凸顯數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)設(shè)計(jì)*
——以二次函數(shù)復(fù)習(xí)課為例

2023-12-24 07:24:04仲偉東

中學(xué)數(shù)學(xué) 2023年24期

關(guān)鍵詞：方法教學(xué)學(xué)生

朱平仲偉東

? 江蘇省南京市江寧高新區(qū)中學(xué)

1 教學(xué)目標(biāo)分析

(1)利用預(yù)設(shè)的二次函數(shù)問題,建構(gòu)二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)體系;

(2)學(xué)生經(jīng)歷“一題多變,一題多解”教學(xué)過程,從“數(shù)”和“形”兩個(gè)角度進(jìn)一步理解二次函數(shù);

(3)借助具體問題的提出與解決,幫助學(xué)生理解函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系;

(4)學(xué)生經(jīng)歷解決問題的過程,進(jìn)一步體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”是研究函數(shù)的基本方法與路徑.

2 教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)

2.1 環(huán)節(jié)一:利用函數(shù)問題引導(dǎo)學(xué)生由“形”想“數(shù)”

問題如圖1,二次函數(shù)y=a(x+1)2+4(a≠0)的圖象與x軸交于點(diǎn)A(-3,0),你能得到哪些結(jié)論?

圖1

教學(xué)功能分析：由一道不完整的題干出發(fā),提出開放型問題,引發(fā)多方位思考.從學(xué)生回答的內(nèi)容出發(fā),引導(dǎo)學(xué)生回顧二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),使所學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化、立體化.教師“以學(xué)定教,順學(xué)而教”,引導(dǎo)學(xué)生由“形”想“數(shù)”,讓不同層次的學(xué)生都有所收獲,自主建構(gòu)二次函數(shù)的知識(shí)體系.

教學(xué)示范:學(xué)生獨(dú)立思考并書寫.教師巡視,找尋學(xué)生從不同角度得出的結(jié)論,從學(xué)生所寫內(nèi)容出發(fā),層層深入.如圖2,引導(dǎo)學(xué)生得到以下幾個(gè)方面的結(jié)論.

圖2

(1)由圖象開口向下可以得到a<0.

(2)將A(-3,0)代入二次函數(shù)y=a(x+1)2+4(a≠0),得到a=-1,進(jìn)一步得到二次函數(shù)關(guān)系式為y=-(x+1)2+4,即y=-x2-2x+3.

(3)該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,4),對(duì)稱軸為過點(diǎn)(-1,4)且平行于y軸的直線.

(4)由于二次函數(shù)圖象具有對(duì)稱性,對(duì)稱軸為直線x=-1,且已知圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A(-3,0),因此可得圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為B(1,0).另一種方法為先求出函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-x2-2x+3后再求得另一個(gè)交點(diǎn).

(5)結(jié)合函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-x2-2x+3,可知圖象與y軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,3).

(6)圖象的增減性:當(dāng)x<-1時(shí),y隨x的增大而增大;當(dāng)x>-1時(shí),y隨x的增大而減小.

(7)函數(shù)值分別大于0、等于0、小于0時(shí)對(duì)應(yīng)的x的取值范圍.當(dāng)-30;當(dāng)x=-3或x=1時(shí),y=0;當(dāng)x<-3,或x>1時(shí),y<0.

根據(jù)以上結(jié)論,引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的知識(shí)體系,如表1所示.

表1 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

2.2 環(huán)節(jié)二:利用問題變式引導(dǎo)學(xué)生由“數(shù)”想“形”

變式用表格方式對(duì)環(huán)節(jié)一的問題進(jìn)行變式.

例1已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),且a≠0)中,函數(shù)y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如表2:

表2

(1)m=______;

(2)設(shè)計(jì)一種平移(上下平移或左右平移)方案,使原點(diǎn)在平移后的函數(shù)圖象上.

解：(1)法1.利用待定系數(shù)法先求出該函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-x2-2x+3,再把x=-4代入,求得m=-5.

法2:根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性,縱坐標(biāo)相等的兩個(gè)點(diǎn)為對(duì)稱點(diǎn),可得m=-5.

(2)法1.由表3可知,函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),該點(diǎn)與原點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等,因此,只需將函數(shù)圖象向下平移3個(gè)單位長度就可經(jīng)過原點(diǎn).還可以由表3知,函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)(-3,0)和(1,0)的縱坐標(biāo)與原點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等,因此,只需將函數(shù)圖象向右平移3個(gè)單位長度或向左平移1個(gè)單位長度就可經(jīng)過原點(diǎn).

表3

法2:畫出函數(shù)y=-x2-2x+3圖象,并找出平移的方法.

教學(xué)功能分析：第(1)問可以測評(píng)學(xué)生運(yùn)用不同方法解題的差別.一種是先求函數(shù)關(guān)系式(三種方法,不同方法求出函數(shù)關(guān)系式的速度也會(huì)不同),再將x=-4代入求得m的值;另一種是利用二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性及對(duì)稱點(diǎn)縱坐標(biāo)相等的性質(zhì)直接得到結(jié)果.很顯然,利用圖象的對(duì)稱性解決起來更加簡單.問題(2)考查學(xué)生靈活運(yùn)用平移知識(shí)解決問題的能力.而第(1)問的解決會(huì)給第(2)問的解決奠定基礎(chǔ),最終讓學(xué)生理解圖象平移的關(guān)鍵在于抓住圖象所經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo).

教學(xué)示范:處理第(1)問時(shí),讓學(xué)生先獨(dú)立思考并書寫,教師巡視,針對(duì)學(xué)生所使用的不同方法進(jìn)行點(diǎn)評(píng).處理第(2)問時(shí),當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象向下平移3個(gè)單位長度后能經(jīng)過原點(diǎn)時(shí),教師應(yīng)及時(shí)追問,你是怎么想的?還有其他想法嗎?

弱化條件:將第(1)問中的函數(shù)圖象向下平移n個(gè)單位長度后,得到的新的二次函數(shù)關(guān)系式為y=-x2-2x+3-n.

例2已知二次函數(shù)y=-x2-2x+3-n(其中n為常數(shù),n>0).

(1)若該函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),求n的值;

(2)已知該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)P(m,y1),M(3,y2),且y1

解：(1)法1.由函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),可知該交點(diǎn)為二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn),即頂點(diǎn)在x軸上,故b2-4ac=0.由(-2)2-4×(-1)×(3-n)=0,解得n=4.

解得n=4.

法3:由對(duì)稱軸為直線x=-1,可得頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),代入y=-x2-2x+3-n,可得n=4.

法4:因?yàn)槎魏瘮?shù)y=-x2-2x+3圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,4),所以將函數(shù)圖象向下平移4個(gè)單位長度后,圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn),因此n=4.

(2)函數(shù)y=-x2-2x+3-n的圖象如圖3所示,在圖象上標(biāo)出坐標(biāo)為(3,y2)的點(diǎn)M,當(dāng)y13.

圖3

教學(xué)功能分析：第(1)(2)問的設(shè)計(jì),是為了引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)與形兩個(gè)角度來思考并解決問題,將函數(shù)、方程、不等式三者之間的關(guān)系進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化.在解決問題后,進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思和方法優(yōu)化.

教學(xué)示范:對(duì)于第(1)問,教師可以通過提問“如何理解函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)?能從方程的角度考慮嗎?嘗試畫一個(gè)草圖”,引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行思考,鼓勵(lì)學(xué)生從多個(gè)角度運(yùn)用多種方法解決問題.

對(duì)于第(2)問,可以從“數(shù)”的角度分析.由y10.這個(gè)不等式可以用如下兩種方法解決:

方法2:從“形”的角度解決.畫出函數(shù)y=x2+2x-15的圖象,利用數(shù)形結(jié)合的方法加以解決.

教學(xué)過程中,教師要注意引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)與形兩個(gè)角度進(jìn)行思考與分析.從數(shù)的角度,關(guān)鍵是與方程、不等式建立聯(lián)系;從形的角度,關(guān)鍵是抓住重要的“點(diǎn)”(頂點(diǎn)、對(duì)稱點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)),鼓勵(lì)學(xué)生多角度思考問題,運(yùn)用多種方法解決問題.

3 教學(xué)反思

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過:“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形缺數(shù)時(shí)難入微.”受此啟發(fā),筆者利用一個(gè)二次函數(shù)y=-x2-2x+3串起了整節(jié)課,通過圖象、表格、表達(dá)式三種形式之間的轉(zhuǎn)換,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法來研究函數(shù),實(shí)現(xiàn)由具體的數(shù)字到抽象的字母這樣一種“從特殊到一般”的研究過程,層層遞進(jìn),讓學(xué)生的知識(shí)體系不斷生長,知識(shí)網(wǎng)絡(luò)不斷完善,進(jìn)而提高復(fù)習(xí)課的課堂效能.