重在課堂引導 構建數學思維*
——以“弧長及扇形的面積”課堂教學為例

殷曼曼

? 江蘇省濱海縣第一初級中學

幫助學生構建數學思維的課堂,是以幫助學生構建思維品質為導向的課堂教學活動.從理論上講,數學是人們對客觀世界定性和定量的認識過程中逐漸抽象概括、形成方法,并進行廣泛應用的自然學科.它涵蓋了數學的基本思維方法,是廣泛應用于日常生活與社會實踐中的工具[1].通過質疑情境的引導,誘發學生探究思維;通過知識的類比遷移,促進學生感性思維;依托課堂知識對應訓練,發展學生建模思維;延展知識視角,啟迪學生的創造性思維:這些都是幫助學生構建數學思維的具體途徑.筆者結合多年的教學實踐,以“弧長及扇形的面積”課堂教學為例,談談重在課堂引導,構建數學思維的一些成熟的做法,旨在與各位同仁在滿足現代教學需要的課改中悉心交流,共同提高.

1 通過質疑情境的引導,激活學生探究思維

探究思維是一種主動、開放和自主思考實現探究活動的思維.在科學探究活動中,學生在存疑后就需要質疑、假設、然后設計探究方案進行實驗,這些都屬于探究思維活動的范疇.以蘇科版九年級上冊第2章第7節 “弧長和扇形的面積”為例,這節課是學生在前階段對圓的概念和特性有了初步的認識,在以正多邊形為載體探究圓的面積的基礎上進行的拓展與延伸.作為課題導入是一節課的開始,應該圍繞課題核心內容通過弧長公式、扇形面積公式的推導,在發展學生應用意識的過程中誘發他們的探究思維.因此,創設的質疑情境可以誘發學生的學習興趣,幫助他們激活探究思維.例如,首先創設探究“弧長公式”的情境:

探究活動:探究弧長是圓周長的一部分及點動成線.

電子白板展示:將一條長為4 cm的半徑OQ繞著圓心O在平面內旋轉,改變圓心角的度數,點Q運動的路徑是一條弧長,觀察弧長的變化(學生可以用圓規作圖).

質疑:①若半徑OQ=r,則圓的周長如何表達?

②假設將圓的周長看作是一條弧長,那么它的圓心角為多少度呢?

③計算1°的圓心角所對的弧長,由此推斷n°圓心角所對的弧長是多少呢?

創設意圖：讓學生明確一個新的知識的揭示是以已經學過的知識為基礎的,在創設的質疑情境和教師的引導下找尋新知和舊知之間的聯系,從探究活動中發現規律,進而得出結論.在探究活動中計算1°的圓心角所對的弧長是激活思維的關鍵,對此有了深刻理解后,進而能自然而然地得出n°的圓心角所對的弧長.其中②是“假設”,③才是“探尋理由”和“設計方案”,整個探疑的過程屬于探究思維活動.因此,通過弧長公式這一探究活動,足能夠誘發學生的學習興趣,并幫助他們激活探究思維.

2 通過知識的類比遷移,促進學生理性思維

理性思維主要是通過已經掌握的學科方法進行思考和判斷.它的特點是能夠讓知識成體系、可推理,突出概念的相互聯系和相互制約關系.也就是人們所說的“對數學通竅、有數學頭腦”.學生在對數學的認知過程中的思維方式主要有同化和順應兩種.同化是指將新知轉化為已有舊知來認識或理解,是一種類比的知識遷移過程.如把圓的周長看作是一條弧長,其圓心角是360°,再去思考圓心角是1°與n°的扇形的弧長,這種思維方式就是同化.順應是當新知無法與已有舊知相對接時,就需要對新知進行重新建模來認識或理解的認知方式.如圓的面積公式的推導過程是先把圓分割為一些面積相等的扇形,然后將這些扇形拼接為近似的長方形,再引導學生想象并推理,分割的扇形越細小,拼接的圖形就越接近長方形,最后利用長方形的面積公式來計算圓的面積,這種“微格”的做法就是順應.扇形的面積能否用相同的方法來同化,是扇形面積公式推導的一個關鍵環節.

探究活動:探究扇形是圓的一部分及線動成面.

(1)通過電子白板展示:用圓規在紙上畫一段弧,連接圓心與弧的兩端,形成一個扇形.然后讓學生自己嘗試作圓心角分別是30°,45°,60°,90°的扇形.

創設意圖：由觀察圖片和自己作圖得出扇形的概念,這種方法使得學生對新概念的理解較為深刻,為熟練判斷圖形是否為扇形以及對扇形進行面積計算夯實基礎.同時,學生嘗試自己作圖,體會圓心角是30°,45°,60°,90°的扇形實質上是半徑OQ繞著圓心O沿順時針(或逆時針)旋轉的過程中通過改變圓心角的度數而得到的.不難觀察到扇形面積的變化規律,即扇形的面積越大,其圓心角也越大.

(2)思考:

①半徑為OQ=r的圓的面積公式是什么?

②圓的面積可以看作是多少度的圓心角所對扇形的面積?

③圓心角為1°時所對的扇形的面積是多少?圓心角為n°時又是怎樣的呢?

創設意圖：通過類比弧長計算公式的探究過程,引導學生探究扇形面積計算公式,這是一種理性思維的過程.上述探究不再像求圓的面積那樣進行“微觀”處理,而是讓學生經歷數學思想和方法的形成過程.在這一探究過程中,不僅促進了學生同化思維的發展,也促進了學生順應思維的發展.

3 依托課堂知識對應訓練,發展建模思維

對知識的建模思維是一種新知類化的過程,是將訓練中所要解決的質疑納入到學習的同類知識結構中去釋疑的思維活動.數學訓練釋疑的過程,就是數學形式的類化與演繹的過程,是思維拓展的過程[2].

課堂知識的對應訓練,是依據當堂課的主要知識創設不同形式的數學問題來引導學生開展解題訓練,其目的就是使學生將所要進行的釋疑納入到原有的同類知識結構中去.換一句話說,課堂知識對應訓練的目的就是發展學生的類化思維.創設課堂知識對應訓練的依據是對概念進行多角度與內涵方面的變化.如與扇形弧長或面積有關的對應訓練,可以設置下列問題.

訓練1如圖1,在一個圓心角為45°的兩個同心扇形中,大的直徑為20 cm,小的直徑為10 cm,求陰影圖形的周長和面積.

圖1

訓練2如圖2,在邊長為15 cm的正方形中作兩個半徑相同的扇形,且兩個扇形相切,求圖形中陰影部分的邊長與面積.

圖2

訓練3如圖3,以邊長為10 cm的正三角形ABC的三個頂點為圓心,邊長的一半為半徑作三個相同的扇形,三個扇形的弧所圍成的圖形是圖中的陰影部分,求陰影部分圖形的周長和面積.

圖3

創設意思：上面三個訓練題,在形式方面都與扇形的周長和面積相關,訓練1是圓心角是45°、半徑不同的同心扇形的組合,訓練2是正方形與兩個圓心角為45°扇形的組合,訓練3是正三角形與圓心角為60°的三個扇形的組合.在面積計算的內涵方面,訓練1是求兩扇形的面積之差,訓練2是引導學生將扇形直徑轉化為圓所在正方形的對角線來計算,訓練3則是正三角形邊長的總量分割問題.不論何種形式與內涵,都要求學生將問題類化為扇形的知識來解決,而其中三個訓練涵蓋的不同的類化思維方式正是依托課堂知識對應訓練以發展學生思維能力的目標所在.

4 延展知識視角,啟迪學生的創造性思維

創造性思維可以作為突破常規的方法來解決質疑情境的思維活動.因為這是幫助學生構建理性思維最重要的過程,構建過程相當于一種創造過程.如在課堂設置的訓練1中,有學生利用相似比來計算兩個扇形的弧長,利用相似比的平方來計算兩個扇形的面積,這些方法都是一種創新思維.從某種意義上講,數學課程知識與原理的形成過程就是人們在實踐中發現與創造的過程,解題過程中蘊含的思維方法都足以啟迪學生的心智[3].

總之,在初中數學課堂上教師重在引導,這樣才能更好地幫助學生構建數學思維.教師只要做一個有心人,悉心地把握發展學生的“思維點”,精心創設數學知識的“質疑點”,就一定能夠點燃思維的火花,讓學生的思維活躍起來.