“數學整體教學”在指向兒童關系性的理解中建構

☉張曉曉

教育的最終目的是激發兒童的自我潛力，引導他們的自我發展?！皵祵W整體教學”，即數學教師在整體觀和系統論的指導下展開的“有發生”“在發展”“有成效”“會應用”的教學實踐。小學數學的整體教學要求數學老師能站在整體的高度，堅持數學素養的綱領，整合數學核心的觀念，重組數學教學的內容，基于數學整體的組織，構建整體的能夠關聯的兒童學習狀態。

“數學整體教學”有三要素：一是“整體”，這是教師開展學科教學的基本觀點，它關注的是學生過去的積累、現在的狀態和將來的發展，關注的是數學知識自身的邏輯關系和先后發生發展的規律；二是“數學”，它是學生學習的核心內容，“數學”的主要任務是學生在教師的“教學”中能夠提高思維的能力、提升數學的素養；三是“教學”，它是教師工作的核心內容，在教師的整體設計中學生能夠呈現系統的自主的學習生態。因此，小學數學的整體教學是兒童的經驗、數學的知識和現實的世界三者之間整體關聯的兼顧，它強調兒童的主體地位，以及兒童對數學知識之間關系性的理解。

教育部發布的《義務教育數學課程標準（2022 版）》中強調“數學研究的是數量關系和空間形式，它來源于人們對現實世界的抽象，對數量及其關系的抽象，對圖形及其關系的抽象，從而發現數學的研究對象，得到各種研究對象之間的關系?！边@句話更進一步強調了“數學的教學離不開數學研究對象之間關系性理解”。關系性理解，即兒童能夠厘清數學知識體系中各種要素之間的相互關系和相互作用，他們對數學知識及其意義獲得的途徑，數學規律的邏輯依據有著深刻的認知。因此，數學整體教學，既要讓學生掌握數學知識，又要讓他們理解數學知識的形成和發展過程，弄清數學知識的“前世今生”，更要讓他們找準數學知識的生長點和發展點，建構結構化的體系化的認知框架。

一、全局觀：數學知識從點狀走向整體

在當前的很多數學課堂里，我們會發現數學教學呈現碎片化，究其原因是教師在設計每一課時的內容時，割裂了學生知識的生長點，忽視了學生已有的知識經驗，同時，教師既沒有梳理出數學知識的“前因后果”，也沒有準確定位學生已有的知識經驗，更沒有預設他們后續的發展水平。而數學的核心素養不是體現在單個的知識點，而是隱藏在知識體系中。因此，數學整體教學要從學生已有的經驗出發，找到新舊知識之間的相互聯系，關注他們對現有知識的理解程度，預設他們可能的發展水平，整體設計教學內容，用全局觀讓數學知識的教學從點狀走向整體。［1］

小學階段的數學以運算的學習為主線。運算的教學要基于算法和算理——算法就是“怎么算”，是運算的程序，是運算的步驟，無論是運算的程序還是運算的步驟，都要遵循一定的規則；算理則是“為什么這么算”，是算法的原理。在實際教學中，教師不僅要引導學生搞清楚怎么算，還要讓他們在各種表征方法中理解為什么這么算。這就要求在運算教學中，兒童在算法的掌握中明晰算理，厘清算法和算理的關系，既掌握算法又理解算理，才能達到關系性理解，數學的學習才更有意義。

【課例1】學生第一次接觸“混合運算”這個概念是蘇教版三年級數學下冊，這個內容既是小學階段“數的運算”的教學節點，又是“四則混合運算”的起始課。這節起始課的教學重難點是理解并掌握“運算順序：沒有小括號時，同一級運算從左往右算，含有兩級運算時，先乘除后加減；有小括號時要先算小括號里面的”。教師可以引導學生以畫圖表征或語言表達等方式，結合具體的“購物”情境理解算法和算理。其實，在低年級的數學學習中，學生在一年級已接觸到連加、連減、加減混合，在二年級已接觸到乘加、乘減的混合運算，在這些接觸中，學生逐步形成了運算順序的思維定勢——從左往右。因此，在本節課的開始，教師可以立足學生已有的知識起點，從“連加連減”和“乘加乘減”兩組計算題的對比入手，讓學生認識“什么是混合運算”，感受“混合運算有運算順序”。接著，教師創設購物情境，引出“買3 支鋼筆和1 盒水彩筆，一共需要多少元”“用50 元去購買3 本筆記本，還剩多少錢”等問題。學生在自主探究、合作交流的基礎上嘗試將兩道算式合并成一道綜合算式，在計算時他們結合付錢的實際發現算式中有乘法和加法（減法）時，都要先算乘法，不管乘法寫在前面還是后面。此時，學生心中有了認知的沖突“以前不管是乘加還是乘減都是從左邊開始算的，今天先算乘法卻是從右邊開始的”。接著，教師引導學生將今天的算式和以前的算式進行對比，他們發現“乘加和乘減的算式中因為乘法寫在前面，所以先算乘法，就要從左往右計算”，與今天“先乘除后加減”的運算順序并不矛盾。

在這個課例中，學生產生了新知識和原有認知上的沖突，此時教師舍得留足探究的時間，在慢慢的感悟和深刻的理解中，在經歷了猜想、辨析和表征后，學生充分理順了新舊知識間的關系，發現了新規律，獲得了新經驗。

二、問題觀：引導探究從被動走向主動

數學整體教學是在大概念統整下的教學。此處的大概念，是最能反映數學本質的、具有共識性的統領性的核心概念，不是數學知識中某一個具體的概念。大概念落實到具體的課堂中，就是能夠引發學生持續思考、深刻探究的核心問題。因此，教師要樹立問題觀，引導學生的探究從被動走向主動，將寬泛的大概念與具體的數學知識關聯，將“抽象”的學科知識轉化成“形象”的數學問題。［2］

【課例2】蘇教版五年級數學上冊有一節探索規律的數學活動課《釘子板上的多邊形》。這一課的教學重難點就是“探索、歸納釘子板上多邊形的面積與多邊形邊上釘子數、內部釘子數之間的關系”，這個規律比較隱蔽，學生無法直接探究出來。因此，教師可以創設問題情境，用有意義的具有進階性的問題激發學生的探究興趣，引發他們的思考，自然地開展各種探究活動。

?出示幾組平面圖形，這些平面圖形都在釘子板上，圖形里面只有一顆釘子（相鄰橫著或豎著兩顆釘子間的距離都是1 厘米，相鄰四顆釘子圍成的正方形的面積是1 平方厘米）。

教師提問：這些圖形的面積與圖形邊上的釘子的數量有關系嗎？如果有關系，是什么樣的關系呢？

這個問題學生易于探究，在操作、計算、談論中，他們發現“多邊形的面積＝多邊形邊上釘子數÷2”。

教師再圍幾個任意多邊形，跟學生一起驗證剛才的發現，學生發現老師圍的多邊形面積有時符合規律，有時不符合規律。

教師提問：符合這個規律的圖形有著什么樣的共同點？

在學生交流中，教師完善剛才發現規律的前提就是“多邊形里面只有1 枚釘子”時，多邊形的面積才等于多邊形邊上釘子數的一半（多邊形的面積乘2 等于多邊形邊上釘子數）。

?教師提問：釘子板上圖形的面積除了跟邊上釘子數有關，跟里面的釘子數有關嗎？如果多邊形的里面有2 顆釘子、3 顆釘子，甚至更多，對于多邊形的面積有什么影響呢？

這個問題打破了學生固有的思維，不同的組有了不同的研究目標，在組內也進行了分工，有的圍的圖形內部有2 顆釘子，有的圍的圖形內部有3 顆釘子，有的圍的圖形內部有5 顆釘子……在全班同學的合作與交流中，他們發現圖形內部的釘子影響著圖形面積與圖形邊上釘子數的關系。在學生的小結中，教師不斷完善著規律：

A 表示圖形內部的釘子數，S 表示多邊形的面積，n 表示多邊形邊上的釘子數

當a ＝1 時，S ＝n÷2；

當a ＝2 時，S ＝n÷2 ＋1；

當a ＝3 時，S ＝n÷2 ＋2；

猜想

當a ＝m 時，S ＝n÷2 ＋（m－1），這個是否成立，需要繼續驗證。

在這個課例中，教師幫助學生找到了知識間聯系的媒介，即兒童的關系性理解。因為數學知識的學習從來都不是獨立的，因為數學知識之間就是相關聯的?；陉P系性理解的數學活動，不僅可以幫助學生克服惰性，又可以讓他們在數學知識、數學方法和數學思想之間主動建立起聯系，還可以建構起數學知識的網絡體系，使他們能夠有效掌握數學知識，高效培養數學技能。

三、任務觀：抓住建構從零碎走向關聯

美國著名的教育心理學家布魯納認為：學生必須掌握學科的課程結構，這樣既有助于理解和掌握新舊知識，又有助于開展后續的數學學習。［3］根據布魯納的結構課程論，教師在選擇和編排教學內容時，要先理清數學知識體系中的核心，再弄清各個知識點之間縱向和橫向的聯系，最后在教學過程的設計中體現數學知識和學生認知之間的聯系。正如，鄭毓信教授所說：“教學數學知識不求全面而求關聯，教學數學技能不求全面而求變化?！睌祵W學科中基本的概念、學習的方法、數學的思想等都是有著聯系且又能互相作用的有機整體，數學教師在教學時，首先要讓點狀的零碎的知識點形成縱橫交錯的知識網，其次要借助多元表征建構數學概念，關聯數學方法，建構數學思想。因此，教師要善于用關聯性的任務去驅動學生的學習，用幾個有關聯的，有層次的任務，或具有連續性和一致性的任務群，去實現數學知識和數學思想的關聯。

【課例3】蘇教版三年級數學上冊中有一個數學實踐活動是“間隔排列”。該活動的教學重難點是讓學生經歷“一一間隔排列”規律的探索過程；找到“首尾不同，兩者個數相同；首尾相同，兩者個數相差1”的規律；會運用規律解釋并解決生活中的實際問題。對于“一一間隔排列”的現象，學生在平時生活中已有大量的經驗。這種經驗是無意識的，教師要幫助學生理解與建構“一一間隔”的規律。因此，教師要設計層次化、結構化、螺旋式的任務，幫助學生獲得活動經驗的積累和數學素養的生長。

?初見規律：教師提供大量的生活物體的排列實例，學生在觀察、討論和交流中，發現這些現象的共同特征就是“兩種物體一個隔著一個排列”。

?初探規律：兩種物體一一間隔，有幾種情況？這時候這兩種物體的數量之間有什么關系？教師提供幾個白球和黑球，讓學生擺出一一間隔排列的情況。在學生的猜想、操作和交流中，教師畫下四種情況（第一個是黑色，最后一個可能是黑色，也可能是白色；第一個是白色，最后一個可能是白色，也可能是黑色）。白球和黑球的個數可能相同，也可能相差1。

?理解規律：將上述的四種情況進行分類，通過學生的辨析，這四種情況實際上是兩種類型：首尾相同和首尾不同的，當首尾相同時，白球和黑球的數量相差1；當首尾不同時，白球和黑球的個數相同。

接著，教師將白球和黑球一一間隔排列并圍成一圈，讓學生辨析這種情況是屬于首尾相同還是首尾不同。學生將白球和黑球兩兩分組后發現，圍成一圈就是首尾不同的類型。

上述課例中，“一一間隔排列”的規律有著邏輯規律：首尾相同和首尾不同，但是卻散落在一個個具體的實例中。這時教師能夠抓住核心的規律，從大概念入手，通過操作白球和黑球進行一一間隔排列，將相關的規律聯系起來，學生很快找出一一排列的兩種類型，即首尾相同和首尾不同。在不同情況的梳理中，學生很快建構起知識的框架。學生理順了數學知識與生活的聯系，便順利建立起知識體系，更好地理解了數學知識的本質，有效建構起數學概念。

四、運用觀：幫助遷移從機械走向靈活

整體教學中在學生建構起知識結構后，需要將數學知識進行運用。這種運用不是簡單機械地模仿，而是在多種表征的幫助下，既能理解知識的內涵，又能豐富知識的外延。

【課例4】蘇教版五年級數學上冊第四單元《多邊形的面積》，這個單元安排的內容有比較圖形的面積、認識平行四邊形、三角形和梯形的底和高，從推導平行四邊形面積計算公式的過程中滲透“轉化”思想，新圖形轉化為已探究過的圖形，所以教學的重難點定位為關注學生理解數學思想、梳理不同圖形之間的關系。

在平行四邊形的面積推導中，教師要引導學生猜想、驗證、交流、總結，建立起“平行四邊形”和“長方形”的聯系，理解圖形變化前后相關元素的關系，總結出平面圖形公式推導的一般方法——轉化。有了平面圖形的推導經驗，學生在探究三角形和梯形的面積推導公式就顯得“如魚得水”，并能從“機械”變得“靈活”，能舉一反三地運用“轉化”的策略多種形式地探究規律。

綜上所述，數學整體教學要求教師把握數學學習的核心要素，培養學生關系性理的能力，建立學生數學知識的體系，讓學生對數學學習有“全景式”的認識和把握。