借助表格，輔助數學概念教學

于春梅

［摘? 要］ 文章以“三角函數”的概念教學為例，具體從“表格導入，發現問題；表格類比，探究問題；表格抽象，獲得概念；表格練習，辨析概念；表格追問，應用概念”等方面談談如何巧用表格，優化數學概念教學.

［關鍵詞］ 概念；表格；教學

表格是理科教學的重要輔助工具之一，具有簡潔明快、條理清晰、對比鮮明、一目了然等特點，其應用較為廣泛，如數據分析、工程造價、分類管理與生產管理等領域都有涉及. 概念是數學的基本組成部分，是對數學現象的高度概括，具有一定的抽象性與枯燥性［1］. 實踐證明，巧妙地將表格融合到概念教學中，能讓學生通過比較，更好地提煉出概念的內涵.

教學簡錄

1. 表格導入，發現問題

課堂導入是一節課的起點，對一堂課的情感基調起著決定性的作用. 表格導入法，充滿著“數學味”，既簡潔明了，又容易吸引學生的注意力，激發學生的學習興趣，為發現問題、提出問題奠定基礎. 本節課，筆者選擇開門見山的導入方式，要求學生按照以下步驟進行操作：

（1）在草稿紙上畫一個∠A=30°；

（2）在∠A的一條邊上任意取點B，向另一邊作BC⊥AC，C為垂足；

（3）分別測量線段AB，BC的長度（精確到mm）；

師：通過對表格的觀察，我們發現哪個量在不斷地變化，哪個量卻沒有發生變化？由此你們能獲得什么結論？

師：很好！我們一起來觀察，AB，BC之間是否存在一定的聯系呢？

生2：確實有聯系，點C的位置取決于點B的位置.

師：由此，大家覺得我們可以探討什么問題呢？

師：非常好！這是兩個值得分析的問題，接下來我們就一起來探究這兩個問題.

的位置變化而變化，學生自然地發現并提出接下來需要研究的問題.

2. 表格類比，探究問題

師：把表1中的四組數呈現在同一個圖形中，大家一起來分析一下它們的比值相等的原因是什么.

生5：比值相等的主要原因是∠A的角度沒有發生變化.

師：這僅僅是個猜想，能否驗證呢？

生5：可以取一個不同的角，從反面來嘗試驗證，比如取一個45°的角.

師：現在我們就沿著生5提出的驗證思路來探究，大家先畫一個∠A=45°，然后按照之前的步驟進行測量、計算、填表（見表2）.

生6：是定值，因為∠A=45°這個條件沒有發生變化.

師：通過兩張表格數據的對比，大家有什么發現？據此有什么想法？

師：那我們就一起再來探討其他度數的角，看比值是否會發生改變. 現在我們假設∠A=50°，請大家按照之前的探索步驟，完成表3.

生8：當角的度數為50°時，比值

3. 表格抽象，獲得概念

生9：不一樣. 因為角的度數不同，所以比值也不同.

師：不同的數值能說明什么問題？

師：這個說法是否正確呢？現在我們一起來探討這個問題.

教師將各組填寫好的表格進行投影，并要求學生對比各組的表格，說說自己的發現.

生11：每組呈現的表格中填寫的比值都是一樣的，但不同組之間的比值不同.

師：這是為什么呢？

生12：因為每個組所取的角的度數不一樣，因此呈現出來的比值也各不相同.

師：非常好！通過表格的類比，你們有什么收獲？

師：這里面存在哪些變量？變量之間是什么關系？

設計意圖? 由特殊到一般的表格匯總，讓學生通過對各組所填寫的表格內容的對比，獲得相應的結論，使得函數形式的概念自然生成. 表格的“可視性”，讓學生親歷了函數概念發生與發展的過程，為后繼更多類型的三角函數的學習積累了研究經驗，也為學習能力的提升奠定了基礎.

4. 表格練習，辨析概念

練習：∠A為一個已知的角，若過∠A一條邊上的點B作垂線，請判斷以下各種操作方法的正確性，并改正錯誤結論. （見表5）

生16：我認為第一、三列的兩張圖的表達與題意相符，其他兩張圖是錯誤的.

師：哦？說說你這么判斷的理由是什么呢？

生16：我就是目測圖形而得到的結論.

生17：我認為第一、四列的兩張圖與題意相符，其他兩張圖表達得不正確. 剛剛這位同學是從圖的模樣進行的判斷，這種方法不夠嚴謹，比如將第四列的圖調轉位置，則與第一列的圖一樣. 因此，本題應從分子與分母的角度進行判別，即分別從對應三角形的直角邊與斜邊進行考慮.

師：那么正弦函數sinA是不是可以確定為對應直角三角形直角邊比斜邊的值呢？

生18：這么表達還不夠嚴謹，應該說是∠A所對應的直角三角形中，∠A的對邊長與斜邊長的比值.

師：為什么要這么明確地表示呢？

是否也是確定的呢？

生20：對于直角三角形來說，三條邊的比還存在其他兩對，通過填表可以發現其他兩對邊的比值也是確定的，可通過相似三角形的比例關系而得. （邊說邊填寫表格，見表6）

師：如表格所示，直角三角形中的其他兩個比，分別定義為∠A的余弦與正切.

5. 表格追問，應用概念

練習：已知在Rt△ABC中，∠C為直角，CD為斜邊AB上的高，若AB=5，AC=3，則∠A的三角函數值是多少？

由學生審題、分析，教師順勢將學生的答案填入表格.

生21：根據勾股定理，已知AB=5，AC=3，則可確定BC=4，此時可明確∠A的三角函數值.

生22：生21是利用Rt△ABC來獲得的結論，其實用Rt△ACD也可以獲得答案，即先求出BC的值為4，再獲得CD的值，而后分別獲得AD，BD的值.

師：具體過程是怎樣的？

師：說說這么解的理由是什么.

生23：這么解的關鍵在于∠A=∠DCB.

師：通過對表7的觀察，大家有什么發現？

生24：從表格來看，從三個不同的直角三角形中計算∠A的三角函數值，結論都一樣，由此基本可以確定三角函數和角的大小有著直接關系，與其所在的三角形并沒有什么聯系. 也就是說，同一角度的三角函數值是相等的.

設計意圖? 追問的應用，促使學生從不同的直角三角形中計算∠A的三角函數值，教師將每一種解題方法都羅列在表格中，讓學生能一目了然地發現其中所存在的內在聯系，從而真切感知到一個角的三角函數值和該角的邊的長短與位置都無關，唯與角的大小有一定聯系. 構造的一些直角三角形純粹是為了方便計算，由此讓學生從真正意義上理解“相同大小的角，在不同的三角形中所對應的三角函數值是不變的”.

教學思考

1. 表格能輔助概念教學

概念學習有“形成學習”與“同化學習”兩類方式，形成學習是指從豐富、典型的實例中找出共性內容，從而抽象出這類事物的本質屬性；同化學習是在學習者原有認知結構的基礎上，揭示新授概念與原有知識的共同特征，將新知納入原有認知中，抽象出新的概念［2］.

這兩種學習方式都離不開問題的引領，學生在問題中經歷觀察、歸納、辨析與抽象的過程，建構新知. 表格作為一種特殊的表達形式，能有效地激發學生的直觀想象力，讓學生的思維變得更具條理性、層次性，從而更好地整合信息，促進學生發現數量關系間的規律，為抽象概念奠定基礎.

本節課教學，教師正是通過表格的方式引領學生自主發現問題、提出問題并分析問題，隨著典型實例的呈現，有效地促進學生獲得從特殊到一般的數學思想，尤其是表格式的練習形式，有效地幫助學生完善對三角函數概念的認識，使學生獲得辨析概念的能力，而后的追問，則讓概念自然而然地生成.

2. 關注表格的可視化作用

對于初中生而言，他們的思維處于直觀形象與抽象邏輯的交界點，可視化的表格，能快速促進學生的直觀想象力的發展，為抽象邏輯思維的形成奠定基礎［3］. 表格的可視化特征，能將知識毫無遮擋地呈現在學生面前，是學生發現與提出問題的依據，同時，表格的整理與歸納，也是促進學生對概念本質認識的主要途徑之一. 因此，關注表格的可視化作用，不僅能提高教學效率，還能有效發展學生的數學核心素養.

總之，表格直觀、簡潔、清晰的特點，能集中體現一定角度的信息，對概念學習時的信息類比、總結與歸納等，都具有直接影響. 作為一線數學教師，應結合學情與教學內容的特征，應用好表格，讓表格最大限度地輔助數學教學.

參考文獻：

［1］章建躍. 如何幫助學生建立完整的函數概念［J］. 數學通報，2020，59（09）：1-8.

［2］邵光華，章建躍. 數學概念的分類、特征及其教學探討［J］. 課程·教材·教法，2009，29（07）：47-51.

［3］約翰·杜威. 我們怎樣思維·經驗與教育［M］. 姜文閔，譯. 北京：人民教育出版社，2005.