原油蒸餾曲線單調遞增指數函數樣條插值方法研究

陳 宏，范欽臻，程麗華，梁朝林，謝 穎

(1.廣東石油化工學院化學工程學院，廣東 茂名 525000；2.劣質油加工廣東省普通高校重點實驗室)

原油及其餾分油均為復雜的混合物,以現有表征手段尚無法完全分析其詳細化學組成。Miquel等[1-2]提出用虛擬組分來表征原油餾分的化學組成,即根據原油或寬餾分油的蒸餾曲線將其切割成若干個餾程較窄的餾分,然后將每個窄餾分油當作一個虛擬組分,從而由虛擬組分的物性計算原油或寬餾分油的物性。

此后,許多學者以虛擬組分法為基礎對原油加工過程進行了模擬研究,如部分學者[3-5]以虛擬組分法為基礎,對常減壓蒸餾裝置的流程進行了模擬與優化;還有部分學者[6-9]基于虛擬組分法建立模型,對催化裂化裝置的反應-再生系統的動力學參數、動態特性和多穩態特性分別進行了模擬。研究發現[10],基于Braun K10法的圖表數據開發的虛擬組分體系氣-液平衡常數模型,對實際體系的計算具有較高的可靠性。Bennett等[11]以虛擬組分法為基礎建立計算模型,準確預測了烴類與水的互溶性。

虛擬組分法也是ASPEN和SIMSCI PROⅡ等流程模擬軟件處理復雜體系的常用方法,其中虛擬組分切割的可靠性取決于原油評價和產品蒸餾曲線的完整性和可靠性。原油及其餾分油的評價一般采用實沸點蒸餾(TBP,依據ASTM D2892標準方法)、模擬蒸餾(依據ASTM D2887標準方法)、減壓蒸餾(依據ASTM D1160標準方法)或恩氏蒸餾(依據ASTM D86標準方法)等方法,獲得有限個單調遞增的蒸餾數據(溫度-餾出率)[12]。然而,實際操作中得到的溫度-餾出率數據有限且數據區間分布不均勻,無法直接滿足虛擬組分法細分餾分的要求,因而需要使用數據補充方法對溫度-餾出率數據進行擴展,才能得到完整光滑的蒸餾曲線。常用的數據補充方法有內插法、外推法等,為了保證補充數據與實際油品評價數據一致,選擇合適方法來確保補充數據的精度至關重要。

在各種流程模擬軟件中,油品餾程數據補充最常用方法是曲線插值法,如二次樣條插值法[13]、三次樣條插值法等[4,14]。然而,這些插值方法獲得的數據雖然一階導數連續,卻無法保證插值結果的單調遞增[13]。因此,上述插值方法均不能完全滿足補充油品蒸餾數據的要求。

鑒于上述插值方法的不足,本課題基于虛擬組分法,提出一種僅含3個參數的指數函數樣條插值方法,并分段構造由3個參數指數函數組成的插值函數,保證插值數據一階導數連續且遞增,滿足油品蒸餾曲線連續光滑且遞增的要求,從而提高對原油加工過程進行模擬計算的準確度。

1 指數函數插值模型

參考其他插值方法,分別從插值模型的問題描述、邊界條件、插值方程求解3個方面說明插值模型的研究方法。

1.1 問題描述

已知試驗測得油品的蒸餾曲線在區間[a,b]中互異的n個節點x1,x2,…,xn(a=x1

指數函數樣條插值方法:首先,在蒸餾曲線的每個節點小區間[xi,xi+1](i=1,2,…,n-1)中構造指數函數Si(x),使其與蒸餾曲線的餾出溫度值y近似,如式(1)所示。

(1)

式中:exp為以自然數e為底的指數函數;abs為求絕對值的函數;Ai,Bi,Ci均為系數,其中Ai為溫度系數,℃,Bi、Ci為比例系數,%。

由式(1)取一階導數得式(2)。

(2)

從式(2)可知,式(1)的插值函數是單調遞增的。式(1)中,當Ci>0時,Si(x)為凹函數;當Ci<0時,Si(x)為凸函數。原油蒸餾曲線與雙曲正弦曲線相似,即左側部分為凸函數,右側部分為凹函數;基于式(1)對原油蒸餾曲線進行分段插值,其形狀特征更接近油品實際蒸餾曲線。

為了確保指數函數插值在相鄰節點處連續且一階導數連續,Si(x)應滿足約束方程式(3)～式(5)。

Si(xi)=yi,i=1,2,…,n-1

(3)

Si(xi+1)=yi+1,i=1,2,…,n-1

(4)

S′i(xi)=S′i-1(xi),i=2,3,…,n-1

(5)

由式(3)～式(5)可知,該指數函數樣條插值函數共有3n-3個未知數和3n-4個約束方程,因而還需指定1個邊界條件才能確定Si(x)。

1.2 邊界條件

邊界條件的設定是指數函數樣條插值方法的關鍵步驟,決定了樣條插值的效果。針對不同類型的曲線,應該研究確定不同的邊界條件,才能確保樣條插值的準確性。對于原油的蒸餾曲線來說,其在餾出率(xm)為[30%,70%]區間與直線近似。因此,可假設餾出率50%處蒸餾曲線的一階導數為餾出率30%和70%兩點間直線的斜率,即:

S′(50)=(t70-t30)/(70-30)

(6)

式中,t30、t70分別為蒸餾曲線上餾出率為30%和70%時的餾出溫度,℃。

1.3 插值方程求解

確定S′(xm=50)后,可將蒸餾曲線分成兩段(xm≥50%部分為上段,xm<50%部分為下段),然后從xm=50(一般剛好為蒸餾數據點數的一半)點開始,分別向兩端依次求解式(3)～式(5)方程組的系數。

1.3.1蒸餾曲線上段指數插值模型系數求解

在區間[xi,xi+1](i=m,m+1,…,n-1)內構造指數函數Si(x),將式(1)代入式(3)～式(5),得到含3個未知數Ai,Bi,Ci的方程組,見式(7)～式(9)。

(7)

(8)

(9)

由式(9)變換可得:

(10)

Bi=xi-Ciln[S′i(xi)×abs(Ci)]

(11)

將式(10)代入式(7),整理得:

Ai=yi-CiS′i(xi)

(12)

將式(12)代入式(8),整理得:

(13)

將式(13)與式(9)相除,整理得:

(14)

式(14)中,根據已知的xi+1,xi,yi+1,yi,S′i(xi),采用牛頓法、割線法等非線性方程求解方法可求得系數Ci,然后再用式(11)、式(12)分別計算得到系數Ai、Bi。

蒸餾曲線上段右端點的一階導數為:

(15)

1.3.2蒸餾曲線下段指數插值模型系數求解

對蒸餾曲線下段區間[xi,xi+1](i=2,3,…,m-1,m),可得到含3個未知數Ai-1,Bi-1,Ci-1的類似方程組,如式(16)～式(18)所示。

(16)

(17)

(18)

經過相同步驟,可推導得到系數求解方程組,見式(19)～式(22)。

(19)

Ai-1=yi-Ci-1S′i-1(xi)

(20)

Bi-1=xi-Ci-1ln[S′i-1(xi)×abs(Ci-1)]

(21)

(22)

式(19)～式(22)中,i=2,3,…,m-1,m,其中S′i-1(xi-1)是蒸餾曲線下段左端點的一階導數。

綜上可知,利用式(11)～式(13)、式(15)和式(19)～式(22),可求得原油蒸餾曲線的指數樣條插值函數的所有系數。

1.3.3參數Ci正負性判斷

采用迭代法求解非線性方程式(14)和式(19)時,若給定的參數Ci初值不正確(正數或負數取值錯誤),則迭代過程很可能不能收斂。因此,方程求解時,需首先確定參數Ci是正數還是負數。

對式(1)取二階導數可得:

(23)

由式(23)可知:當Ci>0時,S″i(x)>0,則分段插值指數函數Si(x)為凹函數;當Ci<0時,S″i(x)<0,則Si(x)為凸函數。凹凸函數如圖1示意。

圖1 凹凸函數示意

為了直觀起見,假設線段AB的斜率為S′AB,凸曲線ACB在A、B兩點的斜率分別為S′CA、S′CB,凹曲線ADB在A、B兩點的斜率分別為S′DA、S′DB。從圖1可以看出,對左側端點A,凸曲線S′CA>S′AB,凹曲線S′DA

2 指數函數插值效果驗證

根據上述推導結果,編寫了Excel VBA程序。為了驗證該指數函數樣條插值方法在原油實沸點蒸餾數據插值應用中的準確度,對2012年以來檢測的52種原油實沸點蒸餾數據,分別采用三次樣條插值法和指數函數樣條插值法進行插值計算,并分別計算兩種方法的插值與校驗值擬合的相關系數,以獲得其插值準確度,并判斷其是否具有單調遞增性質。

以撒哈拉混合原油-2016為例,其實沸點蒸餾數據如表2所示。

表2 撒哈拉混合原油-2016的實沸點蒸餾結果

其插值計算過程如下:

(1)在該原油的生產過程中,多數情況下僅測定原油餾出率為0(或5%),10%,30%,50%,70%,90%,100%(或95%)時的餾出溫度。因此,在進行插值(內插法)效果檢驗時,從原油實沸點蒸餾數據中取接近上述餾出率的數據作為插值的已知點,其余數據作為插值結果的校驗點。

(2)取餾出率為7.109%,20.353%,36.381%,50.056%,64.881%,89.292%,99.998%的7組蒸餾數據作為插值的已知點,將其余實沸點蒸餾數據作為校驗點,分別用三次樣條插值方法和指數函數樣條插值方法進行插值計算,對比插值結果與校驗值的誤差,結果如圖2所示。

圖2 撒哈拉混合原油-2016三次樣條和指數函數樣條插值結果對比

(3)將三次樣條插值和指數樣條插值計算結果分別與校驗值對比,計算其決定系數(R2)以驗證其插值準確度。

(4)將表2實沸點蒸餾數據中最小餾出率與最大餾出率間劃分為40等分,以每一個切割點為插值點,分別用三次樣條和指數函數樣條插值計算,驗證插值后餾出率對應的餾出溫度是否單調遞增,結果見圖2。

從圖2(a)可以看出,三次樣條插值結果在個別點與校驗值差別較大,而指數樣條插值結果的誤差比三次樣條插值結果更小。計算插值結果與校驗值的擬合決定系數可知,三次樣條插值結果的R12=0.805 5,指數函數樣條插值結果的R22=0.908 5,可見R22比R12明顯增大,說明指數函數插值結果準確度更高。

從圖2(b)可以看出:三次樣條插值結果不能保證插值結果單調遞增,當餾出率從70%增至80%時,餾出溫度不升反降,不符合油品蒸餾數據單調遞增的規律;指數函數插值結果有效保持了單調遞增的趨勢。

采用類似的方法,分別對52種原油實沸點蒸餾數據中的其他51種原油蒸餾數據進行三次樣條插值和指數函數樣條插值對比,其插值結果見表3。

表3 部分原油實沸點蒸餾數據內插結果

從表3可以看出,指數函數樣條插值結果準確度高于三次樣條插值結果的有50種,占比96.2%;在三次樣條插值結果中,有16種原油插值數據無法保持單調遞增,占比30.8%;而52種原油的指數函數樣條插值結果全部保持單調遞增,與理論分析結果一致。

52種原油插值結果與校驗值的擬合決定系數如圖3所示。從圖3可以看出:在三次樣條插值結果中,R2>0.99的有21種,占比40.4%;在指數函數樣條插值結果中,R2>0.99的有37種,占比71.2%。三次樣條插值結果決定系數小于0.9的有6種,而指數函數插值結果決定系數小于0.9的僅有1種。可見,對大多數原油的實沸點蒸餾數據來說,指數函數插值結果的決定系數大于三次樣條插值。因此,用于原油實沸點蒸餾數據插值時,指數函數樣條插值方法優于三次樣條插值法,而且絕大多數(98.1%)指數函數插值結果與校驗值的擬合決定系數大于0.9,說明指數函數插值結果更加準確。

圖3 兩種插值方法決定系數對比

3 結 論

在進行原油加工過程計算時,采用優選方法對有限原油蒸餾數據進行插值補充,是獲得單調遞增連續光滑蒸餾曲線的基礎。鑒于傳統插值方法性能的不足,本研究設計了一種僅包含3個參數的指數函數插值方法,在保證計算精準度的同時簡化了計算過程。

該指數函數插值法采用分段插值,其形狀特征更接近油品實際蒸餾曲線。采用迭代法求解該指數函數的非線性方程時,明確參數Ci是正數還是負數至關重要,若參數Ci初值的正負性不正確,則迭代過程可能無法收斂。

對52種原油實沸點蒸餾數據的插值驗證結果表明:采用指數函數插值法能夠保證插值后的原油蒸餾曲線單調遞增;52種原油的插值結果中,指數函數插值與校驗值擬合決定系數(R2)大于0.99的有37種,占比71.2%,三次樣條插值結果R2>0.99的僅有21種,占比40.4%;而指數函數插值結果的準確度高于三次樣條插值結果的有50種,說明指數函數插值方法效果明顯優于三次樣條插值方法。