運(yùn)用APOS理論，提升數(shù)學(xué)概念教學(xué)實(shí)效

劉正強(qiáng)

［摘? 要］ APOS理論從學(xué)生的認(rèn)知心理角度出發(fā)，認(rèn)為學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過程中要進(jìn)行心理建構(gòu). 在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中運(yùn)用APOS理論能夠幫助學(xué)生從根本上認(rèn)識數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，強(qiáng)化對數(shù)學(xué)概念的理解，并建構(gòu)起數(shù)學(xué)概念的體系，真正在解決問題的過程中運(yùn)用數(shù)學(xué)概念形成自覺意識，從而使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想和方法，提升對數(shù)學(xué)的認(rèn)識.

［關(guān)鍵詞］ APOS理論；無理數(shù)；數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)概念是從具體問題中抽象、概括出的數(shù)學(xué)本質(zhì)特征，并運(yùn)用數(shù)學(xué)語言的形式將事物的本質(zhì)屬性表達(dá)出來. 數(shù)學(xué)概念是進(jìn)行數(shù)學(xué)判斷和推理，從而解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵與核心，是掌握數(shù)學(xué)知識的基石. 理解數(shù)學(xué)概念有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求.

人類最開始運(yùn)用有理數(shù)表達(dá)事物的數(shù)量，而無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)發(fā)展史上具有里程碑式的意義，拓展了人類對數(shù)學(xué)的認(rèn)識［1］. 然而在初中階段，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過程中存在一些困難，如學(xué)生在學(xué)習(xí)無理數(shù)的過程中對無理數(shù)兩種定義的相互轉(zhuǎn)化較難理解，以致在判斷無理數(shù)時缺乏有效的理論支持；在初中階段學(xué)習(xí)的過程中存在學(xué)生按照目前的知識沒有辦法進(jìn)行驗(yàn)證的情況，只能將知識以記憶的方式進(jìn)行學(xué)習(xí)，同時學(xué)生由于認(rèn)知水平的限制所了解的無理數(shù)非常有限，也無法對無理數(shù)的無限性產(chǎn)生認(rèn)同. 因此，筆者嘗試運(yùn)用APOS理論指導(dǎo)“無理數(shù)”的教學(xué)，使數(shù)學(xué)概念的教學(xué)更加生動，更加符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，深化學(xué)生對無理數(shù)的認(rèn)識.

何謂APOS理論

APOS理論的提出來自美國學(xué)者杜賓斯基，屬于建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論，這一理論將學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過程明確分為四個階段，分別是活動、過程、對象和圖式，將理解概念的過程進(jìn)行了詳細(xì)的層次劃分，對每個階段的內(nèi)容以及教師的任務(wù)都做了明確的規(guī)定，使學(xué)生能夠循序漸進(jìn)地理解和認(rèn)識數(shù)學(xué)概念，對數(shù)學(xué)概念的教學(xué)具有明確的指導(dǎo)意義［2］.

當(dāng)前教師在教學(xué)過程中常常感覺無理數(shù)的概念較為突兀，在辨別無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別，以及認(rèn)識無理數(shù)存在的不同形式，或者是理解無理數(shù)的無限性上都存在困難. 學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中也感覺無理數(shù)的概念較為抽象和生硬. 因此，運(yùn)用APOS理論可以幫助教師科學(xué)認(rèn)識數(shù)學(xué)概念教學(xué)，形成逐層推進(jìn)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)過程.

基于APOS理論的教學(xué)設(shè)計(jì)

學(xué)生在學(xué)習(xí)“無理數(shù)”這一內(nèi)容之前已經(jīng)接觸過有關(guān)有理數(shù)的知識，如有理數(shù)可以分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)，同時能夠正確區(qū)分?jǐn)?shù)的大小. 在中學(xué)階段引入無理數(shù)的概念是對學(xué)生已有的關(guān)于“數(shù)”的知識的補(bǔ)充，有利于開闊學(xué)生的視野，打開學(xué)生認(rèn)識世界的思路.

1. 操作實(shí)踐：情境導(dǎo)入，創(chuàng)設(shè)問題，激發(fā)興趣

古希臘的數(shù)學(xué)家們在研究世界的時候發(fā)現(xiàn)世間萬物都能用數(shù)進(jìn)行表示，這也成了人們衡量世界的一種方式. 然而其中一位叫希帕斯的數(shù)學(xué)家在研究的過程中發(fā)現(xiàn)了一個例外，在一個邊長為1的正方形中，無法用有理數(shù)表示這個正方形的對角線. 這給人類提出了一個新的問題：應(yīng)該用什么數(shù)來進(jìn)行表示呢？下面讓我們通過自己的操作實(shí)踐來驗(yàn)證一下希帕斯的猜想.

課前教師準(zhǔn)備了兩個邊長為1的小正方形，如圖1，將兩個小正方形沿著對角線剪開，再將剪得的四個三角形重新拼成一個大正方形. 請大家將自己重新拼得的正方形進(jìn)行展示并觀察.

問題1：拼接之后的大正方形的面積和邊長分別是多少？

生3：我們可以進(jìn)一步縮小范圍，因?yàn)?.4的平方等于1.96，1.5的平方等

2. 過程階段：聯(lián)系已知，歸納特征，初識概念

數(shù)點(diǎn)后40位準(zhǔn)確的數(shù)值應(yīng)該是1.4142135623730950488016887242096980785696. 請同學(xué)們仔細(xì)觀察這個數(shù)值，在前10位、前20位、前30位、前40位有沒有出現(xiàn)循環(huán)節(jié)？

生2：小數(shù)點(diǎn)后的位數(shù)沒有循環(huán)節(jié).

生3：觀察計(jì)算出的結(jié)果我們可以看到它們的近似值都是一些無限不循環(huán)小數(shù).

師：很好，雖然今天是第一次認(rèn)識無限不循環(huán)小數(shù)這個概念，但事實(shí)上我們早就接觸了這樣的數(shù)，如π這個數(shù)，我們在小學(xué)階段知道π等于3.1415926，但其實(shí)這只是一個近似數(shù)，事實(shí)上π小數(shù)點(diǎn)后面40位小數(shù)是這樣的（投影展示）. 我們可以發(fā)現(xiàn)π也是無限不循環(huán)小數(shù)，這樣的數(shù)與我們所學(xué)的有理數(shù)是有區(qū)別的，可以稱之為無理數(shù).

設(shè)計(jì)意圖? 第二階段引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系已學(xué)的知識，具體分析無理數(shù)的特點(diǎn)，通過具體的觀察進(jìn)行抽象概括，從而抓住無理數(shù)的特征，形成初步感知. 這一環(huán)節(jié)的探究通過學(xué)生進(jìn)行計(jì)算和取值的方式，并列舉了學(xué)生較為熟悉的π這個數(shù)，使學(xué)生對無理數(shù)無限性的認(rèn)識更加深刻，突破了思維的局限性，使學(xué)生能夠理解無限不循環(huán)小數(shù)出現(xiàn)的必然性以及無理數(shù)的本質(zhì)特征，為進(jìn)一步形成抽象的概念奠定基礎(chǔ).

3. 對象研究：具象對比，抽象概括，形成概念

在對無理數(shù)有了初步認(rèn)識的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步明確有理數(shù)與無理數(shù)的區(qū)別，將兩者進(jìn)行對比，明確無理數(shù)和有理數(shù)的特點(diǎn).

問題5：請大家一起來觀察以下幾個分?jǐn)?shù)（即有理數(shù)），并將這些分?jǐn)?shù)寫成小數(shù)的形式，觀察它們的小數(shù)部分有什么特點(diǎn).

學(xué)生將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)，教師進(jìn)一步追問.

問題7：現(xiàn)在我們已經(jīng)知道了無理數(shù)的概念，以及有理數(shù)可以在數(shù)軸上表示，那么無理數(shù)同樣可以用數(shù)軸上的點(diǎn)進(jìn)行表示嗎？

如圖2：

生5：觀察圖2，我們發(fā)現(xiàn)無理數(shù)也可以用數(shù)軸上的點(diǎn)進(jìn)行表示，換言之，數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)是一一對應(yīng)的.

問題8：請同學(xué)們進(jìn)行小組合作討論，并盡可能多地展示無理數(shù)的表示形式.

設(shè)計(jì)意圖? 在學(xué)生已經(jīng)對無理數(shù)有了具體認(rèn)識的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步將概念與具體例子相結(jié)合，使學(xué)生明確無理數(shù)的不同形式，形成更加具象化的認(rèn)識. 學(xué)生由無理數(shù)的具體例子到抽象概念，再通過概念到無理數(shù)的分類，實(shí)現(xiàn)了對無理數(shù)的全面認(rèn)識和把握，從而能夠正確區(qū)分有理數(shù)與無理數(shù)，強(qiáng)化了對無理數(shù)本質(zhì)的理解. 在數(shù)軸上表示無理數(shù)，使學(xué)生深入認(rèn)識無理數(shù)存在的客觀性，同時充分感受數(shù)形結(jié)合思想在其中的應(yīng)用.

4. 圖式階段：總結(jié)歸納，強(qiáng)化概念，提升認(rèn)知

師：現(xiàn)在我們已經(jīng)知道了有理數(shù)與無理數(shù)的概念，請同學(xué)們進(jìn)行小組討論，我們該如何對實(shí)數(shù)進(jìn)行具體的分類呢？

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生將實(shí)數(shù)進(jìn)行了如下的分類（如圖3）：

例題1：下列各數(shù)是有理數(shù)，還是無理數(shù)？

生9：根據(jù)有理數(shù)的概念，整數(shù)

課堂總結(jié)：回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生相互交流這節(jié)課有哪些感想和收獲，最后教師對本節(jié)課學(xué)習(xí)的無理數(shù)相關(guān)知識及探究方法進(jìn)行總結(jié)和歸納，幫助學(xué)生進(jìn)一步梳理了實(shí)數(shù)的結(jié)構(gòu)以及無理數(shù)的特征.

設(shè)計(jì)意圖? 只有經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念體系的形成過程，學(xué)生對數(shù)學(xué)概念才會有更加清晰明了的認(rèn)識和分類，同時提升了知識辨別能力，加強(qiáng)了主動思考意識，增強(qiáng)了對新舊知識的聯(lián)系，從而形成了更加完整的知識結(jié)構(gòu)，產(chǎn)生了更加深刻的數(shù)學(xué)理解. 本階段是概念教學(xué)的最后一個階段，是幫助學(xué)生形成心理認(rèn)知的過程，旨在使學(xué)生從根本上把握無理數(shù)的特征.

教學(xué)反思

數(shù)學(xué)概念教學(xué)是加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，掌握數(shù)學(xué)本質(zhì)的重要方式，APOS理論從認(rèn)知心理學(xué)的角度將數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)進(jìn)行了具體的分段指導(dǎo)，明確了學(xué)生從理解數(shù)學(xué)概念到形成自主概念意識的過程. 本文運(yùn)用APOS理論指導(dǎo)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，通過實(shí)踐操作、歸納特征、抽象概括、總結(jié)歸納讓學(xué)生經(jīng)歷無理數(shù)概念的形成過程，從源頭上強(qiáng)化了學(xué)生知識增長與智力發(fā)展的聯(lián)系，樹立了學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)的意識，發(fā)展了學(xué)生的思維能力.

綜上所述，APOS理論為數(shù)學(xué)概念的教學(xué)提供了科學(xué)而準(zhǔn)確的指導(dǎo)，促使學(xué)生在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中不再采取僵硬記憶的方式，而是讓學(xué)生充分經(jīng)歷概念的形成過程，實(shí)現(xiàn)對概念的理解、鞏固和強(qiáng)化，直至能夠自覺地運(yùn)用數(shù)學(xué)概念解決問題. 在運(yùn)用理論指導(dǎo)教學(xué)的過程中，教師要將理論與教學(xué)實(shí)踐相結(jié)合，使理論更好地運(yùn)用在實(shí)際的教學(xué)中，有效提升教學(xué)效果.

參考文獻(xiàn)：

［1］呂亞軍，顧正剛. 促進(jìn)初中生數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的元認(rèn)知訓(xùn)練模式構(gòu)建［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2018（07）：7-10+13.

［2］史寧中. 數(shù)學(xué)基本思想18講［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2016.