基于學習力培養的問題驅動式復習課教學設計*
——以“二次函數的復習(第1課時)”為例

周一敏

? 湖北省武漢大學附屬外語學校

1 基于學習力培養的課程分析

1.1 內容解讀

二次函數是描述現實世界變量之間關系的重要數學模型,也是初中階段研究的三種基本函數之一.本章學習是以已學的一次函數為基礎,首先讓學生認識二次函數,掌握二次函數的圖象和性質,進而用函數的觀點來看待方程和不等式,最后解決一些簡單的實際問題.二次函數的學習集數形結合、分類討論、函數與方程、化歸等多種思想于一體,在中學數學中有著非常重要的地位,也為學生后續學習打下良好的基礎.

1.2 目標分析

(1)梳理二次函數知識,加深對二次函數概念和二次函數圖象及性質的理解.

(2)熟悉研究函數的基本思路與方法,提升觀察、分析、歸納和概括的能力,體會數形結合思想.

(3)培養數學抽象思維能力,能夠學會獨立思考,建立合作意識,培養學習力.

1.3 學情分析

通過前面課程的學習,學生對二次函數的概念以及二次函數的圖象和性質有了一定的理解,但對本章知識的整體架構還不是很清晰,在知識的靈活運用方面有所欠缺.本節課的難點是能夠構建二次函數的知識體系,并在熟練運用的過程中體會數形結合思想,變課程知識為實際技能.

2 基于學習力培養的問題驅動式教學設計

2.1 知識梳理,感悟數形結合思想

問題1如圖1,觀察二次函數y=ax2+bx+c(c≠0)的圖象.

圖1

(1)這條拋物線的開口方向、對稱軸、頂點、與坐標軸交點分別是怎樣的?

(2)你能確定二次函數y=ax2+bx+c(c≠0)解析式中a,b,c,以及b2-4ac的符號嗎?

師生活動:教師出示問題,學生先獨立思考然后回答.教師追問并小結,引導學生從圖象和解析式兩個方面來看.

圖象特征:開口向下,對稱軸在y軸右側,頂點在第一象限,與y軸的正半軸有一個交點,與x軸有兩個交點.

解析式:a<0,b>0,c>0,b2-4ac>0.

設計意圖：通過開放性問題,培養學生發散性思維.問題(1)是從圖象的角度進行直觀分析,問題(2)是從解析式的角度進行理性分析.一方面回顧二次函數的基本知識,了解學生知識掌握情況.另一方面讓學生體會數形結合思想,培養學生的探究意識.

問題2如圖2,若二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經過點A(-1,0),B(3,0).

圖2

(1)這條拋物線的對稱軸是什么?你是怎么得到的?

(2)a,b,c之間有怎樣的數量關系?

(3)你能添加一個條件,并求出這個二次函數的解析式嗎?

追問:你是怎么求的?還有其他的方法嗎?能依次說出所求二次函數的開口方向、對稱軸、頂點坐標嗎?

師生活動:教師依次出示問題.對于問題(1)(2),學生思考、回答,教師追問并小結.對于問題(3),學生先獨立思考,動筆計算,教師巡視,關注不同層次學生,再由學生板書.

設計意圖：此題借助數形結合思想對二次函數的性質進行了比較全面的考查.利用二次函數的圖象特征,設計一連串的問題,梳理二次函數的相關性質.問題(3)通過半開放的題目,引導學生根據問題中的條件,熟練運用待定系數法確定二次函數的解析式,并體會“形”與“數”的聯系.

問題3請同學們根據剛才復習的內容整理本章所學主要知識,你能發現它們之間的聯系嗎?你能畫出這些知識的結構圖嗎?

師生活動:教師引導學生一起梳理二次函數的知識框架圖(如圖3).

圖3

設計意圖：完善二次函數圖象與性質的知識體系,培養學生主動建構知識的能力.

2.2 知識關聯,運用數形結合思想

問題4已知拋物線y=-x2+2x+3.

(1)將該拋物線向上平移2個單位長度,再向左平移3個單位長度,所得到的圖象對應的二次函數解析式為______;

(2)該圖象經過平移能否得到二次函數y=-x2+4x-3所對應的圖象?

師生活動:學生獨立思考,展示并交流.教師引導學生小結.

設計意圖：這是一道文字信息題,引導學生聯系圖象的性質進行解答,并明確兩點.一是圖象平移的本質是點的平移,考慮頂點坐標的變化比較方便,所以需要先把一般式化成頂點式;二是圖象平移過程中的“不變性”,即拋物線形狀不變,a不變.

問題5如圖4,若拋物線y=ax2+bx+c經過點A(-1,0),B(3,0),C(0,3),根據圖象解決下列問題:

圖4

(1)方程-x2-2x+3=3的解是______;

(2)方程-x2-2x+3=k有實數根,則k的取值范圍為______;

(3)不等式0<-x2-2x+3<3的解集是______.

(4)不等式-x2-2x+3>-x+3的解集是______.

師生活動:學生獨立思考、討論、展示.

設計意圖：通過一系列的追問,引領學生用函數的觀點來看待方程和不等式,感受二次函數與一元二次方程、不等式之間的聯系,體會數形結合、轉化等思想,突出數學核心素養,進一步提升學生學習力.

2.3 知識運用,體會數形結合思想

問題6已知拋物線y=-x2-2x+3與x軸交于A,B兩點(點A在B的左邊),與y軸交于點C.

(1)求△ABC的面積S△ABC.

(2)在拋物線上(除點C外),是否存在點M,使S△ABC=S△ABM?若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.

師生活動:學生獨立完成,師生一起總結.求三角形面積需要找底和高.其中,第(1)問底和高都在坐標軸上;第(2)問底在坐標軸上,關鍵是如何找高.

設計活動：通過綜合性的問題,既鞏固了本章知識,又靈活運用了所學知識,以熟悉的圖形為背景,綜合考查學生在動態背景下處理圖形的能力,體會數形結合和分類討論的思想,為后續解決類似問題作鋪墊.

2.4 課堂小結

問題7通過本節課的學習,復習了哪些知識?這些知識有什么聯系?運用二次函數的性質解決了什么問題?體會了哪些數學思想方法?

師生活動:教師組織學生對本節課知識進行小結.

設計意圖：本節課以一條拋物線為主線,貫穿始終,以問題為驅動,鞏固復習了二次函數的圖象和性質、利用待定系數法求拋物線的解析式、二次函數和一元二次方程及不等式的關系等知識.學生經歷二次函數相關知識的梳理過程,進一步熟悉研究函數的基本思路與方法,體會數形結合的思想,提升觀察圖形、分析圖形的能力.

3 基于學習力培養的問題驅動式教學反思

(1)問題驅動激發思維

本節課摒棄了以往常見的“知識回顧—建構體系—例題評析—達標訓練—歸納總結”復習課教學模式,巧妙運用一圖貫穿一課,在一個圖形中不斷添加條件,以問題為載體,以學生為主體,在師生互動中逐步呈現主干知識和重要的思想方法,進而建構知識框架,形成知識脈絡.本節課設置的問題之間相互關聯,由易到難,由靜態到動態,由特殊到一般,立足學生潛能,激發學生思考,培養了學生的發散思維.

(2)問題驅動培養能力

數學復習課不同于新課教學,在夯實基礎的前提下,要突出通性通法的歸納,讓學生從中領悟基礎知識、基本方法的應用,能從一個問題掌握一類問題,從一串問題探究一片知識,達到“講一題,得一法,會一類,通一片”的效果,切實提高解題能力,增強數學應用意識.本節課注重解題方法的提煉歸納,例如針對問題2第(3)問,當學生添加點C(0,3)后,一個學生回答可以用頂點式來求拋物線的表達式,教師馬上追問“還有其他方式嗎?”接著又追問“可不可以設為交點式?”讓學生經歷二次函數三種表達式的比較選擇過程,體驗解決問題方法的多樣性,培養了學生學習數學的能力.

(3)問題驅動落實素養

在章節復習課中,學生已有一定的知識基礎,教師不僅僅是引導學生回顧梳理知識,更應該有意識地揭示數學本質,滲透數學思想,讓學生在應用中體會感悟,在反思中明晰升華,讓課堂因思想而厚重.本節課有清晰的數學思維導向,以問題串的形式,始終圍繞二次函數的圖象與性質這一核心,凸顯數形結合思想,讓學生經歷問題逐步遞進、深層探究的過程,進而提升核心素養.Z