例析運用兩種思想破解中考壓軸題

于金彪

? 甘肅省天水市第七中學

考生對于中考數學的壓軸題普遍有種恐懼感,主要問題在于解題思路不清晰,錯解、漏解率較高等.這些問題嚴重影響了考生對中考數學壓軸題的答題信心.如何解決上述痛點,提升考生信心呢?本文中結合數形結合、函數與方程以及等價轉化等思想,提出了幾種中考數學壓軸題的解題策略.

1 運用數形結合思想

數形結合思想是指運用幾何性質來構建已知與未知變量之間的代數關系,借助幾何性質來求解代數問題,或者借助代數關系求解幾何問題.

線段與角的證明題通常不難,然而,解題的關鍵點卻不容易挖掘.比如在幾何圖形中,通過畫一條輔助線來構建已知變量與未知變量之間關系,巧解線段與角的證明問題.再如,繞三角形的頂點整體旋轉三角形,并借助三角圖形的關系,構建已知變量與未知變量之間的函數關系,巧解動態三角形與函數問題.參考人教版2009年蘇州中考試題第29題進行的題型設計,如例1所述:

例1如圖1-1所示,在△ABC中,AB=AC=3,∠B=30°,△ABC繞點A順時針旋轉了α(0<α<120°),得到一個新的三角形△ADE,并且分別與△ABC的邊AB,BC相交于點H,K.BK+KH=x,求解如下3個問題:(1)∠KBE與∠KEB的關系;(2)線段EH的長度;(3)若△ADH的面積為y,求y與x的函數關系式并指出函數圖象是什么曲線?

圖1-1

解：(1)連接BE,過點A作AG⊥DE于點G,如圖1-2所示.在△ABC中,因為AB=AC=3,∠B=30°,以及△ADE與△ABC全等,所以AB=AE.故∠KBE=∠KEB.

圖1-2

(2)由(1)知KB=KE,又因為BK+KH=x,所以EH=EK+KH=BK+KH=x.即線段EH的長度為x.

綜上,運用數形結合思想,借助輔助線,構建了已知量與未知變量之間的代數關系,并且結合已證明的幾何性質,構建了已知量與未知變量之間的函數關系.通過幾何圖形性質與代數數量關系之間的轉化,巧解了線段與角的證明以及動態幾何與函數問題.

2 運用函數與方程思想

函數與方程思想是指通過設定未知數,運用已知條件,或者是已證明或計算的結論構建方程的方法.

初中數學中所學函數包括一次函數,二次函數和反比例函數.一次函數和二次函數的綜合問題經常出現在中考解答題中,該類題型的難度適中.比如,分別求解一次函數、二次函數的解析式,然后結合直線與拋物線的位置關系,利用一次函數與二次函數解析式聯立后所得方程的判別式構建數量關系.

動點與函數類問題,比如圍繞線段上的動點與拋物線上的點,結合已知求解線段所在直線和拋物線的解析式,構建線段上的動點和拋物線上點的坐標的數量關系,并根據已知兩點的坐標,再構建已知變量與未知變量之間的方程,利用函數求解相應的問題.參考人教版2013年上海中考試題第24題進行的題型設計如例2所述:

例2如圖2-1所示,已知拋物線y=ax2-bx+c(a≠0),與x軸相交于兩點A(-2,0)和B(4,0),與y軸相交于點C(0,-5),頂點為M.求解如下3個問題:(1)拋物線y=ax2-bx+c(a≠0)的解析式.(2)與直線BC平行并與拋物線y=ax2-bx+c(a≠0)只有一個交點的直線的解析式.(3)若線段AM上有一個動點N,與拋物線上的點H構成線段NH,并且線段NH平行于y軸,求線段NH取得最大值時,點N的坐標.

圖2-1

解析：(1)拋物線y=ax2-bx+c(a≠0)的解析式中,系數a,b,c為未知參數,由該拋物線與x軸相交于兩點A(-2,0)和B(4,0),且與y軸相交于點C(0,-5),構建方程組

圖2-2

綜上,運用函數與方程思想,設定合適的未知數,根據已知條件以及已經證明或者計算的結論,結合直線與拋物線的位置關系,構建一次函數與二次函數解析式聯立后方程的系數間數量關系,求解一次函數和二次函數的綜合問題.圍繞線段上的動點與拋物線上點,結合已經計算或者證明的線段所在直線和拋物線的解析式,構建線段上的動點和拋物線上點的坐標的數量關系,并根據已知兩點之間的坐標關系,再構建已知與未知變量之間的方程,求解函數關系取得最值時的解.

通過幾何圖形性質與代數數量關系之間的轉化,巧解了線段與角證明以及動態幾何與函數問題.運用函數與方程思想,設定合適的未知數,結合直線與拋物線的位置關系,構建相應的數量關系,求解函數綜合問題.有關線段上的動點與拋物線上的點對應線段的最值問題,構建已知變量與未知變量之間的關系,進而求解函數關系取得最值時的解.上述解題策略,可幫助學生提升解答中考數學壓軸題的信心.Z