習慣,那么這類問題漏解的可能性就會逐漸減小.

其次,畫圖、綜合等過程和前兩種不確定性問題的解決方法一樣.

3 結語

總之,等腰三角形中的不確定因素較多,要想不漏解、不做錯,就需要時刻小心.當然,這主要還是源于優質的數學素養.為此,在學生學習的過程中,教師有必要不斷引導或指導學生利用分類討論思想分析問題、解決問題并進行反思.