一類(lèi)轉(zhuǎn)動(dòng)懸臂板的穩(wěn)定性及局部分岔分析

厲筱峰，陳怡琳，安鳳仙

（淮陰工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院,江蘇 淮安 223001）

飛行器上的旋翼、渦輪發(fā)動(dòng)機(jī)、衛(wèi)星天線、太陽(yáng)能帆板等結(jié)構(gòu)都可被簡(jiǎn)化成轉(zhuǎn)動(dòng)懸臂板模型,轉(zhuǎn)動(dòng)懸臂板的動(dòng)力學(xué)方程可用非線性系統(tǒng)進(jìn)行描述,當(dāng)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)存在非線性因素時(shí),有可能引發(fā)分岔現(xiàn)象［1］。分岔現(xiàn)象的后果會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)動(dòng)態(tài)失穩(wěn),如果不能及時(shí)對(duì)失穩(wěn)加以控制,整個(gè)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)就會(huì)受到嚴(yán)重破壞。近年來(lái),有關(guān)板的穩(wěn)定性、分岔和混沌等問(wèn)題引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。Chen等［2］研究了轉(zhuǎn)動(dòng)懸臂矩形板在變速和離心力作用下的分岔行為和穩(wěn)定性,利用中心流形定理和正規(guī)型理論得到了穩(wěn)態(tài)解和穩(wěn)定區(qū)域。Chen等［3］對(duì)一種大擾度和旋轉(zhuǎn)角度下的一般非線性柔性矩形懸臂板進(jìn)行建模,應(yīng)用Hamilton原理和Runge-Kutta方法揭示了一般非線性柔性矩形懸臂板的復(fù)雜線性行為。Guo等［4］利用伽遼金法得到了復(fù)合材料壓電板的系統(tǒng)方程,并用數(shù)值方法研究了系統(tǒng)的非線性振動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)。Zhang等［5］利用漸近攝動(dòng)法導(dǎo)出了1:2內(nèi)參數(shù)共振和主參數(shù)共振情況下增強(qiáng)復(fù)合材料旋轉(zhuǎn)翹曲懸臂板的平均方程,并用數(shù)值方法研究了幅頻響應(yīng)曲線、力-振幅響應(yīng)曲線和混沌動(dòng)力學(xué)行為。Chen等［6］通過(guò)引入坐標(biāo)變換,應(yīng)用哈密頓原理得到了矩形懸臂板的微分動(dòng)力學(xué)方程,采用諧波平衡法研究了系統(tǒng)的非線性頻率響應(yīng)曲線。Zhang等［7］基于三階剪切變形理論研究了主參數(shù)共振、1:2次諧共振和1:2內(nèi)共振下轉(zhuǎn)動(dòng)懸臂板的幅頻響應(yīng)曲線、分岔和混沌行為。

本文主要利用規(guī)范型理論、Huiwitz準(zhǔn)則、分岔理論與四階Runge-Kutta 算法數(shù)值模擬相結(jié)合的方法研究了亞音速下轉(zhuǎn)動(dòng)懸臂板的穩(wěn)定性和局部分岔行為。先利用規(guī)范型理論得到了系統(tǒng)方程在一個(gè)零特征根和一對(duì)純虛特征根退化情形下的規(guī)范型,并確定了初始平衡點(diǎn)、靜態(tài)分岔解、一次Hopf分岔解、二次Hopf分岔解的具體表達(dá)式,然后根據(jù)Huiwitz判別法得到了系統(tǒng)的穩(wěn)定條件和穩(wěn)定區(qū)域。最后,利用四階Runge-Kutta算法進(jìn)行數(shù)值模擬驗(yàn)證了理論分析結(jié)果的正確性。

1 問(wèn)題陳述

考慮如下轉(zhuǎn)動(dòng)懸臂板的四維平均方程［8］：

方程（1a～1d）在初始平衡點(diǎn)( 0 ,0,0,0 )處的Jacobi矩陣為：

其 中,μ1=f2h5,μ2=f2k3,γ=f1k4,σ=σ1-h3,η=f1h6,α=f2h1,β=f1h2。

則（2）的特征多項(xiàng)式為：

其中：

若滿足如下條件：

則 由Hurwitz 準(zhǔn) 則［9-10］,系 統(tǒng) 初 始 平 衡 點(diǎn)(x1,x2,x3,x4)=( 0 ,0,0,0 )是漸近穩(wěn)定的；若條件（5）不滿足,系統(tǒng)可能會(huì)發(fā)生分岔現(xiàn)象。

2 穩(wěn)定性及分岔行為分析

2.1 系統(tǒng)的平衡解

假設(shè)特征多項(xiàng)式（3）具有一個(gè)零特征根、一對(duì)純虛特征根和一個(gè)負(fù)特征根,選取參數(shù)值（參數(shù)取其他值時(shí)可類(lèi)似分析）：

則特征多項(xiàng)式（3）的系數(shù)為：

Jacobi矩陣（2）的特征值為：

選擇系統(tǒng)參數(shù)( )μ1,k2為擾動(dòng)參數(shù),利用如下參數(shù)變換：

及狀態(tài)變量變換：

則系統(tǒng)方程（1）可以變換為：

初始平衡點(diǎn)z1,z2,z3,z4=( 0,0,0,0 )處,系統(tǒng)方程（11a～11d）在臨界點(diǎn)ζ1c=ζ2c-0 的Jacobi矩陣為：

且系統(tǒng)在臨界點(diǎn)附近的動(dòng)力學(xué)行為和z1,z2以及z3有關(guān)。

通過(guò)引入近恒等非線性變換zi=yi+gi(yj),及變換y1=y,y2=rcosθ,y3=rsinθ,y4=y4,利用Maple程序可得系統(tǒng)（11a～11d）的規(guī)范型為：

由y?=r?=0 可以得到以下平衡解：

（3）一次Hopf分岔解（H.B.（I））：

（4）二次Hopf分岔解（H.B.（II））：

2.2 平衡解穩(wěn)定性及分岔行為分析

系統(tǒng)方程（13）的Jacobi矩陣為：

將E.S.（14）代入Jacobi矩陣（18）中,則有：

當(dāng)J(0,0)有兩個(gè)負(fù)特征根時(shí),E.S.是穩(wěn)定的,因此E.S.的穩(wěn)定性條件為：

因此,可以得到E.S.的穩(wěn)定區(qū)域如圖1 所示,穩(wěn)定區(qū)域的兩條臨界曲線為以及?,E.S.通過(guò)轉(zhuǎn)遷曲線L1 分岔出靜態(tài)平衡解。

圖1 一個(gè)零特征根和一對(duì)純虛特征根情形下的轉(zhuǎn)遷曲線和穩(wěn)定區(qū)域

類(lèi)似可以確定S.B.（15）的穩(wěn)定性條件如下：

H.B.（I）（16）的穩(wěn)定性條件為：

穩(wěn)定區(qū)域的邊界曲線為L(zhǎng)2和L3：-324ζ1+2645ζ2=0(ζ2>0 ),如圖1。

顯然,條件Det=11 256y2r2>0 恒成立。則H.B.（II）穩(wěn)定區(qū)域的邊界曲線為：

分岔曲線和穩(wěn)定區(qū)域如圖1所示。

2.3 數(shù)值模擬

為了驗(yàn)證理論分析的正確性,從圖1的不同區(qū)域選取參數(shù)值利用四階Runge-Kutta 算法進(jìn)行數(shù)值模擬。分別從E.S.、H.B.（I）和H.B.（II）的穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)選取(ζ1,ζ2)=( 0.1,-0.1) 、(ζ1,ζ2)= ( 0.5,0.01)和(ζ1,ζ2)=( 0.5,0.08 ),初始點(diǎn)分別為(x1,x2,x3,x4)=(0.01,-0.02,0.01,0.03) 、 (x1,x2,x3,x4)= （ -0.01,0.04, -0.02, 0.03） 和 (x1,x2,x3,x4)= （0.01,0.06,-0.03,0.04）,得到系統(tǒng)投影在x1-x2和x3-x4子平面的相圖,如圖2～圖4所示,可以看出數(shù)值模擬結(jié)果與理論分析是一致的。

圖3 ( ζ1,ζ2 )= ( 0.5,0.01) ，初始值( x1,x2,x3,x4 )=( - 0.01,0.04,-0.02,0.03) 時(shí)的相圖

圖4 ( ζ1,ζ2 )=( 0.5,0.08) ，初始值( x1,x2,x3,x4 )=（0.01,0.06,-0.03,0.04）時(shí)的相圖

3 結(jié)論

本研究利用規(guī)范型理論、Hurwitz 準(zhǔn)則以及分岔理論分析了轉(zhuǎn)動(dòng)懸臂板的穩(wěn)定性條件和局部分岔行為。在一個(gè)零特征根和一對(duì)純虛特征根的退化情形下,選取系統(tǒng)參數(shù)(μ1,k2)作為擾動(dòng)參數(shù),利用參數(shù)變換和狀態(tài)變量變換得到四維系統(tǒng)方程的規(guī)范型,及系統(tǒng)初始平衡點(diǎn)、一次Hopf分岔解和二次Hopf 分岔解的穩(wěn)定條件、轉(zhuǎn)遷曲線和穩(wěn)定區(qū)域。利用四階Runge-Kutta 算法進(jìn)行數(shù)值模擬驗(yàn)證了理論分析結(jié)果的準(zhǔn)確性。通過(guò)選取不同參數(shù)值時(shí),系統(tǒng)會(huì)有不同的相圖,表明系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為與系統(tǒng)參數(shù)間存在著依賴(lài)關(guān)系。