把握三方面,利用二次函數(shù)性質(zhì)解初中二次函數(shù)問題

董蔚儀

? 哈爾濱師范大學(xué)教師教育學(xué)院

解答二次函數(shù)的大題時,學(xué)生常見的問題通常是不知道怎樣數(shù)形結(jié)合、怎樣分析題目等[1],不會根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性以及對稱軸兩側(cè)的增減性進(jìn)行分析.二次函數(shù)圖象開口方向的不同,對稱軸兩側(cè)的單調(diào)性也不同.開口向上的二次函數(shù)的頂點(diǎn)為圖象最低點(diǎn),距離對稱軸越近則函數(shù)值越小;開口向下的二次函數(shù)的頂點(diǎn)為圖象最高點(diǎn),距離對稱軸越近則函數(shù)值越大.結(jié)合上述性質(zhì),圍繞二次函數(shù)可以命制不同的函數(shù)問題.

其實(shí)這類問題只要把握住三方面就可以迎刃而解,下面以幾道題目舉例說明.

1 例題剖析

第一方面:審題.了解二次函數(shù),判斷二次函數(shù)的開口方向,計(jì)算對稱軸或頂點(diǎn)(求對稱軸或者頂點(diǎn)要根據(jù)題目而定).

第二方面:轉(zhuǎn)化信息.將題中函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)換為圖象上的點(diǎn)到對稱軸距離的遠(yuǎn)近關(guān)系.

由y1>y2及拋物線開口向下,可知函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為最高點(diǎn).根據(jù)單調(diào)性,距離對稱軸越近函數(shù)值越大,因此可以判斷點(diǎn)B到對稱軸的距離大于點(diǎn)A到對稱軸的距離.

第三方面:分類討論,數(shù)形結(jié)合.分類討論后,結(jié)合第二方面進(jìn)行不等式的計(jì)算.

(1)討論給定點(diǎn)間的位置關(guān)系.如果給定兩點(diǎn)A,B,那么有兩種位置關(guān)系,即A左B右或A右B左.(如果給定多個點(diǎn),則需根據(jù)給定點(diǎn)的數(shù)目進(jìn)行分類討論.)

(2)討論給定點(diǎn)與對稱軸的位置關(guān)系.如果給定兩點(diǎn)A,B,那么有三種位置關(guān)系,即點(diǎn)A,B均在對稱軸左側(cè),點(diǎn)A,B均在對稱軸右側(cè),點(diǎn)A,B分別在對稱軸兩側(cè).(如果給定多個點(diǎn),則需依據(jù)題意進(jìn)行分類討論.)

注意:①此步驟要結(jié)合圖形分析.

②弄清題目已知條件,判斷并選擇以上分類討論的內(nèi)容.

③列不等式計(jì)算時不要遺漏.

例1中已知A,B兩點(diǎn)在拋物線對稱軸兩側(cè),所以無需討論給定的點(diǎn)與對稱軸的位置關(guān)系,只需討論給定點(diǎn)間的位置關(guān)系,具體有兩種情況,即A左B右,A右B左.

(ⅰ)A左B右:如圖1,根據(jù)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)和第二方面A,B兩點(diǎn)到對稱軸的距離分析,可以得不等式

圖1

此不等式組無解.

(ⅱ)A右B左:如圖2,同上述步驟可得不等式

圖2

例2(2023年北京版萬維中考試題研究)已知拋物線y=x2-4mx+4m2-1,若這條拋物線經(jīng)過點(diǎn)P(2m+1,y1),Q(2m-t,y2),且y1

第一方面:審題.了解二次函數(shù).

第二方面:轉(zhuǎn)化信息.將題中函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)換為圖象上的點(diǎn)到對稱軸距離的遠(yuǎn)近關(guān)系.

由y1

第三方面:分類討論.結(jié)合第二方面進(jìn)行不等式的計(jì)算.

由P(2m+1,y1),Q(2m-t,y2)和對稱軸x=2m可知,無論t取何值,點(diǎn)P均在對稱軸右側(cè),即只需討論點(diǎn)Q與對稱軸的位置關(guān)系即可.

①點(diǎn)Q在對稱軸右側(cè):結(jié)合圖3可得不等式2m-t>2m+1,解得t<-1.

圖3

②點(diǎn)Q在對稱軸左側(cè):結(jié)合圖4可得不等式2m-(2m-t)>2m+1-2m.

圖4

解得t>1.

綜上,t>1或t<-1.

總結(jié)：(1)相比于例1,例2并沒有確定的二次函數(shù)解析式,但是畫出已知條件確定的大致圖象進(jìn)行分析也可以計(jì)算出參數(shù)的取值范圍.

(2)例2可判斷出無論t取何值點(diǎn)P均在對稱軸右側(cè),這里更考查了對“給定點(diǎn)與對稱軸位置關(guān)系”進(jìn)行分類討論的理解程度.

(3)列含多未知參數(shù)不等式時,要注意列能夠消去多余參數(shù)的不等式.

2 真題演練

例3(2020年北京中考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,M(x1,y1),N(x2,y2)為拋物線y=ax2+bx+c(a>0)上任意兩點(diǎn),其中x1

(1)若拋物線的對稱軸為直線x=1,當(dāng)x1,x2為何值時,y1=y2=c?

(2)設(shè)拋物線的對稱軸為直線x=t.若對于x1+x2>3,都有y1

第(1)問要用好二次函數(shù)的對稱軸[2].由拋物線的解析式y(tǒng)=ax2+bx+c,可知函數(shù)恒過定點(diǎn)(0,c),又y1=y2=c且x1

第(2)問同樣從三個方面進(jìn)行解答.

(2)第一方面:審題.了解二次函數(shù).

由題可知,a>0,拋物線開口向上,對稱軸為x=t.

第二方面:轉(zhuǎn)化信息.將題中函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)換為圖象上的點(diǎn)到對稱軸距離的遠(yuǎn)近關(guān)系.

由題中y1

第三方面:分類討論、數(shù)形結(jié)合.分類討論后,結(jié)合第二方面進(jìn)行計(jì)算.

由x1

①點(diǎn)M,N均在對稱軸左側(cè).

由第二方面推出的點(diǎn)M離對稱軸更近,且點(diǎn)M在點(diǎn)N左側(cè),矛盾,故第一種情況不滿足條件.

②點(diǎn)M,N均在對稱軸右側(cè),如圖5.

圖5

由圖象可知x≥t時,恒有y1

③點(diǎn)M,N在對稱軸異側(cè),其中點(diǎn)M在對稱軸左側(cè),點(diǎn)N在對稱軸右側(cè),如圖6.

圖6

3 總結(jié)

通過以上三個例題分析發(fā)現(xiàn),把握三個方面可以清晰地分析題目,進(jìn)而運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和分類討論等思想方法及二次函數(shù)的性質(zhì),解決同類型二次函數(shù)的大題,減少學(xué)生面對二次函數(shù)大題的困惑,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).