基于解析法的激勵器磁感應位置測量方法

陳麗武, 李勁林, 李怡杰, 鐘舜聰

(1.福州大學 機械工程及自動化學院 福建省太赫茲功能器件與智能傳感重點實驗室,福建 福州 350108;2.福建省力值計量測試重點實驗室(福建省計量科學研究院),福建 福州 350100;3.福建福光股份有限公司,福建 福州 350015)

磁懸浮技術[1]具有非接觸、無需潤滑、壽命長、無污染等優(yōu)點,是促進我國制造業(yè)和航空航天事業(yè)發(fā)展的關鍵技術[2]。但由于電磁力存在各種非線性因素,其具有開環(huán)不穩(wěn)定的特性。為實現(xiàn)閉環(huán)控制,需安裝一定數(shù)量的運動量測量傳感器并設計復雜的非線性控制器[3]。這不僅增加了磁懸浮平臺的體積和成本,同時由于測量元件一般與驅(qū)動元件異位安裝,給控制系統(tǒng)的設計增加了不小的難度。可能的解決方案是利用激勵器自身電磁元器件對運動量進行測量。目前該領域的研究主要集中在磁懸浮軸承方面,且已取得了較大的成就[4-6],但針對磁懸浮平臺的研究仍較少,如何利用平臺自身元器件進行運動量測量是亟需解決的關鍵問題。

在磁懸浮軸承領域,位移自傳感技術主要通過檢測回路中電流變化來實時估計轉(zhuǎn)子的位置。如馬建國[7]、Schammass[8]等運用線性功放及高頻小波注入法來測量位移,通過解調(diào)輸出的高頻小波信號即可完成位移估算。進一步,通過對上述注入小波的頻率進行選擇,可以在不影響控制的前提下實現(xiàn)位置估算[9]。隨著電子技術的發(fā)展,開關功放因其高效率的特點被逐漸普及,由于開關功放本身就蘊含著高頻開關紋波,因此也有研究人員致力于從開關紋波中提取轉(zhuǎn)子位移信息。如Mizuno等[10]采用滯后型開關功放,在工作過程中保持電流紋波的幅度為定值,進而將懸浮裝置的位置待測信息從上述功放的開關頻率中解調(diào)出來。Yu[11]、Van Schoor[12]等運用脈寬調(diào)制(Pulse-Width Modulation,PWM)控制開關功放對開關紋波進行解調(diào),并應用非線性參數(shù)估計法來估算轉(zhuǎn)子的相對位置。為了對永磁偏置型磁軸承進行研究,Jiang等[13]利用雙通道PWM解調(diào)方法獲得其轉(zhuǎn)子位移的自感知方法。為了實現(xiàn)更好的磁軸承性能,利用同步采樣PWM開關頻率,Hu等[14]對一種離散的電流估計方法進行了研究,以期減小自傳感測量的路徑。此外,結合力矩陀螺工作原理,趙建輝等[15]設計了一款差動電感式的位移傳感器,實現(xiàn)集成一體化傳感,并對其靜態(tài)、動態(tài)和溫度特性進行測試。然而,由于空間用磁懸浮平臺激勵器多采用洛倫茲力[16]結構,其與磁懸浮軸承的磁鐵吸引結構具有較大區(qū)別,最為明顯的區(qū)別是洛倫茲力激勵器一般具有較大的磁場間隙,氣隙不同位置的磁感應強度差別較大,磁懸浮軸承基于均勻磁場的各種自傳感測量方法和理論難以直接應用于洛倫茲力激勵器。

綜上所述,本文基于磁感應原理對磁懸浮平臺激勵器的位置測量方法進行了研究,重點探索了激勵器激勵線圈與磁鐵架以恒定速度相對運動時感應電壓與相對位置的映射關系,并進行了仿真和實驗驗證。

1 激勵器位置測量感應電壓解析計算

1.1 洛倫茲力激勵器

空間用磁懸浮平臺一般通過多套洛倫茲力激勵器的相互作用實現(xiàn)其浮臺與基臺間的六自由度運動控制。如圖1所示,本文所述磁懸浮平臺由三套二軸洛倫茲力激勵器相互作用組成。各激勵器分別由磁軛與永磁體構成磁鐵架,形成閉合磁路在工作氣隙處為激勵線圈提供磁場。激勵線圈與磁鐵架無機械接觸,當相互垂直的兩個激勵線圈分別通入電流時,即可在相互垂直的兩個方向分別產(chǎn)生洛倫茲力以驅(qū)動激勵線圈。

圖1 磁懸浮平臺及其激勵器示意圖

由于磁懸浮平臺的浮子和定子在空間需具有約±10 mm的運動行程,且線路板具有約10 mm厚度,磁鐵架閉合磁路存在較大的工作氣隙。此外,激勵線圈工作區(qū)域較大,氣隙磁場漏磁增加,閉合磁路在工作氣隙的磁場是不均勻的,即非線性的。而磁懸浮軸承由于工作氣隙小,建模時認為工作氣隙中磁場處處均勻。上述工作氣隙磁場條件導致了本文所述激勵器與磁懸浮軸承的自傳感測量方法存在明顯區(qū)別。事實上,本文所述激勵器運動量測量方法正是基于工作氣隙磁場的非均勻分布,探索激勵線圈在運動過程中由于磁場非線性變化所引起的感應電壓與其在磁場相對位置的映射關系。研究過程中如圖1所示構建坐標系o-xyz,該坐標系的原點位于兩個永磁體中間。如圖中紅色矩形框所示,感應線圈位于yoz所在平面,本文主要研究線圈沿y軸處于不同相對位置時所產(chǎn)生的感應電壓。

1.2 激勵器氣隙磁場解析建模

為了對激勵線圈電磁感應電壓進行建模,首先需對感應線圈工作區(qū)域的磁場即氣隙磁場進行建模。本文結合分子環(huán)流假說,利用Biot-Savart定律對電流元在氣隙空間各點的磁感應強度進行計算。如圖2所示,假設空間中存在一個電流為I的載流回路,其中任一電流元為Idl(l為載流環(huán)路),且該電流元在空間o1-x1y1z1坐標系中矢徑為rI=[xI1,yI1,zI1],任取空間一點p,設其矢徑為rp=[xp1,yp1,zp1],則由Biot-Savart定律可得其在點p處的磁感應強度B大小為

圖2 載流回路及空間任意點示意圖

(1)

式中:μ0為氣隙磁導率。

對圖2所示載流回路進行積分,即可得到載流回路在空間任意點產(chǎn)生的磁場強度如下:

(2)

在洛倫茲力激勵器大間隙氣隙磁場解析計算過程中,由于設計過程中充分考慮了磁軛的磁飽和問題,因此可認為磁軛不會出現(xiàn)磁飽和現(xiàn)象,將磁軛磁導率視為無窮大。進一步,利用鏡像法對由永磁體和磁軛構成的磁鐵架進行簡化,考慮永磁體沿x軸方向進行充磁,簡化模型以永磁體和磁軛的接觸面為鏡面,將磁軛等效為與永磁體體積大小相等的兩塊永磁體。如圖3所示,永磁體的橫截面邊長分別為2a和2b,厚度為h,等效永磁體的大小與其一致,邊長與厚度同樣分別為2a、2b和h。下面利用分子環(huán)流假說和Biot-Savart定律對上述等效模型進行三維磁場解析建模,以獲得工作氣隙各點的磁感應強度[17-18]。

圖3 磁鐵架等效簡化模型示意圖

依據(jù)分子環(huán)流假說,將如圖3所示永磁體橫截面對空間點的磁場作用等效為橫截面外圍邊緣對空間點的作用,將橫截面上的電流分為閉合的h1～h4這4段分別進行分析。假設表面環(huán)流的電流薄層厚度為dx,則其環(huán)流大小可表示為

I=Jsdx

(3)

式中:Js為等效電流密度;I為等效環(huán)流大小。

首先考慮左側的永磁體及其等效永磁體在工作間隙中任意點p(x0,y0,z0)的磁場強度Bl,可表示為

(4)

式中:Blx、Bly和Blz分別為在p點沿x、y、z方向的磁場強度值;i、j和k分別為沿上述3個坐標軸方向的單位向量;e為左側永磁體到氣隙中間點的距離;h為永磁體厚度。

進一步,先考慮p點受h1段作用,對應Bl在3個坐標軸方向的值分別為

(5)

同理,可分別計算h2、h3、h4段在p點沿各個坐標軸方向的磁感應強度分量。由于本文僅考慮感應線圈沿y軸運動的情況,位置測量過程中僅對x方向的磁場進行切割,故整理給出磁感應強度沿x軸方向的解析方程:

Blx=K[ψ(x0,y0-a,z0-b)-ψ(x0,y0+a,z0-b)+
ψ(x0,z0-b,y0-a)-ψ(x0,z0+b,y0-a)-
ψ(x0,y0-a,z0+b)+ψ(x0,y0+a,z0+b)-
ψ(x0,z0-b,y0+a)+ψ(x0,z0+b,y0+a)]

(6)

式中:

同理,可計算整理得到右邊永磁體在點p(x0,y0,z0)處產(chǎn)生沿x軸方向的磁感應強度為

Brx=K[ψ(x0,y0-a,z0-b)-ψ(x0,y0+a,z0-b)+
ψ(x0,z0-b,y0-a)-ψ(x0,z0+b,y0-a)-
ψ(x0,y0-a,z0+b)+ψ(x0,y0+a,z0+b)-
ψ(x0,z0-b,y0+a)+ψ(x0,z0+b,y0+a)]

(7)

式中:

由于左右兩塊永磁體為串聯(lián)布置,在工作氣隙內(nèi)所產(chǎn)生的磁場方向相同,可通過疊加原理計算yoz平面任一點沿x軸方向的Bx大小:

Bx=Brx+Blx

(8)

利用式(8)所示工作氣隙磁場計算方法,對某磁鐵架氣隙磁場進行計算,以o-xyz坐標原點為中心,在y和z軸±100 mm范圍內(nèi)每隔0.1 mm計算一個點,得到上述yoz平面的磁感應強度分布如圖4所示。由圖4可知,在yoz平面的磁場分布具有較為強烈的變化,中心位置的磁場強度在0.34 T左右,外圍的磁場強度基本為零,且上述變化并非均勻的。當感應線圈沿y軸由y1位置以特定速度向y3位置運動時,必然會有明顯變化的感應電壓產(chǎn)生。本文即利用上述變化的感應電壓對線圈的相對位置進行評估。

圖4 yoz平面的磁場分布及感應線圈運動示意圖

1.3 感應電壓計算及位置測量分析

根據(jù)電磁感應定律,感應電壓與回路中磁通隨時間的變化率成正比:

(9)

式中:u為感應電壓;N為線圈匝數(shù);Φ為磁通;t為時間。磁通Φ計算公式如下:

(10)

式中:S為線圈實際作用面積。

為獲得運動線圈的感應電壓,首先需要獲得作用在線圈上的磁場的變化。對式(9)進行推導,將式(9)中對時間t的全導數(shù)展開為對時間t的偏導數(shù):

(11)

由于激勵線圈在測量過程中大小不變,上式中的第二項偏導為0。

感應線圈為多層平面線圈,同一平面各匝線圈面積不同,所包圍的磁通也不同。為簡化計算,將平面線圈每匝的有效面積等效為Sr,其值取為平面線圈最外圈面積大小的93%。計算過程中,本文首先分別對面積Sr范圍內(nèi)n個小區(qū)域(0.01 mm2)的磁通量進行計算,且用各小區(qū)域中心點的磁感應強度替代該小區(qū)域的磁感應強度,將上述各小區(qū)域的磁通相加得到整體磁通,表示為

(12)

進一步,線圈沿y軸勻速直線運動,則上式中第i個小區(qū)域的磁感應強度變化可表示如下:

ΔBi=Bi(k+1)-Bi(k)

(13)

式中:Bi(k)為第k時刻第i個小區(qū)域的磁感應強度;Bi(k+1)為第k+1時刻該小區(qū)域的磁感應強度。由于線圈沿y軸勻速運動,上述磁感應強度變化實際上是該小區(qū)域沿y軸運動vt所產(chǎn)生的磁感應變化。結合式(9),可將線圈在第k時刻所產(chǎn)生的感應電壓表示為

(14)

式中:Bi(k+1)、Bi(k)可分別根據(jù)第i個小區(qū)域在該時刻的位置通過式(8)計算得到。

利用上述計算公式,對某線圈在工作氣隙中沿y軸以恒定速度直線運動時,在y軸±100 mm范圍內(nèi)一共計算了2 001個時間點的感應電壓值,如圖5所示。

圖5 感應線圈沿y軸運動時感應電壓大小變化曲線

觀察圖5可知,感應電壓以原點為中心,呈中心對稱分布。其中,AB段和EF段這兩個區(qū)域?qū)艌鐾鈬鷧^(qū)域,感應電壓值本身很小且變化很小,該區(qū)域為小變化區(qū),不利于開展位置測量;在BC段和DE段這兩個區(qū)域,感應電壓變化劇烈,具有明顯的非線性特性,且在C點和D點這兩個位置分別得到最小值和最大值,不利于開展位置測量;而在中間CD段這個區(qū)域范圍內(nèi),隨著位置變化,感應電壓從最小值變化到最大值,具有較好的線性度,該線性區(qū)是較為理想的感應測量區(qū)。磁懸浮平臺的運動行程為±10 mm,由圖5可知所提出的感應測量方法可實現(xiàn)其位置測量。

2 激勵器位置測量仿真與實驗設置

2.1 實驗樣機

為了對上述磁感應測量中感應電壓的計算方法進行驗證,本文設計實驗樣機進行了有限元仿真和實際測量實驗。實驗樣機的關鍵參數(shù)如下:永磁體的牌號為N35,矯頑力設置為760 kA/m,剩磁為0.801 T,兩塊尺寸均為40 mm×40 mm×20 mm,磁軛的厚度為20 mm,工作間隙為30 mm;激勵線圈為4層PCB板,每層含15匝感應線圈,線圈的邊長等效為95 mm。

2.2 有限元仿真設置

本文利用Ansoft 軟件對激勵器的氣隙磁場及線圈感應電壓進行有限元仿真[19],對數(shù)值進行分析時主要利用Maxwell方程組來對網(wǎng)格進行求解和計算:

(15)

式中:▽×為旋度算子;▽·為散度算子;H為磁場強度;J為電流密度;D為電位移矢量;E為電場強度;ρ為體電荷密度[20]。

仿真過程中,首先利用Solidworks對激勵器進行建模,進而將所建立的模型利用“modelor——import”導入到Ansoft軟件的操作界面中。進行的仿真分析步驟主要包括預處理、求解運算和后處理3個部分,具體如下。

(1) 預處理。

在創(chuàng)建分析文件后,選擇Transient作為求解器,導入文件后設置兩塊永磁體的材料為NdFe35,磁軛材料為steel_1008,線圈材料為Cu。進一步,進行網(wǎng)格劃分,如圖6所示,對線圈、永磁體和磁軛的網(wǎng)格劃分進行精細化處理,對應最大單元長度分別設置為1 mm、2 mm和5 mm,運動域和邊界的最大單元長度分別設置為20 mm和50 mm。

圖6 激勵器電磁感應有限元仿真示意圖

(2) 求解運算。

在上述預處理后,對感應線圈添加繞組及電流等,其中繞組設置為60 匝,并如圖6所示創(chuàng)建求解域及運動物體的band域。由于線圈沿y軸勻速直線運動,設置線圈速度為1.13 cm/s。此外,設置大小為0.5 ms/step的分析步,保存后即開始計算。

(3) 后處理。

待上述計算過程完成后,在Field中查看磁場強度和磁場密度云圖,在Results中查看感應電壓計算結果。

2.3 物理實驗設置

結合加工的實驗樣機,設置物理實驗測量裝置如圖7所示。其中,永磁體和電工純鐵(DT4)構成的C型磁鐵架被安裝在基礎上;含有感應線圈的多層線路板則被安裝在位移平臺上,用于實現(xiàn)在氣隙磁場中的勻速運動。位移平臺由其驅(qū)動模塊驅(qū)動,通過電機(Oriental,57HS56-3004-001) 的轉(zhuǎn)速控制實現(xiàn)線路板勻速前進。進一步,在測量過程中實時通過位移測量模塊和電壓采集模塊同步采集線路板所在的位置和感應電壓值。如圖7中所示,位移測量模塊通過JU-MAOAM-D100激光位移傳感器實現(xiàn),感應電壓的采集則通過信號處理電路和STM32開發(fā)板實現(xiàn),采集到的位置信號和感應電壓信號均發(fā)送到上位機進行存儲和處理。

圖7 磁感應位置測量實驗裝置示意圖

3 實驗結果分析

如上文所述,設置了有限元仿真和物理實驗對本文所提出的位置測量解析計算方法進行驗證。實驗過程中,設置激勵線圈相對磁鐵架以1.13 cm/s的速度勻速前進,線圈的感應電壓值經(jīng)過信號處理電路被放大約290倍。進一步,激勵線圈沿y軸勻速運動±100 mm,通過解析計算、有限元仿真和物理實驗的測量結果如圖8所示。由圖8可見,不同位置由解析計算得到的感應電壓理論值與仿真和實驗測量結果基本一致,特別是圖5所示的CD線性段,解析計算結果與實驗測量結果十分接近。

圖8 不同方法得到的感應電壓曲線

進一步,通過滿量程誤差δap、δfp、δaf(如圖9所示)分別展示了解析計算結果、仿真計算結果與實驗測量結果間的相對誤差,其計算公式分別為

圖9 解析、仿真及實驗測量結果間的誤差曲線

(16)

式中:Va、Vf、Vp分別為解析、仿真和實驗測試得到的感應電壓值;Vfmax、Vfmin、Vpmax、Vpmin分別為仿真和樣機實測得到的電壓最大值和最小值。由圖9(a)可知,解析計算結果與實驗測量結果的滿量程誤差δap基本保持在±5%以內(nèi),特別地,較為理想的CD段感應測量線性區(qū)內(nèi)誤差<5%。此外,由圖9(b)和圖9(c)可知,仿真計算結果與實驗測量結果及解析計算結果的誤差亦具有相同的分布。進一步,結合空間磁場對稱性,可見不同位置的誤差呈現(xiàn)對稱分布,且與圖5所示分區(qū)基本一致,誤差較小的區(qū)域主要分布在中間的線性區(qū)。綜上可知,本文所提出的激勵器位置測量感應電壓解析計算方法是正確可行的。

進一步,為了對感應線圈所產(chǎn)生的反向磁場大小進行評估,將其簡化等效為一個邊長為95 mm的平面矩形線圈,并依據(jù)Biot-Savart定律得到其在中心處的總體磁感應強度,計算公式為

(17)

式中:N為線圈匝數(shù);μ0為真空磁導率;I為線圈電流;la為線圈邊長。依據(jù)前文實驗可知,感應線圈所產(chǎn)生的感應電壓最大值約為8.2 mV,線圈電阻約為8.63 Ω。根據(jù)式(17)計算可得感應線圈所產(chǎn)生的磁場大小約為0.84×10-3mT,遠小于氣隙磁場中心處300 mT磁感應強度,因此在本例中線圈由于感應電流產(chǎn)生的磁場可忽略不計。當然,上述由于感應電流產(chǎn)生的磁場在設計過程中是不可忽視的,當感應線圈的匝數(shù)、電流、速度以及尺寸達到一定數(shù)量時,所產(chǎn)生的磁場強度就會對激勵磁場產(chǎn)生影響。

在上述研究過程中,本文提出了一種激勵器磁感應位置測量解析計算方法。當建立上述磁感應電壓值與激勵線圈相對位置映射關系以后,便可以利用感應電壓值的測量來精確獲取線圈的相對位置。但針對實際測量應用,上述研究顯然還有很多不足,最為關鍵的是本例在計算過程中要求線圈的運動速度和方向是恒定且已知的,并未實現(xiàn)真正意義的自我測量。可行的解決方案是引入新的測量電信號,如探索多感應線圈相互配合測量,進而消除運動速度等對位置測量的影響。

4 結束語

本文基于分子環(huán)流法、鏡像法以及Biot-Savart定律建立了磁懸浮平臺激勵器氣隙磁場精確解析模型,并結合法拉第電磁感應定律,得到激勵線圈在單自由度方向以恒定速度運動時的感應電壓計算方法,獲得激勵線圈感應電壓與相對位置的映射關系。最后,利用有限元仿真和物理實驗對解析模型進行了驗證。結合上述研究內(nèi)容,本文得出的結論具體如下。

① 解析計算結果與實驗測量結果相對比,滿量程誤差在±5%以內(nèi),解析解與實際測量結果基本吻合,特別地,擬用于位置測量的理想線性區(qū)的誤差在5%以內(nèi)。此外,解析計算結果與仿真解算結果的誤差分布范圍與此基本一致。由此,通過提取感應線圈兩端的電壓可以對線圈在工作氣隙的相對位置進行測量,即所提出的激勵器磁感應位置測量方法是可行的。

② 上述位置測量方法雖然是可行的,但距離實際應用仍有很大的差距,主要的不足在于當前的解析計算方法仍然依賴于線圈的速度值,在速度未知的情況下仍不能對位置進行測量。此外,本研究案例的磁場建模僅考慮了yoz平面所受的x方向磁場,如要實現(xiàn)磁懸浮平臺的六自由度測量,須完善整個空間的磁場模型,進而建立線圈六自由度位姿與感應電壓的映射關系。