在深度剖析中實現:從“問題”到“方程”

王 瑜

? 江蘇省無錫市河埒中學

清晰的教學思路,豐富的教學價值,需要教師在深度剖析中逐步實現,從而走向課堂教學的良性架構.近期,筆者參加了骨干教師選拔的課堂考核,課題為蘇科版七年級上冊第4章第1節“從問題到方程”,取得了較好的教學效果,現呈現教學過程及思考,與大家分享.

1 教學過程

1.1 環節一:情境引入

仔細觀察天平模型,說一說你看到了什么?

1.2 環節二:播放視頻片段

播放近期女籃世界杯半決賽中中國女籃王思雨絕殺澳大利亞的視頻片段.提出如下三個問題:

問題1在半決賽中,中國女籃以61分的總分取勝.已知三分球和兩分球共命中24個,罰球命中10個(每個罰球得1分),問女籃三分球和兩分球各命中多少個?

問題25號隊員王思雨今年28歲,你14歲.問幾年后王思雨的年齡是你年齡的1.5倍?

問題3國際籃聯對籃球場的尺寸是有規定的.已知籃球場是面積為420 m2的長方形,長比寬多13 m,求籃球場的長.

設計意圖：圍繞中國女籃時隔28年進入世界杯決賽的熱點話題設計三個問題,激發學生的學習興趣.問題1,方程的便捷性初步體現,問題2與問題3體現了學習方程的必要性.

總結從問題到方程的三個步驟:找等量關系,設未知數,列方程.

設計意圖：引導學生理清“從問題到方程”的一般步驟,形成解決策略,培養歸納能力.

北京市豐臺區南方莊社區,陳益君老人每天都往來于住所和頤養康復養老照料中心之間。陳益君的老伴患多種慢性病,長期臥床,“雇了兩個保姆還不行,有時候還得把上班的兒子叫回來幫忙,真是伺候不過來。”陳益君表示,“現在住進照料中心,都是像我老伴一樣不能下床的老人,比原來省心方便多了。”

追溯歷史,思維碰撞——《九章算術》“盈不足”問題:

今有共買羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三.問人數、羊價各幾何?譯文:今有人合伙買羊,每人出5錢,差45錢;每人出7錢,會差3錢,問合伙人數、羊價各多少?

設計意圖：通過《九章算術》中經典的“盈不足”問題,帶領學生挖掘隱藏的等量關系,進一步熟悉從問題到方程的三個步驟.

1.3 環節三:一元一次方程概念教學

引導學生從未知數的個數、次數進行分類,生成一元一次方程的概念并通過練習進行概念辨析.

史話數學:中國數學家用“元”表示未知數,起源于宋元時期的天元術.朱世杰在《四元玉鑒》“天元術”一節中提出,所謂天元術,就是指在解決代數問題時,先“立天元一為某某”,即“設某某為未知數x”.簡單介紹方程的發展史.

設計意圖：由具體到抽象的過程,培養學生分類、歸納、概括的能力.利用史話“元”和方程史的介紹,有意識地拓展學生視野,激發學生學習方程的興趣.

1.4 環節四:古今問題,提升能力

(1)“以繩測井”問題

若將繩三折測之,繩多四尺;若將繩四折測之,繩多一尺.繩長、井深各幾何?譯文:用繩子量井深,把繩子三折來量,井外余繩四尺;把繩四折來量,井外余繩一尺.繩長、井深各幾尺?

(2)回歸生活,發展應用意識

“昨天我為班級秋游活動采購水果:蘋果每斤4元,橘子每斤2元,我用62元班費恰好買回兩種水果共20斤.今天大家到蠡湖劃船又遇到了困難:每條大船坐6人,每條小船坐2人,經過我的巧妙安排,全班50人恰好坐滿11條船.”這是小聰同學秋游日記中的一段,你能提出哪些問題?

設計意圖：鞏固練習中的中國古代“以繩測井”問題,學生能抓住兩種不同的相等關系列出不同的方程;將秋游融入課堂,體現數學與生活的聯系.開放性問題設計,發展學生閱讀、整合信息的能力.學生深刻感受到方程是刻畫現實世界中相等關系的重要模型.

1.5 環節五:課堂總結,建構體系

理清脈絡,建構出本章節的知識和方法體系,如圖1,為后續學習指明方向.

圖1

2 教學思考

起始課的高立意,要深度剖析教學內容,注重知識結構的系統性、整體性,充分挖掘知識蘊涵的觀念和思想.

2.1 深度剖析,精準施教

課題“從問題到方程”,“問題”“方程”以及一個“到”字,說明包含“問題”與“方程”兩個方面內容;而“到”字是靈魂,即要實現從問題到方程的過渡.首先,突出學習方程的必要性:幫助學生完成從算術思維到方程思維的過渡,即逆向思維到順向思維的過渡.張奠宙先生說過:“本質上,方程是溝通已知、未知的橋梁.”我們引入未知量,根據問題中的相等關系,通過方程就能將未知量和已知量聯系起來,進一步解決問題.其次,對“到”字的價值思考:如何落實“到”字,是重點.這個過程實際上就是數學建模.本節內容是初中代數建模教學的起點,教師應逐步培養學生從現實情境中抽象出數學問題,用數學語言描述問題,用數學的方法來解決問題的能力.最后,到怎樣的方程:本節內容并不是“從問題到一元一次方程”.在教學中,要不拘泥于方程的形式,大膽將此節課作為整個方程大單元教學的起始課,讓學生感受利用各種方程解決問題的有效性.

教師要明白,怎樣的問題可以體現方程法的必要性——即設計的問題需用到左右兩邊都含未知數的方程.精準定位是實施教學,通往高效課堂的基本保障.

2.2 科學建構,優化認知

本節內容是“一元一次方程”章節和“方程”大單元的起始課,因此要整體把握教學內容,剖析知識間的縱橫聯系,形成科學的認知結構.(1)滲透數學建模思想,提煉出“問題解決”的基本步驟,未來用“二元一次方程(組)、分式方程、一元二次方程、不等式、函數”模型解決問題都是按照這樣的基本步驟展開的;(2)建構學習思路,為未來學習指明方向:首先學習一元一次方程的概念,接下來還會研究其解法、應用,今后學習二元一次方程(組)、分式方程、一元二次方程都是按照這樣的“套路”.通過知識與方法的構建,學生能整體把握內在聯系,在起始課中有意識地播下這粒種子,將來必能顯現出無窮的力量.

2.3 挖掘價值,發展素養

(1)建模思想

史寧中教授說過:“學生用自然語言闡述所述的事情,然后抽象成數學表達,最后用數學符號建立方程,解決問題,這正是建模的過程.”通過構造數學模型來解決實際問題的方法已廣泛應用于各個領域.學生建模能力的培養是個日積月累的過程,本節教學承載著重要的任務——讓數學建模思想在此刻落地生根.基于此,開始的情境引入、課尾的“秋游日記”,設計成開放性問題,積極為學生創造機會去經歷分析、歸納、概括、提煉、抽象出數學問題的過程,形成數學表達,再用方程模型加以解決,旨在培養學生的觀察力、讀取和整合信息的能力以及表達能力,這是發展建模能力的基本要求;其次,在教學中滲透完整的數學建模的基本步驟,即“數學抽象”“建立模型”“求解模型”“應用模型”,初步培養學生建模的觀念.因此,一線教師要積極學習新的教學理念和方法,發展學生的素養,最終實現全面、創造的發展.

(2)文化育人

有高度、深度、寬度的課堂教學,需要深刻剖析教學內容所包含的工具價值,還要挖掘數學知識所蘊含的文化價值、育人價值,促進學生思維品質的發展,讓數學育人真正落到實處.