高中數(shù)學(xué)課堂“問(wèn)題串”的設(shè)計(jì)
——以“平面向量基本定理”教學(xué)為例

隗雪娜

? 哈爾濱師范大學(xué)教師教育學(xué)院

“疑是思之始,學(xué)之端.”疑問(wèn)是思考的開(kāi)始,也是學(xué)問(wèn)的開(kāi)始.教師想要上好一堂高效生動(dòng)的數(shù)學(xué)課就要設(shè)置有效的問(wèn)題,以問(wèn)題來(lái)驅(qū)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生的探索精神,提高學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力.然而有效的數(shù)學(xué)課堂并不是用簡(jiǎn)單的幾個(gè)問(wèn)題來(lái)填充就可以的,而是需要一系列的問(wèn)題串,并且問(wèn)題和問(wèn)題之間有著邏輯關(guān)系等要求,引導(dǎo)學(xué)生步步深入,逐步習(xí)得知識(shí),學(xué)生會(huì)有種豁然開(kāi)朗的成就感.

1 “問(wèn)題串”設(shè)計(jì)基本理念

問(wèn)題串主要是指在一定的主題內(nèi)圍繞特定目標(biāo),按一定邏輯關(guān)系等設(shè)計(jì)出一系列問(wèn)題,這些問(wèn)題不能少于3個(gè),并且利用這些問(wèn)題能有效開(kāi)展教學(xué).每組問(wèn)題串都有各自的目的,都是為教學(xué)目標(biāo)服務(wù).問(wèn)題串的設(shè)計(jì)要打破傳統(tǒng)教學(xué)中隨意將問(wèn)題拋出的現(xiàn)象,并由此營(yíng)造出有序高效的學(xué)習(xí)氛圍.問(wèn)題串教學(xué)并不是教師的舞臺(tái),而是學(xué)生作為主體施展聰明智慧、努力探索的舞臺(tái),是教師通過(guò)提出一個(gè)又一個(gè)問(wèn)題引發(fā)學(xué)生思考、層層遞進(jìn)習(xí)得知識(shí)的過(guò)程.

問(wèn)題串有著雙重作用.一方面,教師可以對(duì)本節(jié)課有一個(gè)整體的把握.教師設(shè)計(jì)本節(jié)課首先要明白教學(xué)目標(biāo)是什么,然后根據(jù)教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)一系列有邏輯、螺旋上升式的問(wèn)題串,同時(shí)對(duì)本節(jié)課的重點(diǎn)有一個(gè)清晰的認(rèn)知.另一方面,能讓學(xué)生的思維能力等得到發(fā)展.通過(guò)教師拋出的一個(gè)又一個(gè)問(wèn)題,學(xué)生一步一個(gè)腳印地完成學(xué)習(xí)目標(biāo),提高思維水平,培養(yǎng)問(wèn)題意識(shí),提升發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.除此之外,問(wèn)題串教學(xué)往往會(huì)涉及小組討論、師生合作等活動(dòng),這也會(huì)調(diào)動(dòng)學(xué)生探索的積極性,培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力以及數(shù)學(xué)表達(dá)能力,變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí),在解決問(wèn)題的同時(shí)既獲取了知識(shí)又提升了數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2 “問(wèn)題串”的設(shè)計(jì)要求

2.1 “問(wèn)題串”要圍繞教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)目標(biāo)既是教學(xué)的起點(diǎn),也是教學(xué)的終點(diǎn).教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)要精準(zhǔn)分析教學(xué)目標(biāo),并有針對(duì)性地設(shè)計(jì)問(wèn)題,將教學(xué)內(nèi)容分成一個(gè)或多個(gè)核心內(nèi)容,并相應(yīng)地設(shè)計(jì)一組或多組彼此緊密聯(lián)系的問(wèn)題串.學(xué)生在探索、解決問(wèn)題的過(guò)程中,逐一理解知識(shí)點(diǎn),在課堂互動(dòng)中加深對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理等的理解,在頭腦中對(duì)知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)建構(gòu),將新知識(shí)納入到自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中,實(shí)現(xiàn)從細(xì)節(jié)到整體的轉(zhuǎn)變,并最終達(dá)到教學(xué)目標(biāo)的要求.

2.2 “問(wèn)題串”要立足于學(xué)生認(rèn)知

首先,根據(jù)維果斯基的最近發(fā)展區(qū)理論,教師在設(shè)計(jì)問(wèn)題串時(shí),應(yīng)當(dāng)充分了解學(xué)生的認(rèn)知水平.問(wèn)題串要符合學(xué)生的認(rèn)知水平,設(shè)置的問(wèn)題過(guò)易或過(guò)難都會(huì)使學(xué)生失去學(xué)習(xí)激情;設(shè)置的問(wèn)題要符合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū),讓學(xué)生蹦一蹦可以夠得到,這樣會(huì)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和繼續(xù)探索的熱情,并且在解決問(wèn)題的過(guò)程中能感受到探索的快樂(lè)和成功的喜悅,進(jìn)一步培養(yǎng)分析和解決問(wèn)題的能力.

其次,關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知水平以及最近發(fā)展區(qū),也是將傳統(tǒng)的以教師為中心的教學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)橐詫W(xué)生為中心的教學(xué).教師在設(shè)計(jì)教學(xué)和實(shí)施教學(xué)的過(guò)程中要時(shí)刻關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)情況和狀態(tài),努力通過(guò)問(wèn)題串驅(qū)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí),促進(jìn)他們進(jìn)入最佳的思維狀態(tài),化被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí).

2.3 “問(wèn)題串”要具有目的性

教師設(shè)計(jì)問(wèn)題串需要經(jīng)過(guò)深思熟慮,在認(rèn)真研究教材、課標(biāo)的基礎(chǔ)上進(jìn)行設(shè)計(jì).問(wèn)題串中的每個(gè)問(wèn)題都有其存在的意義,并不是突發(fā)奇想隨意提出來(lái)的.因此,教師要明確每個(gè)問(wèn)題的目的是為了喚起學(xué)生的回憶,或是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,又或是引導(dǎo)學(xué)生深入思考等,要在課堂上逐步提出問(wèn)題,讓學(xué)生在一個(gè)個(gè)問(wèn)題解決的過(guò)程中理解并掌握本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn).

2.4 “問(wèn)題串”要具有層次性

問(wèn)題串起著引導(dǎo)課堂教學(xué)的作用,因此問(wèn)題串的設(shè)置要有一定的層次性.問(wèn)題的設(shè)置應(yīng)由淺入深、由表及里、循序漸進(jìn)、螺旋式上升,一步步引導(dǎo)學(xué)生深入思考.由于學(xué)生的水平不盡相同,因此在設(shè)置問(wèn)題時(shí)要考慮到學(xué)生的個(gè)體差異性,問(wèn)題設(shè)置需分層次,小梯度,盡量滿足所有學(xué)生的學(xué)習(xí)需求.比如,對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定難度的知識(shí),可以將復(fù)雜問(wèn)題分解,從學(xué)生的原有認(rèn)知水平出發(fā),考慮學(xué)生最近發(fā)展區(qū),設(shè)置幾個(gè)由淺到深的問(wèn)題,最終引領(lǐng)學(xué)生習(xí)得知識(shí).在一個(gè)個(gè)梯度問(wèn)題的解決中,激發(fā)學(xué)生繼續(xù)探索的興趣,拓展思維的廣度和深度.

2.5 “問(wèn)題串”要具有邏輯性

教師利用問(wèn)題串來(lái)驅(qū)動(dòng)學(xué)生的思維,在設(shè)計(jì)時(shí)要考慮學(xué)生的思維邏輯和知識(shí)邏輯.問(wèn)題不是隨意提出的,而是教師精心將教學(xué)內(nèi)容的知識(shí)點(diǎn)利用問(wèn)題串聯(lián)起來(lái),在學(xué)生學(xué)完本節(jié)課回顧所學(xué)內(nèi)容時(shí),能說(shuō)出本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)的脈絡(luò),由此及彼、觸類旁通.這不僅能培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的思維邏輯,還可以使學(xué)生養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣.

2.6 “問(wèn)題串”要體現(xiàn)啟發(fā)性

根據(jù)啟發(fā)性教學(xué)原則,教師在教學(xué)過(guò)程中要注意時(shí)時(shí)刻刻啟發(fā)學(xué)生.教師要把握好問(wèn)題串的呈現(xiàn)方式,如果簡(jiǎn)單直白地提出問(wèn)題,而不考慮學(xué)生,那將毫無(wú)意義.通過(guò)一個(gè)個(gè)問(wèn)題,將學(xué)生引入問(wèn)題情境,并在問(wèn)題情境中沉浸,主動(dòng)解決一個(gè)個(gè)問(wèn)題,在問(wèn)題探究中認(rèn)知、理解、掌握數(shù)學(xué)知識(shí),并有效汲取和內(nèi)化知識(shí),進(jìn)而啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考、判斷的能力,提高教學(xué)效果.

3 “問(wèn)題串”教學(xué)案例分析

3.1 創(chuàng)設(shè)情境

經(jīng)過(guò)前面的學(xué)習(xí),我們知道平面內(nèi)的向量是無(wú)窮多的.那么,能否僅用幾個(gè)“基礎(chǔ)”向量而將所有的平面向量表示出來(lái)呢?最少需要幾個(gè)“基礎(chǔ)”向量才能表示所有的平面向量呢?

圖1

問(wèn)題1貪吃蛇通過(guò)在屏幕上下左右四個(gè)方向移動(dòng)就可以吃到屏幕上任意一點(diǎn)處的食物.如圖1,貪吃蛇在A處想要吃到B處和C處的蘋果,那它可以怎樣行動(dòng)?行動(dòng)路徑唯一嗎?試各舉出其中一種行動(dòng)路徑.

3.2 探究“基礎(chǔ)”向量

圖2

問(wèn)題3想要表示平面內(nèi)的任意向量,需要幾個(gè)“基礎(chǔ)”向量?

問(wèn)題4這4個(gè)向量就是我們所需要數(shù)量最少的“基礎(chǔ)向量”嗎?這四個(gè)向量是否有內(nèi)在聯(lián)系,可以幫助我們減少“基礎(chǔ)”向量的個(gè)數(shù)嗎?

追問(wèn):兩個(gè)“基礎(chǔ)”向量一定垂直嗎?

設(shè)計(jì)意圖：引入向量,讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)與我們的生活息息相關(guān),激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.利用問(wèn)題串的形式,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“基礎(chǔ)”向量的個(gè)數(shù),一步步探究,為后面學(xué)生理解平面向量基本定理作輔墊,培養(yǎng)嚴(yán)密的思維習(xí)慣,拓展思維的廣度和深度.

圖3

問(wèn)題7是不是所有的平面向量均可以用e1,e2來(lái)表示?

設(shè)計(jì)意圖：遵循知識(shí)的邏輯和學(xué)生原有的認(rèn)知水平,一個(gè)個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生直觀感受平面內(nèi)任意一個(gè)向量都可以用兩個(gè)不共線向量表示出來(lái),加深對(duì)定理的探究,學(xué)生的思維能夠一直保持活躍,教師更能夠有效教學(xué).

問(wèn)題8經(jīng)過(guò)前面的探索,我們發(fā)現(xiàn)兩個(gè)向量e1,e2就可以將平面內(nèi)任意一個(gè)向量表示出來(lái).那么,任意兩個(gè)向量均滿足要求嗎?如果兩向量共線還可以嗎?

預(yù)設(shè)學(xué)生回答:如果兩個(gè)向量共線,只能表示與這兩向量共線的向量,而不能表示平面內(nèi)所有的向量.

問(wèn)題9這樣,我們所研究的“基礎(chǔ)”向量就減少到兩個(gè)不共線的向量.請(qǐng)問(wèn),可以用一個(gè)非零向量來(lái)表示平面內(nèi)的所有向量嗎?

預(yù)設(shè)學(xué)生回答:1個(gè)非零向量只能表示與之平行的向量,而不能表示平面內(nèi)所有的向量.

綜上,我們發(fā)現(xiàn)最“基礎(chǔ)”的向量就是兩個(gè)不共線向量,用這兩個(gè)不共線的向量可以將平面內(nèi)的任意向量a表示為a=λ1e1+λ2e2.其中稱e1,e2為基底.

設(shè)計(jì)意圖：教師在教學(xué)中充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性,培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力和數(shù)學(xué)表達(dá)能力.學(xué)生通過(guò)問(wèn)題的逐個(gè)擊破,對(duì)所得到的結(jié)論印象更加深刻.

3.3 探究定理

預(yù)設(shè)學(xué)生回答:基底不一樣,基底有無(wú)數(shù)對(duì).

問(wèn)題11當(dāng)給定a和一組基底e1,e2,a=λ1e1+λ2e2這種表示唯一嗎?

師生活動(dòng):師生共同利用“反證法”證明λ1,λ2的唯一性.

這是從代數(shù)的角度證明λ1,λ2的唯一性,那么能否從形的角度進(jìn)行證明呢?大家課后進(jìn)行思考并操作.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作判斷基底的不唯一性以及驗(yàn)證λ1,λ2的唯一性,讓學(xué)生直觀感受到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和魅力,培養(yǎng)從多方面分析、解決問(wèn)題的能力和動(dòng)手操作能力.

學(xué)生試著總結(jié)平面向量基本定理:

如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.

設(shè)計(jì)意圖：層層深入引導(dǎo)學(xué)生探索,從簡(jiǎn)單到復(fù)雜,從特殊到一般,讓學(xué)生親身經(jīng)歷定理的發(fā)生、形成過(guò)程,并體會(huì)探索問(wèn)題的思路.

3.4 總結(jié)提升

大家回憶一下本節(jié)課學(xué)到了什么呢?

(1)平面向量基本定理的內(nèi)容;

(2)平面向量基本定理可以聯(lián)系物理學(xué)中力的分解模型來(lái)理解,它說(shuō)明在同一平面內(nèi)任一向量都可以表示為不共線的兩個(gè)向量的線性組合,其本質(zhì)是一個(gè)向量在其他兩個(gè)向量方向上的分解.

4 教學(xué)啟示

教師是用教材教,而不是教教材.教師在認(rèn)真?zhèn)湔n后,不必就課論課,可以將本節(jié)課內(nèi)容與前面所學(xué)習(xí)的知識(shí)建立聯(lián)系,像“串糖葫蘆”一樣設(shè)置問(wèn)題串,一個(gè)接一個(gè)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài),調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性與學(xué)習(xí)熱情.問(wèn)題串的目的性可以引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、分析、解決問(wèn)題,養(yǎng)成問(wèn)題意識(shí),建立數(shù)學(xué)思維,能夠深入問(wèn)題內(nèi)部,進(jìn)而在主觀能動(dòng)性的驅(qū)使下“可持續(xù)”地解決問(wèn)題.

將問(wèn)題串應(yīng)用到實(shí)際課堂中,要注意靈活性.因?yàn)閷W(xué)生的思維很活躍,所以在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)根據(jù)探求需要及時(shí)調(diào)整問(wèn)題串,使得學(xué)生的思維連貫,“上臺(tái)階”似地一步步達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo).教師要注意給學(xué)生留思考時(shí)間,不要被問(wèn)題串困住,而是運(yùn)用問(wèn)題串帶動(dòng)學(xué)生積極思考,讓學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行探究,獲得更多的成功體驗(yàn).教師在進(jìn)行問(wèn)題串教學(xué)時(shí),不能每節(jié)課都套用一個(gè)模板,要及時(shí)反思,不斷精進(jìn)問(wèn)題串的設(shè)置,根據(jù)課型選擇適合的問(wèn)題串,不斷提高問(wèn)題串的質(zhì)量.Z