素養(yǎng)視域下數(shù)的運算一致性新探

廣東省深圳市龍崗區(qū)華南師范大學附屬平湖學校 祝旭瑞

一致性，包括數(shù)的認識，即整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)表達的一致性，也包括數(shù)的運算，即整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)運算的一致性，同時，數(shù)與運算之間也具有一致性。所謂“一致性”，就是要經(jīng)歷一個再抽象的過程，使其擺脫現(xiàn)實背景和實際意義，達到一個數(shù)學化的過程。這樣的過程，有利于學生感悟數(shù)學的本質(zhì)，形成和發(fā)展核心素養(yǎng)，實現(xiàn)真正的減負提質(zhì)。對于“數(shù)的認識”和“數(shù)的運算”這兩個如此獨立又緊密聯(lián)系的龐大的內(nèi)容體系，筆者將重點討論數(shù)的運算的一致性。

一、加、減法運算的一致性

伴隨著自然數(shù)的產(chǎn)生，加法運算應(yīng)運而生。加法的本質(zhì)是一個一個地往前數(shù)數(shù)，也可以看作一個一個單位累加的過程。而減法則是加法的逆運算，是從某一個數(shù)開始，一個一個地往回數(shù)數(shù)，也就是一個一個單位遞減的過程。

實際教學中，有兩種方法可以認識加法，一個是基于定義的方法，一個是基于對應(yīng)的方法。在實際教學中，更多教師采用第一種方法。例如，3+1=4，為什么這樣得到的就是4呢？從自然數(shù)的定義，我們可以知道4=3+1，故利用對稱性就得到了3+1=4。而這種方法雖然可以幫助學生掌握算法，但是不利于學生理解數(shù)學概念之間的關(guān)系。第二種方法，哪邊的方塊多呢？學生很容易看出4個比3個多，也就是4比3大，那么左邊再放一個小方塊呢，此時哪邊的方塊多？左邊等于右邊，這樣解釋就突出了兩邊的量相等，減法亦然。這種方法既可以幫助學生體會“量相等”的本質(zhì)，還有助于學生感悟數(shù)學符號化思想、對應(yīng)思想等。

認識了加、減法的本質(zhì)，我們再從計數(shù)單位的角度來看加、減法。在教加法時，教師可以用撥計數(shù)器、畫圖、列豎式、列橫式等各種形式來幫助學生理解算理，但無論形式如何變化，本質(zhì)就是相同計數(shù)單位上的數(shù)累加的過程，在這個過程中，涉及“滿十進一”“位值”等核心要素。對于小數(shù)而言，由于小數(shù)與整數(shù)的形式相同，教學中教師可以引導(dǎo)學生根據(jù)整數(shù)加法的經(jīng)驗自主完成算法遷移，掌握小數(shù)加法。對于分數(shù)加法，雖然形式不同，但引導(dǎo)學生先通分、再相加，在本質(zhì)上與整數(shù)和小數(shù)加法是一致的，都是對相同的計數(shù)單位上的數(shù)進行累加，體現(xiàn)了加法的一致性。

減法是加法的逆運算，所以本質(zhì)上是相同計數(shù)單位上的數(shù)遞減的過程，與加法涉及的核心要素相同。但值得一提的是，當某個數(shù)位上的數(shù)不夠減時，我們需要將前一位上的數(shù)化一當十，也是滿十進一的逆過程，這是將單位不斷細分的過程，也是學生理解算理的重難點。這點在整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)減法中是一致的，從單位細分的角度也體現(xiàn)了減法的一致性。

二、乘法運算的一致性

乘法是對加法的簡便運算。“分數(shù)乘法”屬于北師大版數(shù)學五年級下冊第三單元的內(nèi)容，整個單元內(nèi)容由“分數(shù)乘法（一）（二）”（分數(shù)乘整數(shù)），“分數(shù)乘法（三）”（分數(shù)乘分數(shù)）和“倒數(shù)”各部分內(nèi)容組成。分數(shù)乘法的意義在繼承整數(shù)乘法和小數(shù)乘法意義的基礎(chǔ)上，又有它自身的特殊性。整個單元各部分之間的內(nèi)容層層遞進，有著緊密的關(guān)聯(lián)。接下來，筆者以分數(shù)乘法為例，分別從乘法意義的維度和計數(shù)單位的維度來感受乘法運算的一致性。

（一）以“倍”統(tǒng)領(lǐng)，體現(xiàn)乘法意義的一致性

隨著數(shù)系的擴充，整數(shù)乘法的意義也被應(yīng)用于小數(shù)乘法和分數(shù)乘法中，小數(shù)乘法和分數(shù)乘法也可以看作求幾個相同加數(shù)的和。例如北師大版教材中，一張松樹卡片占整張紙條的，3張松樹卡片占整張紙條的幾分之幾？此處是求3個的和是多少，也就是求的3倍是多少，列式為“×3”。第二個課時中，奇思吃了6塊餅干，而笑笑吃的餅干數(shù)是奇思的，也就是求6的是多少。此時，教師會發(fā)現(xiàn)，學生對于理解6的如何列式計算有些難度。這時，教師可以引導(dǎo)學生聯(lián)想整數(shù)乘法：6的2倍是多少？6的1倍是多少？學生很容易類比推測到6的也用乘法，只是不滿1倍，通常不用“倍”字來表達。同理類推，第三課時中找1的是多少，的是多少，的是多少時，也都是用乘法來解決。此時，學生能夠體會到乘法意義在整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)中的一致性，只是在通常情況下，當倍數(shù)小于1時，“倍”字可省略。

（二）以“計數(shù)單位”統(tǒng)領(lǐng)，體現(xiàn)乘法運算的一致性

計數(shù)單位是“數(shù)與運算”這一領(lǐng)域的核心概念，教師應(yīng)如何圍繞核心概念的理解與核心素養(yǎng)的培育，通過溝通關(guān)聯(lián)，幫助學生理解運算本質(zhì)的一致性呢？筆者以“分數(shù)乘法”單元中“分數(shù)乘分數(shù)”這節(jié)課為例。學生在學習這節(jié)課時，不難掌握分數(shù)乘分數(shù)的運算法則，是用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。但顯然只知道計算的方法是遠遠不夠的，教師還要幫助學生更好地理解算理。在授課之前，教師可以思考這樣幾個問題：（1）分數(shù)乘分數(shù)，分母乘分母的積表示什么？分子乘分子的積表示什么？（2）前面在學習分數(shù)加減法時，是先通分，再加減，那么分數(shù)乘分數(shù)，為什么不用“通分”？（3）整數(shù)乘整數(shù)、小數(shù)乘小數(shù)、分數(shù)乘分數(shù)，三者之間的內(nèi)在聯(lián)系是什么？

北師大版教材和人教版教材都是結(jié)合直觀圖形，引導(dǎo)學生比較算式和計算結(jié)果的數(shù)值之間的關(guān)系后，合理地推出運算的法則，但是，回歸分數(shù)乘法的本質(zhì)，假如繼續(xù)追問：“圖中的2個3表示的意義一樣嗎？”顯然，不一樣，第一個3表示3個，第2個3表示3個，計數(shù)單位發(fā)生了變化，而這個部分對學生來說，是很難想到，也是很難理解的。（見圖1）

圖1

那么，如何突破這個重難點呢？張奠宙教授曾提出，如果分數(shù)可以表示為某線段的長度，那么，兩個分數(shù)相乘的積，就是以這兩個分數(shù)所表示的線段為邊長所構(gòu)成的矩形的面積。聯(lián)想長方形面積的推導(dǎo)過程，就是用小方塊（面積單位）去鋪，看看一共需要多少個這樣的小方塊（面積單位的數(shù)量）。同樣的方法，遷移到分數(shù)乘法中來，學生比較容易畫出長米、寬米的長方形。接下來，教師引導(dǎo)學生結(jié)合長方形面積來理解“4×4”的含義以及“3×1”的含義。需要注意的是，學生比較容易觀察到16份（個）小方塊，取其中的3份（個）。此時，教師要有意識地引導(dǎo)學生繼續(xù)往更深一層去思考，每個小方塊還表示6平方米。這個過程中，產(chǎn)生了一個新的分數(shù)單位，而總共有“3×1”個這樣的分數(shù)單位。其實，在四年級下冊學習小數(shù)乘法時，學生也是用的這樣的方法。最終，我們可以發(fā)現(xiàn)，乘法計算都是在解決計數(shù)單位是什么以及有多少個這樣的計數(shù)單位的問題。

學生通過畫圖直觀理解了分數(shù)乘法的算理，那么整數(shù)乘整數(shù)、小數(shù)乘小數(shù)、分數(shù)乘分數(shù)，三者之間的內(nèi)在聯(lián)系是什么？運用拆分以及乘法的交換律和結(jié)合律，我們可以發(fā)現(xiàn)，從計數(shù)單位的角度來審視整數(shù)乘法、小數(shù)乘法和分數(shù)乘法，乘法運算是個數(shù)乘以個數(shù)、計數(shù)單位乘以計數(shù)單位的運算，最終會產(chǎn)生新的計數(shù)單位以及計數(shù)單位的個數(shù)，三者的數(shù)學本質(zhì)是完全一致的，只是表現(xiàn)方式不同，也就是乘法運算具有一致性。

三、除法運算的一致性

與減法是加法的逆運算類似，除法是乘法的逆運算。因此，在解決除法的問題時，教師通?？梢砸龑?dǎo)學生借助乘法來理解。接下來，筆者就以分數(shù)除法為例，說明除法運算的一致性。

歸納以上，數(shù)的運算本質(zhì)是對計數(shù)單位的操作（累加、遞減、細化）。而關(guān)于數(shù)與運算的主題學習，教師要注重推理，發(fā)展思維，落實核心素養(yǎng)。教師把握好數(shù)學本質(zhì)的深度，才能更好地引導(dǎo)學生通理通法，掌握本質(zhì)，建立結(jié)構(gòu)的整體化。在教學的過程中，教師特別要注重遷移，從未知到已知；注重推理，讓學生從會算到會想；注重系統(tǒng)，從散點到結(jié)構(gòu)，也就是要建好核心知識、核心素養(yǎng)的“承重墻”，打通知識之間的“隔斷墻”，建立起整體的結(jié)構(gòu)；注重關(guān)聯(lián)，從表象到本質(zhì)，讓學生體會數(shù)的運算的一致性，落實核心素養(yǎng)。